(上课版)2.3从自由落体到匀变速直线运动

1.根据图中的图象，推导物体运动的速度与时间的关系.一、匀变速直线运动规律的推导1.速度公式典例1汽车以20m/s的速度匀速行驶，现以4.0m/s2的加速度开始刹车，则刹车后3s末和6s末的速度各是多少？

【变式备选】京沪高速公路上，一辆货车正以30m/s的速度匀速行驶，司机突然发现前方有险情，立即开始刹车，刹车2秒后货车的速度变为20m/s，若刹车过程中，货车做匀减速直线运动，求：(1)货车刹车的加速度大小；(2)刹车10秒后货车的速度.【解析】(1)由vt=v0-at得a=(v0-vt)/t,代入数据解得a=5m/s2.(2)设经t秒货车停止，由vt=v0-at，代入数据解得t=6s，所以刹车10秒时货车速度为0.答案：(1)5m/s2(2)01.结合图中的图象，推导物体运动的位移与时间的关系.2、位移公式典例2在平直公路上，一辆汽车的速度为15m/s.从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度运动，求刹车10s后汽车离开始刹车点的距离.【规范解答】设汽车实际运动时间为t,初速度方向为正方向.vt=0,a=-2m/s2由vt=v0+at知运动时间t==7.5s所以汽车的位移大小为s=v0t+at2=56.25m.答案：56.25m刹车问题的分析方法(1)汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等，可以认为做匀减速直线运动，但是当速度减为零时，其加速度也变为零，物体不可能倒过来做反向运动，其最长的运动时间为t=(2)应用公式vt=v0+at和s=v0t+at2处理此类问题时，式中的时间t不能任意选取，应注意判断题目中所给的时间t是否超出了物体实际运动的时间，即是否出现了“时间过量”问题.

=【解析】两段连续相等的时间t=4s，通过的位移分别为s1=24m,s2=64m.设质点运动的初速度为v0，加速度为a，对前一过程和整个过程分别应用匀变速直线运动的位移公式，可得s1=v0t+at2，s1+s2=v0×2t+a(2t)2,由以上两式解得质点的加速度a=m/s2=2.5m/s2，质点的初速度v0=m/s=1m/s.答案：1m/s2.5m/s21.速度与位移的关系式的导出过程提示:由vt=v0+at可得t=代入s=v0t+at2有s=即vt2-v02=2as.2.在某次测试中，E-2D“先进鹰眼”预警机监测到某地发射了一枚战术导弹，导弹匀加速飞行了150m，速度从5m/s增加到了80m/s.结合以上运动实例，分析位移与速度的关系式中各量的物理意义.提示：初速度为5m/s，公式中用v0表示，末速度为80m/s，公式中用vt表示，位移为150m,公式中用s表示.3.vt2-v02=2as关系式中，首先规定v0的方向为正，则a和s的正负的含义分别是什么？提示：位移与速度的关系式vt2-v02=2as为矢量式，应用它解题时，若规定初速度v0的方向为正方向，(1)a与v0同向时a为正值，物体做匀加速运动，a与v0反向时a为负值，物体做匀减速运动.(2)位移s>0，说明物体通过的位移的方向与初速度的方向相同，位移s<0，说明位移的方向与初速度的方向相反.4.初速度为零和末速度为零时的速度与位移的关系式分别是什么形式?提示:若物体由静止开始匀加速运动，速度和位移的关系公式将变为vt2=2as;若物体做匀减速运动直至停止，位移与速度的关系公式将变为-v02=2as.5.物理公式往往有其适用条件，公式vt2-v02=2as可以应用于所有的运动吗？提示：公式vt2-v02=2as仅适用于匀变速直线运动.对于不涉及时间的匀变速直线运动问题优先考虑应用本公式.应用vt2-v02=2as公式的注意事项(1)公式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，不含时间，故不涉及时间时应用很方便．(2)公式中四个物理量vt、v0、a、s都是矢量，计算时注意统一各物理量的正负号.(3)若v0＝0，则vt2＝2as.末速度为零的匀减速直线运动可看成初速度为零，加速度大小相等的反向匀加速直线运动．(4)适用范围：匀变速直线运动.速度与位移的关系由vt=v0+at和s=v0t+at2可得vt2-v02=2as当v0=0时,vt2=2as典例3高速公路给经济发展带来了高速度和高效率，但也经常发生重大交通事故.某媒体报道了一起高速公路连环相撞事故，撞毁的汽车达到数百辆，原因除雾天能见度低外，另一个不可回避的问题是大部分司机没有遵守高速公路行车要求.某大雾天能见度为50m，司机的反应时间为0.5s，汽车在车况良好时刹车可达到的最大加速度为5m/s2，为确保安全，车速必须控制在多少以下(换算为千米每小时)？解答本题应把握以下两点：(1)画出能反映出各信息的示意图，帮助确定各信息之间的关系.(2)在司机0.5s的反应时间内，汽车仍做匀速直线运动，刹车后做匀减速直线运动.【规范解答】司机从发现意外情况到做出相应动作所需时间即为反应时间，该时间内汽车仍匀速前进，之后进入减速阶段.以初速度的方向为正方向，设为v0，则前一阶段匀速运动通过的位移s1＝v0t；第二阶段是以v0为初速度的匀减速直线运动，因不了解时间信息，可选用vt2-v02=2as，其中vt=0，a=-5m/s2.第二阶段的位移s2=(vt2-v02)/2a＝(02-v02)/2×(-5)＝v02/10两段位移之和即为s＝s1+s2＝50m，解上述方程可得v0＝20m/s或v0＝-25m/s(舍掉)，取v0＝20m/s换算后得v0＝72km/h，即汽车的行驶速度应控制在72km/h以下，方可保证安全.

