2013专转本高数定积分复习

第四章定积分本章主要知识一、定积分计定积分计算主要依 尼兹公式：设f(x)dxF(x)C，bf(x)dxF(bF(aF(x)b 其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：bx(tba

11(a

ln4.1．e1ln1e

f2

t

(3

f(5

tdtln解：原式(1)dlnxln解：原式(1)dlnx=((lnx)2lnx)|ex例4.2．3 x0

2t2

2t3

2 2

xt2

1t12tdt=21t1dt=(3

t)|14.3．2xsin01

1解：原式= 2xdcos2x=2

xcos2x|020

2cos2=4

0sin2x|20 二、特殊类函数的定积分计．利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为024.41|x1|2

x2 解：原式=1(1x)dx1(x1)dx2(24.52(|x1||x2

x)|120(21) 解：原式=2(|x1||x1|)dx1(|x1||x1|)dx1(|x1|| =2(x1x1)dx1(x11x)dx1(x1 2xdx

12dx 2xdx=x21

4x2

．x2,x 104.6f(x)x1x01f100解：原式f(0解：原式f(x)dx

1(x1)dx1(x1)dxx2dx=x

13x)x|x)x|f(x)dx=(11)1f(x)dx 2x1,x 4.7f(x)

x,x

2f(x ux1 解：原2f(x1)dx1f(u)du1f(u)du

f 11udu2(2u1)du0(u2u)262 1如果f(x为定义在aa的奇函数，则

f(x)dx0 24.821

arctanxdx01x4x333sin2

x444

ex解：原式01exdxex1e x

(x1)(x

x4sin2x

2

解：原式00

2xexdx(xexex)

e2

1)e2

a4.11．f(x为[-a,a]a(f(xf(xln(xa

x2解：f(x)f(x),ln(x x21)为奇函数，原式 In2sinnxdx2cosnxdx 2n12n 1

2(n 22(n 2

2n1 2n

2sin2xcos60解：原式 2(1cos2x)cos60 531 75 642 86

2sin7xcos2022解：原式2sin7xcos2xdx2II 0 例 sin2(11tx1

原式＝I＝11et

tdt11 IJ1sin2xdx1I＝1 4.15．4ln(1tan0

x, 原式＝I＝ln(1 444＝ln2II＝ln2

0

sin 1sin2tx原式＝I＝－0(tsin(t)dt

sin ＝ sin dtI

1sin201sin222 222I＝201sin2xdx 2三、变限积x变上限积分是函数的另一种重要形式。求导公式x

ft

fx（x1at.）是一个非常重要的公式，它提供了利用导数来研究它的工具．更一般的结论是：1d

2xftdtf

xxf

xxx0sinx0sintln14tx2tan(12xx

dx

x解：原式lim0sintln14tx

limsinxln14xlimx4xx

x

4.18

tanxt3(e20x

sin20

2t

x

tan22

1sec2

x3

x2解：原式lim lim

2x0esin2xsin22x22sinxcos

x

4x4 04.19fxxt2et2dtfx0解：fxx2efx2xex2x2ex22x2x1x2fx0,fx0x0xx,01fffx

d24.20p(x)

f(x2t)dt，其中f(x)是已知一阶可导函数， dxu解：p(x)

15

f(u)du

1

f2 25 d2 (f(x)5f(5x))

f(2

f(24.21fxlimfx2。设x1fxtdt，求x论x

x0

(x)1f(xt)dtuxtx1f(u)du1xf； 0 x；1x0(x0f(0)dtfxf由limf(x)2f(0)0(x)

x

0 x0xx0(x)xf(xx

f,hfh(0)lim(h)(0)lim hlim0f(u)dulimfh)1h h0 lim(x)limxf(x)0f(u)dulimf(x)lim

f

2limf(x)211(0)x0(x)四、有关定积分的证明有关定积分的证明题，主要的方法有（1）线换，（2）变上限求导公式（3）恒等变形。a4.22．如果f(x)为[aaaf(x)dx0a

tax

令t

af(x)dxaf(x)dx

f

af(t)dt

f af(t)dt0f(x)dx0f(t)dt

f 0f(x)dx

f(x)dx 4.23．证明：2f(sinx)dx2f(cos 0t 0

，其中f(x)

