复变函数第2章

解析函数第二章1§1解析函数的概念与柯西-黎曼方程1.复变函数的导数与微分定义2.1

（导数的定义）设函数w=f(z)定义在z平面上区域D内，点z0、z0+zD,

Δw=f(z0+z)-f(z0),若极限存在且有限,则称函数f(z)在点z0处可导,极限值称为f(z)在z0的导数,记作若函数f(z)在区域D内每一点都可导，则称函数f(z)在区域D内可导.2例2.1

研究函数f(z)=在整个z平面上的可导性.解：令z=x+iy,

z=

x+iy

让z+z沿着平行于x轴的直线趋于z，此时y=0

让z+z沿着平行于y轴的直线趋于z，此时x=0

原函数在整个z平面上处处不可导.3例2.2

求函数f(z)=zn（n为正整数）的导数.解：▲f(z)=zn(n为正整数)在整个z平面上处处可导.

4例

考察函数f(z)=1/z

在整个z平面上的可导性.解：当z≠0时，函数1/z在整个z

平面上除去原点外处处可导.5若f(z)在点z0可导，即于是则有以及所以即f(z)在z0连续.★函数f(z)在点z0可导f(z)在z0连续.

令6常用的求导公式与法则(1)(C)'=0，其中C为复常数;(2)(zn)'=nzn-1,其中n为正整数;(3)(f(z)±g(z))'=f'(z)±g'(z);(4)(f(z)g(z))'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z);(5)(6)(f(g(z)))'=f'(w)g'(z),其中w=g(z);(7)若两个单值函数w=f(z)与z=h(w)互为反函数

且h'(w)≠0,则有72.解析函数的概念●f(z)在点z0(处)解析：f(z)在z0的某邻域内处处可导；▲z0为f(z)的奇点：若f(z)在点z0处不解析，但在z0的

任一邻域内总有f(z)的解析点.●f(z)在区域D内解析(或称f(z)是D内的解析函数)：

f(z)在D内每一点都解析，即f(z)在D内处处可导.

●f(z)在闭区域

上解析(或称f(z)是

上的解析函数)：

f(z)在包含

的某区域内解析.

8例

研究下列函数的解析性.

(1)f(z)=z2在复平面内处处可导，故在复平面内解析；(2)f(z)=|z|2仅在z=0处可导，故在复平面内不解析；(3)f(z)=1/z在复平面内除z=0外处处可导且f

'(z)=-1/z2，

故在复平面内除z=0外处处解析；(4)f(z)=Re(z)在复平面内处处不可导，

故在复平面内处处不解析；9定理2.6

(1)在区域D内解析的两个函数f(z)和g(z)，其和、差、积、商（要求分母不为零）在区域D内解析.(2)设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析，函数w=f(h)在h平面上的区域D*内解析.

若对于任意zD，h=g(z)D*，即g(D)D*,

则复合函数w=f(g(z))在区域D内解析.103.柯西-黎曼方程如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=(x,y)处可微,讨论f(z)的实部u(x,y)与虚部v(x,y)在点z=(x,y)处的关系=[u(x+x,y+y)-u(x,y)]+i[v(x+x,y+y)-v(x,y)]=u(x,y)+iv(x,y)由可微的定义记z=x+iy,则z+z=(x+iy)+(x+iy)=(x+x)+i(y+y),w=f(z+z)-f(z)=[u(x+x,y+y)+iv(x+x,y+y)]-[u(x,y)+iv(x,y)]11考虑两种z的方式：a)y=0,x0,即平行于实轴的方向柯西-黎曼方程：ux(x,y)=vy(x,y),uy

(x,y)=-vx(x,y)b)x=0,y0,即平行于虚轴的方向12定义

对于二元实函数u(x,y)和v(x,y)，方程称为柯西-黎曼方程（简记为C-R方程）.定理2.1

（可微的必要条件）

设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，在D内点z=x+iy可导/可微的必要条件是(1)一阶偏导数ux,uy,vx,vy在点(x,y)处存在；(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处满足柯西-黎曼方程.13例2.6满足在z=0处定理2.1的(1)(2)，但不可微

证v(x,y)=0,令z=x+i

kx(x>0),则故，f(z)在z=0处不可微。14证

必要性设函数f(z)在区域D内一点z=x+iy

可微，

w=u+iv=f(z+z)-f(z)=f(z)z+z,(z)定理2.2

（可微的充要条件）

设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内点z=x+iy可导/可微的充要条件是(1)二元实函数u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微；(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程.=(x-y)+i(y+x)+

(1+i2)记f(z)=+i,1=Re(z),

2=Im(z),则

u+iv=(+i)(x+iy)+z从而u=x-y+1，v=y+x+2根据二元实函数微分的定义可知，u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微，且满足=ux=vy,

=-uy=vx.

