第三章 图像变换

武汉理工大学自动化学院姓名：石英Email：a_laly@163.com图像处理与分析第三章：图像变换一：图像变换概述二：傅立叶变换及其性质三：其它可分离图像变换四：霍特林变换变换问题的引入

频率域幅值与频率

空间域灰度原则上，所有图像处理都是图像的变换，而本章所谓的图像变换特指数字图像经过某种数学工具的处理，把原先二维空间域中的数据，变换到另外一个“变换域”形式描述的过程。

我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。

问题的提出：压缩应用去噪应用概述例如，傅立叶变换将时域或空域信号变换成频域的能量分布描述。任何图像信号处理都不同程度改变图像信号的频率成分的分布，因此，对信号的频域（变换域）分析和处理是重要的技术手段，而且，有一些在空间域不容易实现的操作，可以在频域（变换域）中简单、方便地完成。可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换同样，一幅彩色图象可以按照某种准则，分解成若干个基本色彩分量图象的和。可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换原图R色彩分量图G色彩分量图B色彩分量图概述第三章：图像变换一：图像变换概述二：傅立叶变换及其性质三：其它可分离图像变换四：霍特林变换1.1-D傅立叶变换2.2-D傅立叶变换3.2-D傅立叶变换的性质4.快速傅立叶变换1.1-D傅立叶变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换傅立叶变换可以将一维信号从时间域变换到频率域。将一个连续函数的有效宽度等距离分为N个小间隔，进行采样，则这个离散采样序列可表示为此形式。一维离散傅立叶变换和反变换定义如下：1.1-D傅立叶变换第三章：图像变换例离散傅立叶变换的计算举例：x01231234概述傅立叶变换可分离变换霍特林变换2.2-D傅立叶变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换对于的正方形图像，二维离散傅立叶变换和反变换定义如下：2.2-D傅立叶变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2-D傅立叶正变换2-D傅立叶反变换原图(256×256大小)2-D离散傅立叶变换后的频域图程序演示2.2-D傅立叶变换傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式：可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换实部虚部傅立叶频谱相位角2.2-D傅立叶变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2.2-D傅立叶变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2.2-D傅立叶变换2-D傅立叶变换的频谱：可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2-D傅立叶变换的相位角：2-D傅立叶变换的功率谱（能量谱）：2.2-D傅立叶变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换点源函数2.2-D傅立叶变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换双点源函数2.2-D傅立叶变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换线源函数2.2-D傅立叶变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换菱形目标函数3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换性质1：可分离性二维傅立叶变换可分解成为x和y两个方向上的一维变换顺序执行。O(n4)→O(n2)3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换xyxvxvuv1-D离散傅立叶变换列变换行变换3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换性质2：平移性空间域平移：频率域平移：3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换当时有：3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换性质3：周期性及共轭对称性离散的傅立叶变换和它的反变换具有周期为N的周期性：傅立叶变换还存在共轭对称性：只需一半的变换就可以将整个变换完全确定。3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换性质4：旋转性质平面直角坐标改写成极坐标形式：做代换有：如果被旋转则被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换

3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换性质5：线性性质如果：则有：3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换性质6：与图像均值的关系二维图象灰度均值定义：而傅立叶变换变换域原点的频谱分量：所以有：即数值等于图象灰度均值。3.2-D傅立叶变换的性质可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换

性质7：卷积定理一维序列的卷积运算定义为：当则有注意在用傅立叶变换计算卷积时，由于函数被周期化，为了保证卷积结果正确，计算过程中两个序列长度N1，N2都要补零加长为N1+N2—1。*为卷积符号。二维图象序列卷积定理的定义和计算过程与一维情况相同。第三章：图像变换一：图像变换概述二：傅立叶变换及其性质三：其它可分离图像变换四：霍特林变换1.1-D傅立叶变换2.2-D傅立叶变换3.2-D傅立叶变换的性质4.快速傅立叶变换4.快速傅立叶变换(FFT)可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换FFT算法基本思想首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。也就是说FFT是将复杂的运算变成两个数相加（减）的简单运算的重复。

可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换1.Fourier变换在图像滤波中的应用首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。Fourier变换的应用：可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换Fourier变换的应用：2.Fourier变换在图像压缩中的应用变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换Fourier变换的应用：3.Fourier变换在卷积中的应用:

从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等）。如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。Fourier变换示意图Fourier变换的频率特性Fourier变换的低通滤波Fourier变换的高通滤波Fourier变换的压缩原理另一幅图像效果压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压缩率为：3.3：1Fourier变换的压缩原理压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：1第三章：图像变换一：图像变换概述二：傅立叶变换及其性质三：其它可分离图像变换四：霍特林变换1.1-D傅立叶变换2.2-D傅立叶变换3.2-D傅立叶变换的性质4.快速傅立叶变换第三章：图像变换一：图像变换概述二：傅立叶变换及其性质三：其它可分离图像变换四：霍特林变换1.可分离变换2.沃尔什变换3.哈达玛变换4.离散余弦变换1.可分离变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换一般来说，2-D正变换和反变换可分别表示为：其中，是的变换，和分别称为正向变换核和反向变换核。1.可分离变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换如果正向变换核可分解为如下形式：则称正向变换核是可分离的。反向变换核情况亦类似。并且，如果与的函数形式相同，即有：则称正向变换核是对称的。第三章：图像变换一：图像变换概述二：傅立叶变换及其性质三：其它可分离图像变换四：霍特林变换1.可分离变换2.沃尔什变换3.哈达玛变换4.离散余弦变换2.沃尔什变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换沃尔什包括+1和-1构成的完备正交基，它与数字逻辑的两个状态相对应，因此更加利于计算机处理，它的存储空间和运算速度提高了很多，这一点对图像的实时处理非常有意义。1-D沃尔什变换核：其中是z的二进制表达式中的第k位，或者是0，或者是1。例如n=3时，z=6的二进制表达式是110，则有：2.沃尔什变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换例如，当n=2，N=4时，沃尔什正变换的变换矩阵为：1-D沃尔什变换和反变换定义如下：2.沃尔什变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2-D沃尔什正变换核和反变换核定义如下：2-D沃尔什变换和反变换定义为：2.沃尔什变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2-D沃尔什正变换核和反变换核均是可分离和对称的：又因为：所以有：设A

为N×N对称变换矩阵，W为N×N变换结果，则有：2.沃尔什变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换例如，当n=2，N=4时，，如果原始图像则其2-D沃尔什变换为重点：变换核的推导和变换的计算方法2.沃尔什变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2.沃尔什变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换程序演示第三章：图像变换一：图像变换概述二：傅立叶变换及其性质三：其它可分离图像变换四：霍特林变换1.可分离变换2.沃尔什变换3.哈达玛变换4.离散余弦变换3.哈达玛变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换哈达玛变换是沃尔什变换的特例，其优点在于变换核函数具有简单的递推性。1-D哈达玛变换核：其中与在沃尔什变换中一样，是z的二进制表达式中的第k位。与沃尔什变换类似，哈达玛反变换核与正变换核只差一个常数1/N，即：3.哈达玛变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换1-D哈达玛变换和反变换定义如下：与沃尔什变换类似，由哈达玛变换核组成的矩阵也是一个对称矩阵。例如，当n=1，N=2时，沃尔什正变换的变换矩阵为：3.哈达玛变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2-D哈达玛正变换核和反变换核定义如下，它们完全相同：2-D哈达玛变换和反变换定义为：3.哈达玛变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2-D哈达玛正变换核和反变换核也都是可分离和对称的：又因为：所以有：设A

为哈达玛变换核对应的变换矩阵，我们定义一个哈达玛矩阵H

，它与A相差倍：3.哈达玛变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换

N=2时的最小阶哈达玛矩阵为：表示N阶哈达玛矩阵，它具有简单的递推性：（直积）3.哈达玛变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换

采用这种递推的方法计算哈达玛变换矩阵A

非常方便，例如，计算8阶的哈达玛变换矩阵：3.哈达玛变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2-D哈达玛变换的矩阵形式：例如，若，则有：3.哈达玛变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换沃尔什变换和哈达玛变换的变换核是相同的，但是行列顺序不同。沃尔什和哈达玛图像变换的特点是做加减法，不必做乘法，这就避免了复杂的乘除运算，使运算复杂性降低。其缺点是：缺乏物理意义和直观解释。第三章：图像变换一：图像变换概述二：傅立叶变换及其性质三：其它可分离图像变换四：霍特林变换1.可分离变换2.沃尔什变换3.哈达玛变换4.离散余弦变换4.离散余弦变换（DCT）可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换问题的提出：

Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。4.离散余弦变换（DCT）可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换变换原理由于实偶数的傅立叶变换虚部为零，只含有余弦项，变为实函数，因此构造了一种实数域的变换－－DCT变换。

DCT变换的思想是将一个实函数对称延拓成一个实偶函数，实偶函数的傅立叶变换也必然是实偶函数。4.离散余弦变换（DCT）可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换2-D离散余弦正变换核和反变换核定义为：2-D离散余弦变换和反变换定义如下：4.离散余弦变换（DCT）可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换

DCT变换的应用：余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。4.离散余弦变换（DCT）可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换4.离散余弦变换（DCT）可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换程序演示4.离散余弦变换（DCT）可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换第三章：图像变换一：图像变换概述二：傅立叶变换及其性质三：其它可分离图像变换四：霍特林变换1.可分离变换2.沃尔什变换3.哈达玛变换4.离散余弦变换第三章：图像变换一：图像变换概述二：傅立叶变换及其性质三：其它可分离图像变换四：霍特林变换可分离变换霍特林变换概述傅立叶变换第三章：图像变换霍特林变换(Hotelling)与前面介绍的几种变换都不同，霍特林变换是一种基于图像统计特性的变换。它的变换核是变换的，随不同的图像集的统计性质不同而有不同的变换核矩阵，亦称为特征