高等光学第七讲

第七讲高等光学光学工程硕士研究生课程函数为常数的连续分段函数的导数。

在第一章和前面（2.6-10）已应用类似的表示此种情况，即：(2.6-16)式中G1表示G1在间断处的变化量。对于在z=0间断处，积分计算应该从z=到z=-。对于z=0处间断的任意函数G1(z)可以写成(在z=0附近)注意到函数的关系，积分式（2.6-15）可变成

因为n0和在z=0处为分段函数（在该点连续，该点两侧的函数值不同，但都是常数积分结果为一个数值差）。积分立即变为（2.6-17）（2.6-19）（2.6-18）式中gS是轴光线在界面上的x坐标，式中的1和2是折射前后的值，而k=n1/n2

。

对方程式(2.6－11)进行积分，积分限是从折射面左边一点到右边一点，X表示关于折射界面两侧的X量的变化，即（2.6-20）利用上式，方程式(2.6-19)可变为（2.6-21）也可写成另有（2.6-22）得到利用方程式(2.6-18)、(2.6-21)和(2.6-22)，方程式(2.6-17)（2.6-23）这是系统中单个界面对A的贡献，式中所有的量均指它们在界面上的值。（2.6-24）式中

（2.6-25）G和表示视场光线的坐标。因此为了计算象差，我们必须首先追迹近轴光线和视场光线，然后计算由各界面产生的和AS、BS、CS、DS和ES值，并将各界面的贡献相加，便得到系统的总象差。下面我们举一些例子进行讨论。同样能够得到§2.6.1.玻璃平面的象差如图2.12所示，我们现在讨论物O被玻璃平面成象的情况。象是虚的，但所作的分析仍然有效。参考平面z=

取在玻璃平面上，而两个媒质的相对折射率是，点I表示傍轴象点(图2.12)。图2.12

把相对折射率为的两种煤质分隔开的平折射面所引起的象差。该面取为出射光瞳面为求轴光线，考察从O点发出的一条傍轴光线，它在单位高度处投射到z=

=0的平面上。因此，在出射光瞳的参考平面（2.6-27）（2.6-26）注意z0和z1两者都是负值。把这些值代入球面象差系数的表示式（2.6-23），因为光线在边界（z=）上满足斯涅耳定律，所以对于傍轴光线，则有z1=z0，由此得到傍轴象点的位置。（2.6-28）（2.6-29）得到因而利用傍轴近似，可得到

当光线在距离z轴高度为l处投射在该平面时，横向球面象差为（2.6-30）纵向球面象差为（2.6-31）§2.6.2.薄透镜的象差

现在我们求薄透镜的各种象差的显式。为了确定薄透镜的象差，我们必须首先追迹轴光线和视场光线，设z0是物平面离透镜的距离(因为假设透镜是薄的，所以z0可以是物平面离透镜第一表面或第二表面的距离)。图2.13计算薄透镜象差的示意图。图中标明了近轴光线和视场光线显然（2.6-32）设z1是透镜到傍轴象平面的距离(图2.13)。设R1和R2是两表面的曲率半径，是透镜媒质的折射率．设g0、g1、g2和gi分别表示近轴光线在物平面、第一、第二折射面和象平面上的高度。进一步利用第一章第五节的分析，我们得到下列在三个媒质中的光学方向余弦表示式：（2.6-33）由

（2.6-34）（2.6-35）同样，对于视场光线，我们得到（2.6-36）和（2.6-37）此外，由

有（2.6-38）定义（2.6-39）利用上面关系式，我们能够计算象差系数A、B、C、D和E。

例如，第一表面对球面象差的贡献为：（2.6-40）第二表面对球面象差的贡献为：（2.6-41）于是，整个透镜的球面象差系数A是方程式（2.6-40）和（2.6-40）之和。

最后简化为（2.6-42）代数计算薄透镜球面像差同样，能得到其它象差系数（2.6-43）(2.6-44)值得注意的是薄透镜没有畸变。

对于平行于光轴的入射光线，仍可使用这些公式，这时z0取-。显然，当z0-时，B,C和D也趋于零，而A简化为（2.6-45）在这种情况下，傍轴象在焦点上，而象差决定于傍轴焦点和边缘焦点的差值。

由此可以计算横向球面象差，即垂直于光轴的平面上的象差横向差式中f是薄透镜的焦距（=1/），而是光线投射在透镜上离光轴的距离。（2.6-46）而纵向球面象差，亦即傍轴交点与边缘焦点的差值[式（2.3-6）；现在d

=f

平行于透镜光釉的一束光线所形成的象只有球面象差。如果我们考虑一束与光轴倾斜的平行光线，那么所成的象也还有其它象差。（2.6-47）为了计算一束与光轴夹角为的平行光线所成象的慧差，我们假设物离光轴的高度为x0，离透镜的距离为-z0

，于是象的慧差为3Bx02，利用方程式(2.6-43)，它可改写为（2.6-48）因而一束与z轴成

角的平行光线所成象的慧差为（2.6-49）这里z1=f

表示焦距，第二项变成零。取极限x0-和z0-，但x0/z0=tg

保持不变，形成与光轴成角的一束斜入射的平行光线。

§2.7色差

折射率依赖于所研究的光辐射波长。因为成象时总要在折射率不连续处发生折射，或是在折射率连续变化的媒质中传播，因此色散要影响象的形成。非单色光，折射后不同波长的光成分沿着不同方向前进，成象于不同点上，由此引起的象差称为色差。

在这一节，我们讨论光学系统的初级色差，并假设这个系统不存在五种赛德耳象差中任何一种。实际象点和任一特定波长象点之差就是色差。这差值沿光轴的分量称为纵向色差，而沿垂直于光铀的分量则称为横向色差。

