概率统计第二章1

高等院校非数学类本科数学课程——概率论与数理统计大学数学（二）第四讲离散型随机变量及其分布脚本编写、教案制作：

裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码，这样建立了一种对应关系.

为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律,有必要将随机试验的结果数量化,即引入随机变量来描述随机试验的不同结果.例

检测一件产品可能出现的两个结果,

也可以用一个离散变量来描述第一节随机变量设是试验E的样本空间,若则称

X()为上的

随机变量．随机变量一般用大写字母X,Y,Z,

定义随机变量

(randomvariable)按一定法则R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！ω.

(1)

随机变量是一个函数,但普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).随机变量与普通的函数不同:随机变量X

是上的映射,(2)

随机变量X的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值．(3)

X

以一定的概率取某个值.

有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.事件{收到不少于1次呼叫}{没有收到呼叫}

再如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.

我们可以身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.

如

P{X>1.7}=？

P{X≤1.5}=?P{1.5<X<1.7}=?随机变量的分类:(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.

观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X

的可能值是:实例11,2,3,4,5,6.实例1

随机变量X为“灯泡的寿命”.(2)连续型

随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为离散型随机变量连续型非离散型其它第二节离散型随机变量及其分布律

如果随机变量只取有限或可列无穷多个值，则称随机变量为离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？2）取任意可能值的概率是多少？

设随机变量

的可能取值为，且则称（1）式为的概率分布或分布律.

分布律（1）也常常写成如下的表格形式.

显然有：或者也可以表示为

设随机变量

的可能取值为，且则称（1）式为的概率分布或分布律.例2

某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取值为0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81例已知随机变量的分布率是求常数c.

解:由分布率的性质,有

下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分布。（一）0-1分布若的分布律为或者

01

则称随机变量服从参数为p的0-1分布.

如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为p，则成功的次数服从参数为p的0-1分布。

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明实例2

200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.（二）二项分布(BinomialDistribution)

若随机变量的分布律为：则称随机变量服从参数为n,p的二项分布，

二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中成功的概率均为p，则在n重伯努利试验中成功的次数服从参数为n,p的二项分布。注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。记为或例6

已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~B(3,0.05)，解因此例2

直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算公式。我们先引入一个重要的分布。(三)泊松分布(PoissonDistribution)如果随机变量的分布律为：则称随机变量服从参数为的泊松分布。记为

实例：

1500年到1932年之间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参数为0.69的泊松分布。交通事故次数地震火山爆发特大洪水

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.例已知X服从伯松分布，且求解：图示概率分布二项分布

泊松分布

可见，当n充分大,p又很小时,可用泊松分布来近似二项分布！当n很大p很小时，有

当n很大(一般不小于20)p很小(一般不大于0.05)时,二项分布可近似的用泊松分布来表示.这实际上也就表明了大量试验中稀有事件发生的次数可以用泊松分布来描述.而泊松分布的值可以通过查表得到.

续例4

现在我们运用泊松定理来做近似计算,由于此时故,于是因此

该例题表明,即使是一个命中率很低的射手,在大量的射击中至少击中两次或两次以上概率还是很大的.例8

一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数λ=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P{X≤m}>0.95的最小的m

.查表得P{X>m}≤0.05也即于是得m+1=10,m=9.或

例6

社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律.

解

设该人购买的次数为X,则X的可能取值为表示第一次购买就中奖,其概率为p.表示购买两次奖券,但第一次未中奖,其概率为1-p,而第二次中奖,其概率为p.由独立性知,有(1)

一般的,如果某随机变量的分布律具有(1)的形式,则称该随机变量服从参数为p的几何分布.表示共购买了k次奖券,其中前k-1次都未中奖,而第k次中奖,因此有

因此,购买次数的分布律为

例6

社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律.

例3

设某批产品共有N件，其中有M件次品。按如下两种方式从中任选n件产品:(1)一次次从中取出产品，每次取一件，并在观察后放回;设取得的次品数为，试求的分布律。解

(1)由于是有放回的抽取，所以每次抽取时抽到一件次品的概率均为M/N，所以故有种，而其中恰好有k件次品的取法共有种，所以有此时我们称服从超几何分布。

例3

设某批产品共有N件，其中有M件次品。按如下两种方式从中任选n件产品(2)在N件产品中任选n件,设取得的次品数为，试求的分布律。

(2)在N件产品中任选n件，所有可能的取法有为X的分布函数。设X是一个随机变量，定义1是任意实数，则称函数∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。第三节随机变量的分布函数

如果将X

看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的概率．分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.因此可以认为∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。

分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.为X的分布函数。设X是一个随机变量，定义1解:例1.

已知随机变量X的分布律为求分布函数当时,

当

时,

当时,

当时，所以，概率函数图分布函数图画分布函数图

的图形是阶梯状的图形,在x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).F(x)右连续

一般,设离散型随机变量的分布律为则由概率的可加性可得分布函数为二、分布函数的性质⑴单调不减性：⑶

右连续性：⑵

，且，则上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。事实上,例1

设随机变量的分布律为－123求的分布函数,并求解

由概率的可加性,得所求的分布函数为因此

例2

一个靶子是半径为

2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X

表示弹着点与圆心的距离.

试求随机变量X的分布函数.解：（1）若

x<0,则是不可能事件，于是（2）X（3）若

,则是必然事件，X

例2

一个靶子是半径为2

米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X

表示弹着点与圆心的距离.

试求随机变量X的分布函数.于是此时0

1

2

31F(x)x

注意,此分布函数为一连续函数.因此,存在着与离散型随机变量不同的另一种随机变量连续型随机变量.