2

f2

t))dt2

f(cos(t))dt 2f04.24．已知f(x)是以T0a f(x)dx0f 证明： fxdxafxdx0fxdx

fxdx

txT

fx

ftTdt

ftdt

fx所以

fxdx00

f

f2cos2x 4.25．证明：0

f2sin2xf2cos2

，f x f2cos2t I

2

f2sin2tf2f2cos2x0f2cos2xf2cos22I 0

f2sin2xf2f2sin2xf2 I1411029例1029

dxsin9sin910x1时，成立

xsinxx，所

29

sin9 ，

1 102102 4.27xxufuduxu dxxufudu x0fuduxfxxfxx0xufuxx0C0五、广义积分的敛散定义：

f

f(x)dx

收敛p

dxxpxp

（a04.28．研究

dxx(1x解：limu 2limu1dxu

x(1

112lim

xu2limx

)2()uu

1

dx

x2 4x2 解：左边k

k()

k2

2 4.30k

x(lnx)k

kk为何值时，广义积分取得最小值？k1时，有

,k

(ln

(ln

x(ln

1

1

(ln ,k1

kk

xln

x)k1

x(lnx)k

2k12f(x)

k

k1，f(k)

(k1)2(k1)2f(k)0k0

lnln2kk0f(k)0kk0f(k)01kk01lnln2时，广义积分取极小值，也就是最小值。注：类似可研究函数积分，即瑕积分。假设a为f(x)的瑕点，1f(x)dx f(x)dx 例5.26．1 dx0x(x解：原式＝lim1111)dx

11(lnx2)1)0

x

lim((lnx 0 例4.27．1 dx1 x(411解：原式＝

dxlim

lim

x)01x(41x(4x

4

＝arctan(2六、定积分应ygygoxa

fxbbS阴影b

f(xg(xdxy1sinxcosxxyyxyo1x4.28yx2xy2所围图形面积。xyyxyo1x x3S 2xxdx2x

3 2114289 3 yyln2oex4.29．yln2xxyyln2oex S

lnexexln2xe2 ln

e2xlnx

2ee

e2e2e4.30ysin

0x,y1,y

2 S

12arcsinxarcsin 233232

212arcsin23212133212132xarcsin212yyy32ysiny2ox3 3

1

31x231x2123 2 23 31

3

1

3 32 3 3x4.31x

上点1,1的切线与抛物线本身及x轴所围图形12yl1y o1x解：12yl1y o1xky112y11x2

x2y101 = y3

y)0=3

4.32．过00作抛物线yx21两切线，求两切线与抛物线本身所围图形的面积. 解；设切点为xx21 kyx02x0y2xx0 x212x2x1，切线方程为y 0S211x20

yx2 1x 3 11x 3

x轴旋转所得图形的体积（aVxa

bf2yyyfoabxy轴旋转所得图形的体积（bVy2axfby轴旋转所得图形的体积（Vy

d2cx轴旋转所得图形的体积（cyydxcoxdVx2cd

4.33yx2yxx绕y

1x2x4

y0 51120 5 ②

1

y2y201110 6 6 yyyy1o1x4.34y4x抛物线上哪一点处切线平行于x求由抛物线与其水平切线及yx轴旋转所成的旋转体的体积。（1）y42x0x2,y4切点为24y0（2）S244xx20y4o24x02xy4o24x021x 2 （3）V2424xx220 0322x48x316x20322525235 5

832224 4.35ysinx(0xxxy轴分别旋转而 （1）

xdx2

2xsinxdx22例4.36y0x8yx2yx2上求一点，使曲线在该点处的切线与直线y0,x8的围成的三角形面积最大。P（x0y0）PTxA,x8B PTyy2x(xxPyx2y y0x12

AAx0,02 x8y16xx B（8，16xx2 1(81x)(16xx2),0x 2 S1(3x2

162)0yTBoPAyTBoPA(x0,2xx16,16(舍去 因为S )80，所3

S ) S(16)3

单元练习设xftdtlnx21，则f2 01x5sinx4dx 1sint2dt dx 。 xln1exexdx 0bfx为区间a,byfxxaxb,y0所围成的封闭的图形的面积为（）b（A）bfa

