道路工程制图第五章-投影变换

第五章：投影变换1

本章教学要求掌握换面法和旋转法的作图方法和特点教学重点换面法和旋转法的具体应用以及作图原理教学难点能够通过换面法和旋转法将一般位置图形转化为特殊位置图形能力目标概述1换面法2旋转法3本章主要内容§5-1

概述投影变换的目的当直线或平面平行于投影面时，其投影可直接反映实长、实形或倾角；当直线或平面垂直于投影面时，其投影有积聚性。利用这些特性，便可以在投影图中直接解决特殊位置几何元素的定位（交点、交线）和度量问题（距离、角度、实形），而处于一般位置的直线或平面不具备这些特性，我们可通过投影变换的方法把处于一般位置的空间几何元素转换为特殊位置，使之处于有利于解题的位置。投影变换的方法可归纳为变换投影面法（换面法）和旋转法两类投影变换的方法VAHCBcbXaabca1c1b1V1X1X1基本原理—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H

体系变为V1/H

体系c1b1a1bcabacX§5-2

换面法新投影面必须符合以下两个基本条件：1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。VAHCBcbXaabcV1X1c1b1a1新投影面选择原则点的变换规律——点的一次变换VHXHX1V1a1aAaa1VHXaXVHaX1V1a1V1a1X1HV1aAa1、点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。2、点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。a1X1HV1aXVHa点的投影变换规律VHXH1X1X1H1Va1XVHaaa1aAa点在V/H1体系中的投影二次投影变换是在第一次变换的基础上连续变换。第一次用V1更换V面，形成V1/H体系(新轴为O1X1)，第二次以V1/H为原体系，V1不变，用H2更换H面，形成V1/H2体系（新轴为O2X2）。两次以上变换是上述过程的重复作图，但注意每次只能更换一个投影面，且V、H面必须交替变换。点的变换规律——点的二次变换VXHa2aaa1XVHX1HV1V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAa点的二次投影变换示意图直线的换面法直线的换面法一般位置直线投影面平行线一般位置直线变换为正平线：求实长及倾角α一般位置直线变换为水平线：求实长及倾角β先将直线变换为投影面平行线，再将投影面平行线变换为投影面垂直线一般位置直线投影面垂直线VHXAaBb

abV1X1a1b1a1b1

X1V1HbabaXVH一般位置直线变为投影面平行线VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa1bb投影面平行线变为投影面垂直线XHaAabbBVV1X1H2a2b2a1b1一般位置直线变为投影面垂直线例题1用换面法求点A到直线BC的距离以及点A到直线BC的垂线和垂足。backabkcb1c1a1b2(k2)

(c2)a2k1XVHOX1V1HO1V1H2O2X2a2b2的长即为A到BC的距离，K为所求垂足，AK即为所求的垂线例题2已知平行两水平线AB和CD的投影ab、ab和cd，两直线的间距为l，求cd。abcdalbcdcdXVHOX1V1HO1a1（b1）c1（d1）c1（d1）附加例题

求两直线AB与CD的公垂线

。X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222H2平面的换面法平面的换面法一般位置平面投影面垂直平面投影面垂直平面投影面平行平面acXVHbbacVHXcbabCAcBaddDX1H1a1c1b1d1dX1H1Vdb1a1c1d1一般位置平面变为投影面垂直面附加例题

已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。

acbbacenkenddX1VH1b1a1c1d1k1ke1HXVCAcbaBX1V1c1b1a1V1c1b1a1X1投影面垂直面变为投影面平行面a1c1b1X1bcabacXVHacbXX1V1c1b1a1bcaacXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1一般位置平面变为投影面平行面acXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2附加例题已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。例题3已知一隧道洞门模型的三面投影，求洞门斜面的实形。aXZZ1O1WV1O例题4用换面法求两平面△ABC和△ABD的夹角。XVHOV1HO1X1X2VH2O2αα即为两平面的夹角例题5摆MN挂在M点，它在垂直于△ABC的铅垂面内摆动，求：（1）摆MN的端点N与平面△ABC的接触点K的投影。（2）摆MN在接触点K时，摆动的幅角α。XVHOX1V1HO1a'b'c'm'n'abcm(n)m1'n1'a1'b1'c1'k2'k1'k1k2α1α2摆动的幅角分别为α1和α2k11'k21'基本原理—保持原投影面体系不动，将空间几何元素绕某一轴线旋转成为特殊位置，以达到有利于解题的目的。VHPHacbABCabc1b1c1§5-3