【规律方法】求解运动学问题的基本方法(1)分析物体的运动问题，要养成画物体运动示意图的习惯，并在图中标注有关物理量．(2)如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，弄清物体在每段上的运动情况及遵循的规律，应该特别注意的是各段交接点处的速度往往是解题的关键，应首先考虑．

【变式备选】两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，则它们运动的最大位移之比为()A.1∶2B.1∶4C.1∶3D.2∶1【解析】选B.根据vt2-v02=2as,位移最大时速度减为零，即v02=-2as,a相同时s与v02成正比，所以比值为1∶4.1.做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半.请推导出该结论.提示：设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a，t秒末的速度为vt，这段时间内的位移为s，由s=v0t+at2得，①平均速度②由速度公式vt=v0+at，当t′=时，③由②③得④又vt=⑤由③④⑤解得所以2.尝试证明如下结论：做匀变速直线运动的物体在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δs=sⅡ-sⅠ=sⅢ-sⅡ=aT

2提示：时间T内的位移s1=v0T+aT

2①在时间2T内的位移s2=v0·2T+a(2T)2②在时间3T内的位移s3=v0·3T+a(3T)2③则sⅠ=s1,sⅡ=s2-s1，sⅢ=s3-s2④由①②③④得Δs=sⅡ-sⅠ=sⅢ-sⅡ=aT

2此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求匀变速直线运动的加速度.对于不相邻的两段相等时间间隔T内的位移，则有sm-sn=(m-n)aT2.3.做匀变速直线运动的物体，在中间位置的速度等于这段位移上初、末速度的方均根值.即尝试证明此结论.提示：如图所示，一物体做匀变速直线运动由A到B，C是其中间位置，设位移为x，加速度为a，则①②由①②解得：选用恰当公式解决问题具体应用时分为如下情况：(1)从两个基本公式出发，可以解决各种类型的匀变速直线运动的问题.(2)在分析不知道时间或不需知道时间的问题时，一般用速度位移关系的推论.(3)处理初速度为零的匀加速直线运动和末速度为零的匀减速直线运动时，通常用比例关系的方法来解比较方便.典例4(2010·重庆高考)某同学用打点计时器测量做匀加速直线运动的物体的加速度，电源频率f=50Hz，在纸带上打出的点中，选出零点，每隔4个点取1个计数点，因保存不当，纸带被污染，如图所示，A、B、C、D是依次排列的4个计数点，仅能读出其中3个计数点到零点的距离：sA=16.6mm、sB=126.5mm、sD=624.5mm.若无法再做实验，可由以上信息推知：(1)相邻两计数点的时间间隔为____s；(2)打C点时物体的速度大小为____m/s(取2位有效数字);(3)物体的加速度大小为____(用sA、sB、sD

