第3章机械能守恒

第3章机械能守恒3.1功功率

3.2动能质点动能定理

3.3势能保守力

3.4机械能守恒定律

3.5碰撞3.1功功率力在一个无限小位移中做的功等于力沿位移方向的分量与位移的乘积．dW=F·dr=Fcosdsds是dr的大小,是F与dr的夹角Fcos是作用力F沿路径切线方向的分量，故力在一个无限小位移中做的功等于力沿位移方向的分量与位移的乘积．功FdrAB质点从A到B，力F作的总功为FdrABAB如果F是恒力，且质点作直线运动，则功为功的单位是N•m,称为焦耳J,量刚为,L2Ms-2Fs例3-1一质量为m的小球,通过轻质细绳悬挂在天花板上(如图),小球沿圆弧从o点运动到A点，细绳与竖直方向夹角为0,求在此过程中重力G所做的功.0oAh或GFlxy3.1.2功率单位时间内所做的功称功率．瞬时功率由功率可求功功率的单位是焦/秒（J/s）称为瓦WW为t时间内完成的功。P为平均功率。平均功率：例3-2方向不变的作用力F=6t(F、t的单位分别为N和s)．作用在一质量为2kg的物体上。物体从静止开始运动．试求此作用力的瞬时功率及前2s内做的功．解：物体从静止开始，且作用力的方向不变，故质点沿直线运动，力的方向与运动方向相同。根据牛顿第二定律有功率为前2s做的功3.2动能质点动能定理考察一个物体，在合外力F作用下做匀加速直线运动．设物体质量为m．加速度为a，如果物体经过位移S后速度由v0、变到v,则或者将带入上式得Fv0vsa物理量称为物体的动能Ek(KineticEnergy)即F对物体做的功W用动能的增量表示为W=Ek-Ek0作用在物体上的合外力做的功等于物体动能的增量．——质点的动能定理以上讨论的是F为恒力、物体做直线运动的特殊情况．对于一般情况．作用力F做的元功为式中Fcos是力F在曲线上的切向分量，根据牛顿第二定律，ds是dr在曲线上的路程元,ds=vdt,所以,F所做的功可表示为上式积分，可以得到质点沿曲线移动一段路程中力F所做的功例3－3如图所示，一物体由斜面底部以初速度v0=10m/s向斜面上方冲去,到达最高处后又沿着斜面下滑.由于物体与斜面之间的摩擦．滑到底部时速度变为v=8m/s．已知斜面倾角为=30°．求物体冲上斜面最高处的高度及摩擦因数。v0GNfrv=0hvfGNfrv=0h解：上升过程中，应用动能定理下降过程中，应用动能定理上升的高度为h=lsin=8.4×sin30°=4.2(m)由（1）式得上述两式相减，得3.3势能保守力3.3.1重力势能ABh0hmgr0rr-r0yx设有一质量为m的质点．在重力G的作用下,沿任意形状的路径从位置A运动到B,在这过程中,重力做的功为因为重力G是恒力，所以其中于是重力做的功与路径形状无关.只与路径始末的位置有关．物理量mgh定义为重力势能．记作EpEp=mgh其中，高度h是一个相对量．与参照平面(h=0)的选取有关．也就是说,参照平面选取不同,重力势能的数值也不同．不过,两个状态之间重力势能的差值是个绝对量.与参照平面的选取无关．用势能表示重力做功如下：W=Ep0-Ep=-(Ep-Ep0)即重力对物体做的功,等于重力势能增量的负值．3.3.2弹性势能弹力是物体因形变而产生的一种恢复力．其大小与形变程度有关．方向为形变恢复的方向．以弹簧为例，取弹簧自然伸长时的自由端为坐标原点．在弹性限度内．弹力可以表示成k为劲度系数。x为形变量，伸长为正，收缩为负。oox0x在质点从x0处运动到x处的过程中,弹力做的功为定义为弹性势能,记作Ep用弹性势能可以表示弹力做功如下W=Ep0-Ep=-(Ep-Ep0)即弹力做的功,等于弹性势能增量的负值.同重力做功一样，弹力做也只与质点的始末位置有关．3.3.3引力势能质量为m的质点P在质量为M的质点Q的引力场中运动．设M>>m，在这种情况下，可以认为Q是静止的，取Q所在处为坐标原点O，P的位置可用矢径r表示.P受Q的万有引力为ABPQorArBrfdr从A点运动到B点时，引力F做的功为万有引力做的功，只与运动物体的始末位置有关，与所经历的路径形状无关．与之相应，可以引入引力势能的概念．取r∞处为零势能点，则当Q、P相距r时的引力势能为于是万有引力做的功，又可表示为W=EpA-EpB=-(EpB-EpA)(3.3-10)即万有引力做功等于引力势能增量的负值．对于在地球重力场中的物体，相应的引力势能也可以用(3.3-10)式表示．其中M为地球质量ME，m为物体质量,设地球半径为R，则物体在地球表面的引力势能为物体在地球表面上方h高度的引力势能为W=EpA-EpB=-(EpB-EpA)物体在地球表面上方h高度的引力势能为以上两式之差为物体相对于地球表面的重力势能当R>>h时，其中是地球表面的重力加速度．3.3.4保守力重力做的功、弹簧弹力做的功和万有引力做的功，都只与始末两点的位置有关，与质点运动的路径形状无关.具有这种性质的力，称为保守力.如果质点运动的路径是闭合的，那么，始末位置相同，保守力做的功为零.即保守力也可以定义为沿任意闭合回路做功为零的力，否则就是非保守力．3.3.4保守力(续)重力、弹力和万有引力是保守力,摩擦力不是保守力,因为摩擦力沿闭合回路做功不为零,且路径越长，做功的绝对值越大．由于保守力做的功都与路径形状无关,只与始末位置有关,可以对保守力统一地引进势能的概念.用Ep表示势能,那么,保守力做的功为W=Ep0-Ep=-(Ep-Ep0)即保守力做的功，等于势能增量的负值势能是位置的单值函数，且因力而不同，参考点。参考点的选择Ep=mgh重力势能弹性势能万有引力势能保守力是物体之间的相互作用,所以势能属于相互作用的物体组成的系统.3-9一力作用在一质量为3.0kg的质点上,已知质点的位置与时间的函数关系为x=3t-4t2+t3.式中x单位为m,t单位为s，试求(1)作用力在最初4.0s内所做的功；(528J)(2)在t=1.0s时,力对质点所做的瞬时功率．(12W)机械能守恒功能原理F12F21F1F2i12其中Wi为作用在第i个质点上合力做的功。包括内力的功，外力的功。将内力功和外力功对系统内所有质点求和，并写成所有质点末态动能和，用Ek表示所有质点初态动能和，用Ek0表示于是考虑保守内力做功对于系统势能减少量带入上式有外力做功与非保守内力做功的代数和对于系统机械能的增量——功能原理。机械能守恒如果外力和非保守力都不做功或他们的和始终为零，则系统的机械能守恒。非保守力不做功的系统称为保守系统。一个保守系的总机械能的增量对于外力做的功。例3-4质量为M的很短的试管用长L、质量可以忽略的硬直杆如图悬挂，试管内有乙醚，用质量为m的木塞封闭住，当加热试管时，木塞膨胀飞出，要使试管在竖直面内做完整的圆周运动，木塞飞出的最小速度为多少？若用细绳代替直杆，结果如何？mMv1v2解：动量守恒Mv2=mv1要使管能完成圆周运动，只要其动能等于到顶端的势能即可若用轻绳代替细杆，设绳中拉力为TT=0时，v最小。V2=gL一质量为M=10kg的物体A被放在光滑的平面上，与一水平的弹簧相连，弹簧劲度系数k=1000N/m。有一质量为m=1kg的小球B以水平速度v0=4m/s飞来，与物体A碰撞后以v1=2m/s的速度弹回。（1）A被撞击后，弹簧将被压缩多少？（2）小球B与A的撞击是否弹性的？（3）如果小球B与A的撞击是完全非弹性的，再求（1）。MmBAv0vX0VMmABv0vX0V解：根据动量守恒再根据机械能量守恒非弹性e=0例3、在光滑的水平面上，固定平放如图所示的半圆形屏障，质量为m的滑块以初速度v0

