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复变函数论多媒体教学课件第四节解析函数与调和函数1根据解析函数高阶导数定理,21.Laplace算子

偏微分方程

称为Laplace方程其中称为Laplace算子从以上分析知:32.调和函数定义3.5注43.共轭调和函数注(1)定义3.6(2)定理3.185(3)刻划解析函数又一等价条件注6注:

由于任意二元调和函数都可作解析函数的实部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任意二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.例1

证明由于但直线不是区域,7例2

证明由于从而894.解析函数的构造由数学分析的定理知,方法一:应用曲线积分10全微分,令则注:11定理3.1912注1:

(3.21)可由去记.方法二:应用不定积分有有13类似有故注:14例3

解有15解:1617例4

解在右半z平面上故在右半z平面上,18故19故所求的解析函数为20第三章小结熟练掌握柯西积分定理,柯西积分定理,带导数的柯西积分定理.2.熟练掌握(一定牢记)解析函数的四个充要定理(P55定理2.4;P126定理3.15;P128定理3.17;P133注(1)).3.熟练运用柯西积分定理,柯西积分定理,带导数的柯西积分定理求积分.4.熟练验证调和函数,并求出相应的解析函数.5.熟练掌握柯西积分定理证明柯西积分定理;

熟练掌握刘维尔定理的证明与应用.2

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