下面我们来分析一下连续型随机变量的一些特征.为此,令则有这就是说,该例中的分布函数可以表示为某一非负函数在上的积分.这不是偶然的.事实上,它是连续型随机变量的分布函数所具有的共同特征．第四节连续型随机变量的概率密度一.概率密度及其性质定义

如果随机变量X的分布函数可表示成其中为非负的函数,则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或密度.记作定义

如果随机变量X的分布函数可表示成其中为非负的函数,则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或密度.另外,连续型随机变量还具有如下重要性质:6)连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即,对于任意常数a,有5)连续型随机变量的分布函数是连续函数.这是因为强调

概率为0的事件未必不发生.证明:

要注意的是，密度函数

f(x)在某点a处的高度，并不反映X取a值的概率.但是,这个高度越大,则X取a附近的值的概率就越大.也可以说,在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.6)连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即,对于任意常数C,有7)若是连续型随机变量,则由上式

连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关例1

已知随机变量的的概率密度为且试确定常数并求解

解方程组得两个未知数，两个方程．作业P562.4.~6.9.8.13.12.15.17.18.高等院校非数学类本科数学课程——概率论与数理统计大学数学（二）第五讲连续型随机变量的分布随机变量函数的分布

脚本编写、教案制作：二.三种重要的连续型分布(一)均匀分布(UniformDistribution)如果随机变量的概率密度为则称在［a,b]上服从均匀分布，记为概率密度函数图形上式表明,落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的概率是相同的.在这个意义上我们说,服从均匀分布的随机变量在其可能取值的区间内具有等可能性.设则

例3

设随机变量现在对进行三次独立的观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解

由题设知的概率密度为于是若以Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次试验中{X>3}出现的次数),则故所求的概率为

例3

设随机变量现在对进行三次独立的观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解：例2.4.3设随机变量服从区间上的均匀分布,求方程有实根的概率.解:因为当时方程有实根,即或时方程有实根,所以所求概率为二.指数分布(ExponentialDistribution)如果随机变量的概率密度为则称X服从参数为的指数分布.为常数,例若X

服从参数为

的指数分布,则其分布函数为证：事实上,当时,当时,易知，若则其分布函数为

指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似.例如,电子元件的寿命,电话的通话时间,微生物的寿命,随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布.

指数分布的一个重要性质就是“无后效性”或“无记忆性”.具体叙述如下.设则对于任意的s>0,t>0,有事实上，有

假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命,则上式表明,在该元件已工作了s小时的条件下,它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说,如果元件在时刻s还“活着”,则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻”的.值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.

下面的例子说明了泊松分布和指数分布之间的关系。即服从参数为指数分布。=

三.正态分布(NormalDistribution)若随机变量X的概率密度为则称服从参数为的正态分布.记为

称相应的分布函数为正态分布,相应的概率密度为正态密度.服从正态分布的随机变量统称为正态变量.正态变量的分布函数为

正态分布是概率论中最重要的一个分布.高斯在研究误差理论时曾用它来刻划误差,所以又称为高斯分布.经验表明,许多实际问题中的随机变量,如测量误差,炮弹落点的分布,人的身高,学生考试的成绩,农作物的产量,产品的尺寸等都可以认为服从正态分布.三.正态分布(NormalDistribution)若随机变量X的概率密度为则称服从参数为的正态分布.记为若随机变量X的概率密度为则称服从参数为的正态分布.记为曲线关于轴对称；函数在上单调增加,在上单调减少,在取得最大值正态分布的概率密度曲线图:决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.

正态分布概率密度曲线特点:当固定μ时,σ越大,曲线的峰越低,落在μ附近的概率越小,取值就越分散,σ是反映X的取值分散性的一个指标。

正态分布概率密度函数图形特点:正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布。下面我们介绍一种最重要的正态分布若随机变量X的概率密度为则称服从参数为的正态分布.记为标准正态分布若则称服从标准正态分布.其概率密度函数通常用表示,分布函数记作若随机变量X的概率密度为则称服从参数为的正态分布.记为标准正态分布

标准正态密度的图形公式:标准正态分布的分布函数可通过查书后的附表得到.但是表中只列出了时的分布函数值,对于时的情形,可利用下面的公式计算问题：对于一般的正态分布,如何计算其分布函数的值?设其分布函数为则于是,有

通常称这个公式为正态概率计算公式,它把一般正态变量的概率计算转换为标准正态分布来计算.设其分布函数为则若则定理证明：更进一步的，还有下面的结论。若X～N(0,1),若则设,则有若则查表可得设,则有即,X落在内几乎是肯定的事.这就是所谓的“”法则.解P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h

.看一个应用正态分布的例子:例

公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设人的身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?设车门高度为hcm,按设计要求因为X～N(170,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33,即

h=170+13.98184设计车门高度为184厘米时，可使人与车门碰头的机会不超过0.01.P(X<h)

0.99求满足的最小的h.所以.

例5

由历史记录知,某地区总降雨量(单位:mm).求(1)明年降雨量在400mm~700mm之间的概率；(2)明年降雨量至少为300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率为0.1?解

1)2)设该值为则有即查表得从而

例5

由历史记录知,某地区总降雨量(单位:mm).求(1)明年降雨量在400mm~700mm之间的概率；(2)明年降雨量至少为300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率为0.1?解:3)离散型随机变量函数的分布解：当X

取值

1，2，5时，

Y取对应值

5，7，13，例1设X求

Y=2X+3的概率函数.～而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.故第五节随机变量函数的分布一.离散型随机变量函数的分布关键是要确定两点：1)可能的取值;2)

取任一值的概率.

本节的基本任务:已知随机变量的分布(分布律或概率密度),求的概率分布.例1

已知

X

的概率分布为求Y

1=2X–1与

Y2=X

2

的分布律解:Y1pi-3-113X

pk-1012Y2pi1014X

pk-10