af

bfa

(D)命题正确的有（1 dx

x2sinxdx(C)1sinx5dxbarcsinxdx（

(D)x3dxdx

(C) (D).11x200xdx1ex200

00xdx1ex200xdx1ex2

0 10．2x

dxp满足条件（）（A）p

p

p

pxcost

sin

①lim ②lim

x0tan0

③

xtetsin0x3ex

④

0sintxxln（1）

ex

1 x2x2x33

x

exsin2

1x1 xx0

1 1xx9x311

10

13x8

1ln1x 02 1 0x（10）fx 1x ，求3f02x3,2x（11）2[ex]dxxx111

1 （12）

3/

（13）11x4 24x 211 4

211

4ln1tan01 1

xx2

xxxe2 x(x)dx（为常数 （21） lne2 1//20

cospsinpxcosp (pfx2efx2

fx1x,

2x 13．fx

sin2

,x0其中uxx0yxt1t22dt0设fx是连续的偶函数，且fx0Fx

证明Fxx为何值时,Fxfx

ln

dt在ee2et22t1 y28x抛物线在点2,4y0的部分及其在24xyyxxaO

ca0PCCc,0PC垂直于横轴，pxxc旋转体体积VOPCXylnxy0x0.1x10yxyxsin2x0xx设有曲线y 过原点作其切线，求由此曲线、切线及xx若1kg的力能使弹簧伸长1cm，现要使弹簧伸长10cm6m，水面离开地面1m深，现将水池内的水抽尽，至少要作21.（2001）定积分2

x1dx（ （2001）设f(x)为连续函数，则2[f(x)f(x)x]x3dx dx ,k1（2001）计算

2xxet20x2sin（2001）过P(1,0)作抛物线y x2的切线，求（1）切线方程（2）由抛物线1x（3）x11（2002）I1

dx，则I的范围是 0I 2

I

I

2I2（2002）若广义积分

x

dx收敛，则p应满足 0p

p

p

p1（2002）1

xtan21

dx

。2x2 9.（2002）设f(x)1

,x

，求

f(x1)dx10.（2002）求极限x0

x2tanxt(tsinx011.（2002）从原点作抛物线f(x)x22x4的两条切线，由这两条切线与抛物线所围S。求（1）S（2）Sx轴旋转一周所得的立体体积。12（2003）1x23xsinx)dx 11cos2 214.（2003）y4x抛物线上哪一点处切线平行于x求抛物线与水平切线及y求该平面图形绕x15.（2004）x2y28R2S,则20

8R2x2dx的值为 1 1 D. x16.（2004）求极限

0(tantsin2x0

xxx17.（2004）计算广义积分18.（2004）

xf(sinx)dx

f(sinx)dx，并利用此等式

sin 19.（2005）1x1dx 11120.（2005）计算0arctan1

2

1cos221.（2005）y22xx0,y1该曲边三角形绕x

x f(x)x

x0，则f(x)dx ,f(x)dx 010

dx , xndx 0下列广义积分收敛的是

1 13A．x4 B． C．x4 D．3 1xqdx收敛，则有 x0A．q

q

C．q

D．qxy(t1)(t2)dt。则y(0） 0A．- B．- C． D．aa3f(x)x2f(x)dx，且a是不等于1的常数，求证：f(x)dx aa34 3(a4xx

f(t)dt424

1f(x1xx1

0111x010.求f(x)

x t dt在[0,1 0t2txx

1t2)dt1tf(2x1)xex，求5f1t32ln a

etdtet6y求过曲线上2,2求此切线与曲线y 及直线y0所围成的平面图形面积xya(a0)xax2a及y0求此图形绕x求此图形绕yyx33x20设f(x在0,1上连续，且f(x)1,又F(x)(2x1xf(t)dt0证明：F(x)在0,1内只有一个零点1证明：1

sin2 2 0arccos 设连续函数f(x在a,bG(x)1xf(t)dtxabxa试证：G(x)在a,bylnx上e,1l求由曲线切线、曲线本身及x求上述所围图形绕x2(1cos

x

f(x)

xcostx

x0，讨论f(xx00x x0x1f(x在[0,1f122xfxdx0,证明在(0,100单元练习4答1、 2、 3、2xsin5

4、 5、ee6、 7、 8、 9、 10、11、解：(1)原式=limcos2x(2)lim

=

lim =

xesinx

lim|sinx| （1）

ex

111dt2tarctant12(1

t21 （2）原式

xx2xx2t12

(1)dt=t t 2

dt=1111tx1x1 原式=x

0x 3x11 3=0(1x)3/2dx013 130

11110原式

ex1cos(2x)dx=1ex|

ex

2Iexcos2xdx0 Iexcos2xdx =e12exsin2x|

=e105I1e1，5所以，原式=1(e1

ecos01(e1)2(e tx1arcsin

1t 1t 223x123

10原式=1 dx=1ln(x2x1)1

(x

1)2(3

2=1ln322

t31xx1t3

3t

18

13x812w4w2dw36 原式1lnx1d xln211x1x 30x1xln21lnx23 （10）原式0fxdx 411x212 4 20 ln2exdx0 ln22ln33ln4 32cos x2sint8cos3tdt61原式1