为了研究色差，我们只讨论傍轴方程式，傍轴方程式（第一章第五节讨论过）为

(2.7-1)对于某个适当选择的原点，取z=z0

为物平面

我们先求出单个折射面的色差。可以证明多个折射面组成的系统的色差很容易由单个折射面公式得到。

(2.7-2)因为我们要研究波长对成象的影响，因此必须选择一个特定波长，并根据该波长光线所成的象定义象差。根据这种波长(通常选择λ=589.3nm)定义近轴光线(坐标g,)和视场光线(坐标G,)。设这种波长的傍轴象平面为z=z1。式中=f(u)+z2，而z2为该折射面的顶点。u=x2+y2，而(x)为单位阶跃函数，n是波长的函数。（2.7-3）设将折射率为n1和n2的两种媒质分隔开的折射面的曲率半径为R。如§2.6一样，此时系统的折射率函数为

该折射面的方程式为在§2.6中已经确定了系数H1和H2

（2.7-4）n0是在选定的参考波长下沿光轴的折射率变量。（2.7-5）如果x表示当变化时横向色差x的变化，那么由方程式（2.7-5）得到(2.7-7)（2.7-6）因为(g,)表示傍轴方程式的解，如前所述，我们得到于是方程式（2.7-1）变为或改写为我们把上式代入方程式（2.7-6）得到

（2.7-8）从z0到z1对方程式（2.7-8）进行积分，其中z=z0和z=z1分别表示物平面和象平面，并且利用g(z0)=g(z1)=0和(x)z0（表示物平面的色差）为零，得到（2.7-9）利用关系式（2.7-10）式中x0是光线在物平面z=z0上的x坐标，而是光线在出射光曈平面z=上的x坐标，（2.7-11）方程式（2.7-9）可简化为或式中（2.7-12）我们利用方程式（2.7-7）可使方程式（2.7-12）简化。例如：

（2.7-13）对于方程式（2.7-13）中的第一项进行分部积分

并且由于g(z0)=g(z1)=0，则得（2.7-14）同样有（2.7-15）式中表示量度媒质色散的量。通常可用下式（由习题中的计算可得此关系，见习题2.9）量度色散中的nF、nC和nD分别表示对应于氢F线（

=486.1nm），氢C线（

=656.3nm）和钠D线（

=589.3nm）等波长的煤质折射率。其具体数值参考有关书籍。对于由几个界面分隔开的均匀媒质组成的光学系统，仅在界面处才对K和L有贡献，而且整个系统的色差可由方程式（2.7-11）得到，（2.7-16）求和遍及系统所有的折射面。常规方法是消除F线和C线相对于D线的色差（见方程式2.7-18成像色差和2.7-22焦距色差），即使作了这样的校正，系统对其它波长仍然有色差。其中这里

=

n/n。（在界面上表现出变化，习题2.9中计算对空气与介质的折射面，等于

-0或0-）

第四章衍射

§4.1引言我们考察图所示位于矩形狭缝AB前面的点光源P0

。按照几何光学,光源将一个清晰的阴影投射在屏SS’上，这样，区域将A’B’被均匀的照明,而在屏的其余部分则完全黑暗，然而，如果仔细地观察A’的邻近区域，就会发现强度的逐渐变化，或者甚至出现条纹图样，这是由于衍射现象所造成的，因为波长很小，这些效应只有很仔细地观察才能发现。实际上，在波长趋于零的极限时，强度的逐渐变化将趋于消失。

图4.1按照几何光学定律，点光源P0在屏SS’A’B’处形成清晰的阴影。但是由于衍射，在A’和B’附近将看到条纹图样（或强度的逐渐变化）

本章将相当详细地讨论衍射现象。我们的出发点是标量波方程式

在均匀媒质中，电场或磁场矢量的各个分量都满足上述方程式。在方程式（4.1-1）中，c表示波的传播速度。波的强度与成正比。（4.1-1）§4.2球面波

式中k(=/c)表示波矢。方程式(4.2-2)称为亥姆霍兹方程式。对于球面波,u仅是径向坐标r的函数，因而方程式(4.2-2)变为我们讨论单色波，即假设时间因子取为exp(it)，则有(4.2-1)如果我们将上式U(r,t)代入方程式（4.1-1），得到(4.2-2)(4.2-3)设函数(r)=ru(r)满足(4.2-4)式中A

表示波的振幅,上下符号分别相应于出射与入射球面波。指数前面的因子1/r

表明点光源发出的球面，其强度按1/r2

减少，这就是平方反比定律。或者(4.2-5)因而，对于单色球面波(4.2-6)§4.3亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理

空间两个点场的函数关系为u，一个点在其等位面（矢量曲面）场上的函数关系是u，两个点u’

u在其等位相交曲面（矢量曲面）的关系是u’u和uu’之和，如果两个点分别在矢量曲面（某一侧为曲面法线方向的正方向）的两侧，则是u’u和uu’之差（矢量和）。我们讨论曲面S，它是一个闭合面，包围的体积V。F表示矢量函数，

表示曲面S法线方向的单位矢量，负号表示内法线方向。对

有两点与曲面的积分关系如果函数u和u’连同它们的一阶和二阶导数在面S上和S内都是连续的，则格林定理告诉我们：图4.2是内的一个小球面，表示单位内向法线（4.3-1）式中左边和右边的积分分别表示体积分（在体积V内）和面积分（在面S上），等式右侧相当于两个场在曲面上的叠加后在曲面内表面法线（用负号表示）方向上的投影（图4.2）。这两个场一个在曲面内，另一个在曲面外（符号相反）。如果我们假设u和u’是亥姆霍兹方程式的解，则并且，方程式（4.3-1）中左边的被积函数处处为零。式中任选r=[x2+y2+z2]1/2表示离开所选原点的距离。于是