2023年空间向量与立体几何单元练习题

PAGEPAGE7?空间向量与立体几何?习题一、选择题〔每题5分，共50分〕1.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.假设=a，=b，=c，那么以下向量中与相等的向量是A.－a+b+cB.a+b+cC.a－b+cD.－a－b+c2.以下等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是A.B.C.D.3.空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，那么等于A.B.C.D.4.假设，，与的夹角为，那么的值为A.17或-1B.-17或1C.-1D.15.设，，，那么线段的中点到点的距离为A.B.C.D.6.以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是①①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①②B．①③C．①④D．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是俯视图正(主)视图侧(左)视图2俯视图正(主)视图侧(左)视图2322B.C.D.8.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A.B.C.D.10.⊿ABC的三个顶点分别是，，，那么AC边上的高BD长为A.5B.C.4D.二、填空题〔每题5分，共20分〕11.设，，且，那么.12.向量，，且，那么=________.13.在直角坐标系中，设A〔-2，3〕，B〔3，-2〕，沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，那么的大小为．14.如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中，那么到平面PAD的距离为.三、解答题〔共80分〕15.〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设．〔1〕试用表示出向量；〔2〕求的长．16.〔本小题总分值14分〕如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出〔单位：cm〕.〔1〕在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；〔2〕按照给出的尺寸，求该多面体的体积；〔3〕在所给直观图中连结，证明：∥面EFG..17.〔本小题总分值12分〕如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：〔1〕直线面；〔2〕平面面．18.〔本小题总分值14分〕如图，点P在正方体的对角线上，∠PDA=60°.〔1〕求DP与所成角的大小；〔2〕求DP与平面所成角的大小.19.〔本小题总分值14分〕一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．〔1〕求四棱锥P－ABCD的体积；〔2〕是否不管点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;〔3〕假设点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．20.〔本小题总分值14分〕如图，四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．〔1〕证明：；PBECDFA〔2〕假设为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．PBECDFA练习题参考答案一、选择题1.=c+(－a+b)=－a+b+c，应选A.2.应选D.3.∵,,应选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D10.由于，所以,应选A二、填空题11.912.313.作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，那么∵14.以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设平面PAD的法向量是，，∴，取得，，∴到平面PAD的距离.三、解答题15.解：〔1〕∵是PC的中点，∴〔2〕.16.解：〔1〕如图〔2〕所求多面体体积．ABCDEFG〔ABCDEFG连结，那么．因为分别为，中点，所以，从而．又平面，所以面．17.证明：〔1〕∵E,F分别是的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵AD面ACD，EF面ACD，∴直线EF∥面ACD；〔2〕∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，∵BD面BCD，∴面面.18.解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．那么，．连结，．在平面中，延长交于．设，由，由，可得．ABCDPxABCDPxyzH〔1〕因为，所以，即与所成的角为．〔2〕平面的一个法向量是．因为，所以，可得与平面所成的角为．19.解：〔1〕由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.∴(2)不管点E在何位置，都有BD⊥AE证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD且平面∴BD⊥PC又∴BD⊥平面PAC∵不管点E在何位置，都有AE平面PAC∴不管点E在何位置，都有BD⊥AE(3)解法1：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG∵CD=CB,EC=EC，∴≌，∴ED=EB∵AD=AB，∴△EDA≌△EBA，∴BG⊥EA∴为二面角D－EA－B的平面角∵BC⊥DE，AD∥BC，∴AD⊥DE在Rｔ△ADE中==BG在△DGB中，由余弦定理得∴=，∴二面角D－AE－B的大小为.解法2：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：那么,从而设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由法向量的性质可得：，令，那么，∴设二面角D－AE－B的平面角为，那么∴，∴二面角D－AE－B的大小为.20.〔1〕证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．因为为的中点，所以．又，因此．因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．〔2〕解：设，为上任意一点，连接．由〔1〕知平面，那么为与平面所成的角．在中，，所以当最短时，最大，即当时，最大．此时，因此．又，所以，所以．解法一：因为平面，平面，所以平面平面．过作于，那么平面，过作于，连接，那么为二面角的平面角，在中，，，又是的中点，在中，，又，在中，