和f表示).纸带数据处理主要用到两个规律：(1)中间时刻的瞬时速度等于全程的平均速度；(2)加速度a=【规范解答】(1)打点计时器打出的纸带每隔4个点选择一个计数点，则相邻两计数点的时间间隔为T=0.02×5s=0.1s.(2)根据中间时刻的瞬时速度等于全程的平均速度，得vC==2.5m/s.(3)匀加速直线运动的位移特征是相邻的相等时间间隔内的位移以aT2均匀增大，有BC=AB+aT2

，CD=BC+aT2=AB+2aT2

，BD=2AB+3aT2

，所以：答案:(1)0.1(2)2.5(3)

【变式备选】有若干个相同的小球，从斜面上的某一位置每隔0.1s无初速释放一颗，在连续释放若干颗小球后，对准斜面上正在滚动的若干小球拍摄到如图所示的照片，测得AB=15cm，BC=20cm.求：(1)拍摄照片时B球的速度；(2)A球上面还有几颗正在滚动的小球.【解析】小球在斜面上做的是初速度为零的匀加速直线运动.(1)m/s=1.75m/s.(2)由Δs=aT2，得：小球的加速度：B球已经运动的时间：设在A球上面正在滚动的小球有n颗，=2.5(颗)，取整数则n=2.答案：(1)1.75m/s(2)21.初速度为零的匀加速直线运动，第T秒末、第2T秒末、第3T秒末…的瞬时速度分别记为v1

、v2

、v3…请尝试推导v1∶v2∶v3∶…的值.提示：由于初速度为零，根据匀变速直线运动的速度公式可知vt=at,所以v1∶v2∶v3∶…=T∶2T∶3T∶…=1∶2∶3∶…2.前T秒内、前2T秒内、前3T秒内…的位移分别记为s1、s2、s3…，请尝试推导s1∶s2∶s3∶…的值.提示：由于初速度为零，根据匀变速直线运动的位移公式可得s=at2,所以s1∶s2∶s3∶…=T2∶(2T)2∶(3T)2∶…=1∶4∶9∶…3.第1个T秒内、第2个T秒内、第3个T秒内…的位移分别记为sⅠ、sⅡ、sⅢ…请尝试推导sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…的值.提示：由题图可知sⅠ=s1=aT2，sⅡ=s2-s1=a(2T)2-aT2，sⅢ=s3-s2=a(3T)2-a(2T)2，…解得sI∶sⅡ∶sⅢ∶…=1∶3∶5∶…4.初速度为零的匀加速直线运动，若将位移等分成若干份，每段位移均为s，经过第一段位移s所用的时间记为t1,经过前两段位移2s所用的时间记为t2,经过前三段位移3s所用的时间记为t3…，请尝试推导t1∶t2∶t3∶…的值.提示：由位移公式得：s=at12,2s=at22,3s=at32…,解得t1∶t2∶t3∶…=1∶∶…5.初速度为零的匀加速直线运动，若将位移等分成若干份，每段位移均为s，经过第一段位移s所用的时间记为tⅠ，经过第二段位移s所用的时间记为tⅡ，经过第三段位移s所用的时间记为tⅢ，请尝试推导tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…的值.提示：由位移公式得：s=at12,2s=at22,3s=at32…且tⅠ=t1，tⅡ=t2-t1，tⅢ=t3-t2解得tI∶tⅡ∶tⅢ∶…=1∶(-1)∶()∶…6.初速度为零的匀加速直线运动，若将位移等分成若干份，每段位移均为s，通过第一段位移时的末速度为vⅠ,通过第二段位移时的末速度为vⅡ

，通过第三段位移时的末速度为vⅢ…请尝试推导vⅠ∶vⅡ∶vⅢ∶…的值.提示：由位移与速度的关系公式可得vⅠ2=2as,vⅡ2=2a(2s),vⅢ2=2a(3s),解得vⅠ∶vⅡ∶vⅢ∶…=1∶∶…逆向分析法对于具有可逆的对称性的物理过程，可以利用逆向思维法.对于末速度为零的匀减速直线运动，可以看做是反向的初速度为零的匀加速直线运动，初速度为零的几个比例关系同样成立.典例5站台上有一观察者，在火车开动时站在第一节车厢前端的附近，第一节车厢在5秒内驶过此人，设火车做匀加速运动，则第十节车厢驶过此人的时间为____.解答本题时要注意：每节车厢的长度相同，因此可以用初速度为零的匀加速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比的规律进行求解.【规范解答】以列车为参考系，观察者相对列车做初速度为零的匀加速运动，所以t1∶t10=1∶()，t10=()t1=0.81s.答案：0.81s