1x2dxxsin

sin2t2 11e 原式令I 4

dx1(ex1)原式

1u 31 原 22sinudu42sinudu xsin

02sinn

42 原式

0cos

costdt 2sinn02k1!!

n2 2k22k2k1!!x

n2k1tan 原式 ln(11tanu)du )du ln21tan 004Iln11 x211

1

原式

( )dx222

21x

2 x

0tx1 0

xt20

2tdt2arctan 0时，原式2x(x)dx(1x3x228 02时，原式0xxdxxxdx0x(x)dxx(x3(x2x) x3 x 338

2 2时，原式=2.x(x)dxx21x3228 原式1lnxdxe

e xlnx1/e1dxxlnx11e111e(e1)2 x

sin

sin2sinpucospudu2

sinpucospsinpucosp I 0

du4原式

f(x1)dxux f(u)du

f(u)du

01u2du1210 210

30uu eu13730 3

2 原式=

2max{2,x2}dx

2max{2,x2}

2x2dx

22dx

x2dx

2(822)1682 213limf(x)

2 0[(t1)0

x2x(x1)0

sin2

x2udux1x2002

f(x)

f(0f(x)在x0处连续f(0)limf(h)f(0)

2 0[(t1)0(u)du]dt sin2

lim(h

(u)dulim

(u)du(h1)

)

h2h

(h1)(h2lim

h2

10

f(xx0处可导，且f(0)1(0)314dy(x1xd2y

(x

2(x1)(x2)(x2)(3xy0y0x12311,4 3 434,2 22,y 1(t2)411(t2)3 1(116)1(18)157 15Fxaxtf(t)dtxxtf(t)dta(xtf(t)dtx(txf axaf(t)dtxxf(t)dtatf(t)dtxtfa（1）F(x)

f(t)dtxf(x)xf(t)dtxf(x)xf(x)xf af(t)dt

fF(x)f(x)f(x)2fxF （2）F0xf(t)dtaf(t)dtx0F ax0F(x)0a

tf(t)dt

a16、解：df ln 0,x1，所以f(x)在e,e2上的最大值a x22x

t22t

dt

(t1)2dt

lntd t t1

t(t e17y（1）2yy8,y4,ky241,

y2,oxy4x2，xy2,ox 4y22（２）V06ydy082 16y341y5 3

64 863

145208

20816992 5 Vax2xa2dxcx2xa2yPoayPoaCx0cx2xa20 c3 c2 ac a2

1PC231c2ca23

V

1c21ac1c22acc53y4y3y4ylno1 S01ln 110xlnx0

dxxlnx10

11=0.1ln0.10.910ln101=10ln100.1ln0.18.1=9.9ln10yyyyxsin2yox

S0xsinx2=sin20=1cos2xdx= 12x0112x01

x01，

12x0x02x01切12x0x02x01

，切线方程为：y xy12

2x01x0x02yy xo12xyy xo12x V02xdx1x1 30 2304

1x12 =2

xcm,xKgdwg00 10W=1gxdxgx2

50g0.010.5g焦 odwg

9x22dxxg9x2

x1W3g9x21g39x2dx2g9x22

x g6416g(焦耳 1.2, ,3 3．Ａ4.Ｄ0设af(x)dxAf(xx2A，两边在0a0aaA=f(x)dx(x2A)dx=aa

Aa，A 33 33

a0f(x)dxAa4

2xx2xx20f(x

u 20fudu2 01

sinx =3x 11x2011x201x原式=2 dx 2 d(1x2)arcsinx1/2 1x1x 21x14= 1)(31)1 14 fx x x[0,1fxx22x1 t 11d(t 1fmaxf10(t1)21dt20(t1)2101(t1)21ln(22tt2)1arctant111(ln5ln2)arctan2 fminf0

11x21x22 1x

11x21x