旋转法OOPAA1旋转平面旋转轴旋转轨迹圆旋转半径旋转中心旋转角P旋转法相关名词解释实形旋转法的基本概念AA1aa1αOOa'a1'α点的旋转规律点的旋转规律：点绕垂直于某一投影面的轴旋转，点在该投影面上的投影沿圆周运动，反映实际的旋转角与旋转半径；在另一投影面上的投影则沿平行于投影轴的线段（轨迹圆的积聚投影）移动。当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在轴所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行的投影面上的投影为一平行于投影轴的直线。VHO1O2a1aPAA1θθVHXO1O2a1aa1aθ点绕正垂轴旋转点绕铅垂轴旋转当直线绕垂直于投影面的轴旋转时，该旋转轴通过直线一端点，直线相对该投影面的倾角保持不变，同时在该投影面上的投影长度也不变。HbBa1aAA1θVHXba1aa1aθθb当平面绕垂直某一投影面的轴旋转时，平面对该投影面的倾角保持不变，平面在该投影面上的投影形状也保持不变。直线和平面的旋转规律把一般位置直线旋转到投影面平行线位置把一般位置直线旋转到投影面垂直线位置例题6用旋转法求AB的实长及对H面的倾角α。XOo'a'o(a)b'b1'bα把一般位置平面旋转到投影面垂直面位置把一般位置平面旋转到投影面平行面位置例题7试用旋转法求△ABC对H面的倾角α。XOb1'd1bb'ac'dd'cb1c1c1'd1'

(a1')a'绕同一根轴、向同一方向、旋转同一角度“三同”原则几何元素在轴所垂直的投影面上的投影，旋转前后的形状和大小不变一、绕投影面平行轴旋转法的基本概念二、点绕投影面平行轴旋转二、绕平行于投影面的轴旋转一、绕投影面平行轴旋转法的基本概念二、点绕投影面平行轴旋转例题8已知△ABC的两面投影，试求其实形。a1bb'ac'dd'cb1a'a0o1将投影面倾斜线变换成投影面平行线

将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面倾斜线变换成投影面垂直线将投影面倾斜面变换成投影面垂直面将投影面垂直面变换成投影面平行面将投影面倾斜面变换成投影面平行面换面法目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊位置。Xa

a

aXVHX1b

bbXV1HaX1bX1a1b1α将投影面倾斜线变换成投影面平行线

实长H面倾角变换V面变换H面Xa

a

VHb

ba1b1H1VX1β实长V面倾角Xa

a

VHb

bX1V1Ha1b1将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面倾斜线变换成投影面垂直线Xa

a

VHX1b

bV1Ha1b1V1H2X2a2b2将投影面倾斜面变换成投影面垂直面Xa

a

VHb

bHV1c

cd

dX1a1

c1

d1

b1

α1变换V面（求α1）H面倾角WhyX1轴这么选？变换H面（求β1）Xa

a

VHbc

ce

eb

X1c1a1e1b1β1H1VV面倾角将投影面垂直面变换成投影面平行面Xa

a

VHbc

cb

X1HV1a1

c1

b1

实形WhyX1轴这么选？将投影面倾斜面变换成投影面平行面Xa

a

VHbc

ce

eb

X1H1Vc1a1e1b1H1V2X2a2

b2

c2

e2

实形将投影面倾斜线变换成投影面平行线

将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面倾斜线变换成投影面垂直线将投影面倾斜面变换成投影面垂直面将投影面垂直面变换成投影面平行面将投影面倾斜面变换成投影面平行面旋转法目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊位置。Xa

a

VHb

b将投影面倾斜线变换成投影面平行线

a1a1实长旋转轴Xa

a