【变式备选】(2011·安阳高一检测)如图所示，光滑斜面AE被分成四个相等的部分，一物体由A点从静止释放做匀加速直线运动，下列结论不正确的是()A.物体到达各点的速率之比vB∶vC∶vD∶vE=1∶∶2B.物体到达各点经历的时间tE=2tB=C.物体从A到E的平均速度D.物体通过每一部分时，其速度增量vB-vA=vC-vB=vD-vC=vE-vD【解析】选D．根据匀变速直线运动的规律，物体到达各点的速率为v=A对．物体到达各点经历的时间为t=B对．B点是AE的中间时刻，C对．AB、BC、CD、DE的时间间隔并不相等，没有选项D的关系，D错．本题要求选不正确的，所以选D．典例6从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速直线运动至停车.汽车从开出到停止总共历时20s，行进了50m.求汽车的最大速度.【规范解答】方法1.设最大速度为vm，由题意，可得方程组s=a1t12+vmt2-a2t22，t=t1+t2,vm=a1t1，0=vm-a2t2整理得vm=5m/s方法2.匀加速阶段和匀减速阶段平均速度相等，都等于故全过程的平均速度等于由平均速度公式得解得

m/s=5m/s.方法3.应用图象法，作出运动全过程的v-t图象，如图所示.v-t图线与t轴围成三角形的面积与位移等值，故s=所以

【规律方法】多运动过程问题的分析方法：(1)通过分析运动过程，利用基本规律求解.(2)若物体先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最大速度后，立即改做匀减速直线运动到静止，因为两个过程的平均速度是相同的，所以用平均速度公式求解，非常简便快捷，要注意这种解法.(3)图象法：求解多过程问题，图象法为直观有效的方法.

1.一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是()A.物体的末速度一定与时间成正比B.物体的位移一定与时间的平方成正比C.物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比D.若为匀加速运动，速度和位移都随时间增加；若为匀减速运动，速度和位移都随时间减小【解析】选C.由位移公式和速度公式可知A、B错误；由得vt-v0=at，可知C正确；匀加速直线运动中v、s都随时间增加，但在匀减速直线运动中，v随时间减小，s随时间增加，D错误.2.(2011·长沙高一检测)2011年1月11日,我国新型隐形战斗机“歼20”震撼亮相,并胜利完成首飞.战斗机返航时,在跑道上滑行了约240m后停了下来,用时约6s.战斗机着地时速度约为()A.80m/sB.60m/sC.40m/sD.70m/s【解析】选A.设战斗机着地时速度为v,由及可得

m/s=80m/s,故选项A正确,B、C、D错误.3.(双选)由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1s内的位移为0.4m，则()A.第1s末的速度为0.4m/sB.加速度为0.8m/s2C.第2s内通过的位移为1.2mD.前2s内通过的位移为1.2m【解析】选B、C.由s=at2得，a=m/s2=0.8m/s2，vt=at=0.8×1m/s=0.8m/s，故A错误、B正确.s′=at′2=×0.8×22m=1.6m第2s内的位移，Δs=s′-s=1.6m-0.4m=1.2m故C正确、D错误.

4.一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动(如图所示)，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4【解析】选C.由vt2-v02＝2as得：sAB＝sBC＝sAB∶sBC＝1∶3.5.(2011·兰州高一检测)一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0=2.0m/s，它在第3s内通过的位移是4.5m，则它的加速度为()A.0.5m/s2B.1.0m/s2C.1.5m/s2D.2.0m/s2