沿切线方向进入屏障内，滑块与屏间的摩擦系数为。求：当滑块从屏的另一端滑出时，摩擦力所作的功。v0O解：建立自然坐标系，受力分析如图v0ONvfr积分得：由动能定理得：3.5碰撞碰撞:物体间的相互作用引起动能和动量的交换,

作用时间极短碰撞完全弹性碰撞(弹性碰撞)总动能不变非弹性碰撞损失部分动能其他形式的能量完全非弹性碰撞同一速度运行对心碰撞碰撞前后的速度在同一连心线上3.5碰撞一.弹性碰撞碰撞前后,总动量守恒,总动能不变.★讨论:(1).若m1=m2,则(2).若m2>>m1,且v20=0,则(3).若m1>>m2,且v20=0,则二.完全非弹性碰撞碰撞前后,总动量守恒,两者合为一体,速度相同.(v2=v1=v).碰撞前碰撞后动能损失三.非弹性碰撞恢复系数e弹性碰撞完全非弹性碰撞非弹性碰撞e=1e=00<e<1碰撞前后,总动量守恒,动能不再守恒.三.非弹性碰撞碰撞前后,总动量守恒,动能不再守恒.碰撞后例6.质量为m的子弹A,以v0的速度水平地射入一静止在水平面上的质量为M的木块B内,A射入B后,B向前移动了S后静止,求B与水平面间的摩擦系数u?Mv0mSM+m解:例7.