15充分性已知u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，即其中1,2都是关于的高阶无穷小量.又u,v在点(x,y)满足C-R方程,即ux=vy,

uy=-vx，所以

w=f(z+z)-f(z)=[u(x+x,y+y)+iv(x+x,y+y)]-[u(x,y)+iv(x,y)]u=uxx+uyy+1,v=vxx+vyy+2=[u(x+x,y+y)-u(x,y)]+i[v(x+x,y+y)-v(x,y)]=u+iv

=(uxx+uyy+1)

+i(vxx+vyy+2)

=(uxx-vxy+1)

+i(vxx+uxy+2)

=ux(x+iy)+ivx(x+iy)+(1+i2)

=(ux+ivx)(x+iy)+(1+i2)16故有即函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可微.函数导数公式有如下四种形式：所以是z的无穷小量,

17定理2.4

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(1)二元实函数u(x,y)和v(x,y)在D内可微；(2)u(x,y),v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程.推论2.3

若u(x,y)与v(x,y)的一阶偏导数在点(x,y)处（或在区域D内）存在而且连续，并满足柯西-黎曼方程，则f(z)在点(x,y)处可微（或在区域D内解析）.定理2.2

设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内点z=x+iy可导的充要条件是(1)二元实函数u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微；(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程.18在复平面上u(x,y),v(x,y)不满足柯西-黎曼方程.所以f(z)=Im(z)在复平面上处处不可导,处处不解析.(2)f(z)=|z|2z

设z=x+iy,则f(z)=(x2+y2)x+i(x2+y2)y.

u(x,y)=(x2+y2)x,v(x,y)=(x2+y2)y都在平面可微

整个复平面上仅在(0,0)点满足柯西-黎曼方程，所以f(z)=|z|2z仅在点(0,0)处可导，处处不解析.

ux=3x2+y2,uy=2xy,vx=2xy,vy=x2+3y2ux=0,uy=1,vx=0,vy=0例2.9

讨论下列函数的可导性与解析性.(1)f(z)=Im(z);(2)f(z)=|z|2z.

解：(1)设z=x+iy,则f(z)=Im(z)=y.u(x,y)=y,v(x,y)=0都在复平面上可微.19例2.10

试证：函数f(z)=ex(cosy+isiny)在z平面上解析，

且f'(z)=f(z).证明：u(x,y)=excosy,v(x,y)=exsiny在平面上可微

u(x,y),v(x,y)在平面上每一点都满足C－R方程，所以f(z)在复平面上解析f'(z)=ux+ivx=excosy+iexsiny=f(z).20◆试证：如果函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，且满足下列条件之一，则f(z)在D内为常数.(1)f'(z)=0；(2)Ref(z)为常数；(3)|f(z)|为常数.(3)由于|f(z)|2=u2+v2为常数，所以uux+vvx=0,uuy+vvy=0.

由C-R方程知，uux−vuy=0,uuy+vux=0.

所以(u2+v2)ux=0,(u2+v2)uy=0.

当u2+v2=0时，u=v=0，从而f(z)为常数.

当u2+v2≠0时，ux=uy=0，从而u为常数，于是v为常数，故f(z)在D内为常数.证：(1)由于f'(z)=ux+ivx=vy

−iuy=0,

所以ux=uy=vx=vy=0，故u,v,都是常数，

从而f(z)在D内为常数.(2)因为u(x,y)=Ref(z)为常数,

由C-R方程知，vx=−uy=0,vy=ux=0.故v为常数，

从而f(z)在D内为常数.21一、初等单值函数1.幂函数

w=zn

(n=0,1,2,…)

多项式函数

P(z)=a0zn+a1zn-1+…+an

(a0≠0)

有理函数(a0,b0≠0)§2初等解析函数222.指数函数exp(z)=ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)复指数函数ez的性质：(1)|ez|=ex=eRe(z)>0,Arg(ez)=y+2k=Im(z)+2k(2)在复平面上ez≠0;(3)当Im(z)=y=0时，则ez=ex;(4)当Re(z)=x=0时，则ez=eiy=cosy+isiny(欧拉公式);(5)ez在z平面上处处解析，且(ez)=ez；

23(6)加法定理成立，即(7)ez是以2pi为基本周期的周期函数.(8)极限不存在，即无意义.z1=x1+iy1,z2=x2+iy2

zn=lnr+i(+2n),则zn→∞，ez→

rei243.三角函数性质:

(1)周期性：sinz与cosz是以2为基本周期的周期函数.定义2.10

规定正弦函数余弦函数25(2)奇偶性：sinz为奇函数，cosz为偶函数.(3)欧拉公式在复数域中eiz=cosz+isinz也成立.(4)三角恒等式成立.26(5)解析性：sinz与cosz在复平面上处处解析，且(sinz)=cosz,(cosz)=-si