【解析】选B．根据匀变速直线运动的规律可得物体在2．5s时刻的瞬时速度为v2.5=m/s=4．5m/s．再根据运动学方程v2.5=v0+at，代入数据可解得a=1.0m/s2，B对．6.一小车以10m/s的初速度冲上一斜面,在斜面上做匀变速直线运动,加速度大小是5m/s2,斜面足够长,小车在滑下时加速度大小和滑上时一样大.求小车在4s内的位移.【解析】小车沿斜面做匀减速直线运动,已知加速度、初速度、时间求位移,考虑用s=v0t+at2求解.取初速度方向为正方向,v0=10m/s,a=-5m/s2,故s=v0t+at2=0,说明小车又回到原处.答案:0一、选择题(本题共5小题,每小题5分,共25分)1.(2011·温州高一检测)物体做匀加速直线运动，已知加速度为2m/s2，那么()A.在任意时间内，物体的末速度一定等于初速度的2倍B.在任意时间内，物体的末速度一定比初速度大2m/sC.在任意一秒内，物体的末速度一定比初速度大2m/sD.第n秒的初速度一定比第(n-1)秒的末速度大2m/s【解析】选C.由速度公式vt=v0+at可知，A错；在一定时间t内速度的增量Δv=vt-v0=at，它的大小既与a有关，又与t有关，因此B错；当t=1s，a=2m/s2时，Δv=2m/s，即末速度比初速度大2m/s，所以C正确；由于第n秒初和第(n-1)秒末是同一时刻，同一时刻对应的速度是相同的，因此，D错.2.(2011·汕头高一检测)质点的位移随时间而变化的关系式为s=4t+2t2,s与t的单位分别是m和s，则质点的初速度与加速度分别为()A.4m/s与2m/s2B.0与4m/s2C.4m/s与4m/s2D.4m/s与0【解析】选C.将s=4t+2t2=4t+×4t2与位移公式s=v0t+at2对比,可知质点的初速度为4m/s,加速度为4m/s2，选项C正确．3.据美国媒体报道，美国一名工程师将借助一辆由战斗机改装的汽车——“北美之鹰”，创造一项新的陆上速度记录，其速度可以达到360m/s,比音速还快．“北美之鹰”的制动系统采用特殊的合金磁铁，可以产生很大的加速度．若“北美之鹰”加速度达到20m/s2，则它由最大速度开始制动，制动过程的位移为()A．360mB．3200mC．3240mD．3280m【解析】选C.该车制动需要经过的位移为s==3240m，C项正确．4.(双选)高楼大厦中，电梯成了必不可少的设施.图为阿联酋的第一高楼，若该楼中的电梯在启动过程中，可近似看做是匀加速直线运动，测得第1s内的位移是2m，第2s内的位移是2.5m．由此可知()A.这两秒内的平均速度是2.25m/sB.第3s末的瞬时速度是2.25m/sC.电梯的加速度是0.125m/s2D.电梯的加速度是0.5m/s2【解析】选A、D．前2s内的平均速度是

m/s，A对.由s2-s1=aT2得a==0.5m/s2，选项D对，C错.第1s末的速度等于前2s内的平均速度，第3s末的速度应为v3=v1+at=2.25m/s+0.5×2m/s=3.25m/s，B错．5.(双选)若某物体做初速度为零的匀加速直线运动，则

()A.第4s内的平均速度大于前4s内的平均速度B.前4s内的平均速度等于2s末的瞬时速度C.第4s内的速度变化量大于第3s内的速度变化量D.第4s内与前4s内的位移之比是7∶15【解析】选A、B.根据匀变速直线运动的平均速度与中间时刻的速度相等可知：第4s内的平均速度等于3.5s末的瞬时速度，前4s内的平均速度等于2s末的瞬时速度，所以第4s内的平均速度大于4s内的平均速度，A、B正确.由于物体做匀加速直线运动，加速度恒定，所以第4s内的速度变化量等于第3s内的速度变化量，C错误.第1、2、3、4秒内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以第4s内与前4s内的位移之比是7∶(1+3+5+7)=7∶16，D错误.二、非选择题(本题共3小题,共25分,要有必要的文字叙述)6.(2011·德州高一检测)(8分)列车进站前刹车，已知刹车前列车速度为60km/h,刹车加速度大小为0.8m/s2，求刹车后15s和30s列车的速度.【解析】以初速度方向为正方向，60km/h≈16.7m/s,刹车后15s,列车的速度v1=v0+at=16.7m/s-0.8×15m/s=4.7m/s,刹车至列车停下所需时间t=