材料力学 第六章

MechanicsofMaterials材料力学编制：邹思敏审定：袁海庆配套教材：武汉理工大学出版社《材料力学》第三版

（主编袁海庆）6

弯曲应力编制：邹思敏审定：袁海庆配套教材：武汉理工大学出版社《材料力学》第三版

（主编袁海庆）6.1

梁横截面上的正应力6.2

梁横截面上的切应力6.3

梁的强度条件6.4

梁的合理截面6.5

非对称截面梁的平面弯曲弯曲中心6.6

考虑材料塑性时梁的极限弯矩6

弯曲应力6.1梁横截面上的正应力

梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力）。

在横向力的作用下，一般说来，梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力），称为横力弯曲。6.1.1纯弯曲时梁横截面上的正应力１.纯弯曲的概念２.纯弯曲梁横截面上的正应力公式１）对变形几何关系的观察实验：横向线仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。

纵向线由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。▼变形规律m’m’n’n’MMmmnn２.纯弯曲梁横截面上的正应力公式１）对变形几何关系的观察实验：m’m’n’n’MMmmnn▼基本假设（1）梁横截面变形后仍保持为一平面，且仍与弯曲后的梁轴线正交，只是象刚性平面一样绕其上的某轴转动了一个角度。——平面假设

（2）梁是由一层层纵向纤维组成的。梁变形后，靠近凹边纤维缩短，靠近凸边纤维伸长，且各纵向纤维之间无挤压。梁的中性层：长度无改变的纤维层。截面的中性轴：中性层与截面的交线。（１）根据几何关系建立纵向线应变关系：mmnnＯＯ1K2K1m’m’n’n’K1mmnndxoo1yK2２）正应力公式推导：yKzy（１）根据几何关系建立纵向线应变关系：mmnn２）正应力公式推导：yKzy+－（２）引入虎克定律建立应力关系：（３）运用静力学关系建立应力与内力的关系：２）正应力公式推导：yKzy+－面积矩为

0，表明中性轴z轴为形心轴。即有——中性轴位置确定（３）运用静力学关系建立应力与内力的关系：２）正应力公式推导：yKzy+－——梁变形曲率计算公式——正应力公式截面上的最大正应力与截面模量：２）正应力公式推导：zymaxy+－抗弯截面模量令zhbd6.1.2横力弯曲时梁横截面上正应力的计算工程中常见的梁弯曲是横力弯曲

实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。例6.1

设例题5.7中梁由10号工字钢制成，求B截面上的最大正应力和该截面腹板部分的最大正应力。

2kN/mABC4m4m

1kN44

kN·m解：查表得：Cycth6.2

梁横截面上的切应力cdnmcdc1d1m1n1dF’A*dxbm’1n’1m’n’

FQFQMM+dMmnmnστmncdττdF’dxσmmnndxx6.2.1矩形截面梁的切应力假设：（１）距中性轴距离相同的各点切应力大小相等（即切应力沿截面宽度均匀分布）。FQFQMM+dMmnmnστmmnndxx用相互平行的两个横截面m-m、n-n截下一段作为研究对象。dx（２）各点处切应力的方向与截面侧边平行。xFQFQMM+dM问题：求到中性轴距离为y的cd线处切应力。nmcdc1d1m1n1dF’A*dxbm’1n’1m’n’

y1mncdττdF’dxσσ2cdmnmnστσ2y1yx1、切应力公式以cd以下部分为脱离体：FQFQMM+dMnmcdc1d1m1n1dF’A*dxbm’1n’1m’n’

mncdττdF’dxσσ2cdmnmnστσ2y1y横截面上cd线以下部分对中性轴的面积矩。z问题：求到中性轴距离为y的cd线处切应力。1、切应力公式以cd以下部分为脱离体：２、矩形截面剪应力的分布：t抛物线分布6.2.2、工字形截面梁的切应力假设:t平行于腹板侧边，并沿其厚度均匀分布１、腹板切应力按矩形截面计算——距中性轴距离为y的横线以外部分的横截面积对中性轴的静矩——半个横截面面积对中性轴的静矩d2、横截面上最大切应力翼缘上平行于y轴的切应力很小，工程上一般不考虑。例6.2

简支梁由56a号工字钢制成。试求最大切应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处c点的切应力。B5

m10

mAF=150kN

CFA

FB

12.521166zc解：作剪力图，知最大剪力为：+－75kN75kN查型钢表得例6.2

简支梁由56a号工字钢制成。试求最大切应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处c点的切应力。

12.521166zc解：（１）最大切应力：例6.2

简支梁由56a号工字钢制成。试求最大切应力和同一横截面上腹板部分与翼缘交界处c点的切应力。

12.521166zc解：（２）腹板上与翼缘交界处c点切应力：1、假定切应力的分布特征：(1)沿壁厚切应力的大小不变；(2)切应力的方向与所在圆周相切。6.2.3薄壁环形截面梁的切应力zyOtmaxtdr0tmax2、薄壁环形截面梁最大切应力的计算yzydr计算到中性轴距离为y以外的部分对z轴面积矩：查表得：最大切应力tmax

仍发生在中性轴z上。——薄壁环形截面梁最大切应力6.2.4圆截面梁的切应力切应力的分布特征：

边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与y轴对称。最大切应力出现在中性轴位置。zyOtmaxτdτ6.2.4圆截面梁的切应力最大切应力计算：zyOtmaxτdτyzOC2d/3p半圆形心距中性轴

6.3梁的强度条件6.3.1梁的正应力强度条件——正应力强度条件等直梁：等直梁正应力强度条件：（中性轴为横截面对称轴的等直梁）拉、压强度不相等材料制成的梁：Ozyytmaxycmax最大拉应力：最大压应力：梁的正应力强度条件应用：

1、强度校核——2、截面选择——3、确定容许荷载——6.3.2梁的切应力强度条件对等直梁，有

一般tmax发生在FQmax所在截面的中性轴处。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态,可按纯剪切应力状态建立梁的切应力强度条件：梁的切应力强度条件应用：

1、强度校核2、截面选择3、确定容许荷载6.3.2梁的切应力强度条件梁的截面设计必须同时满足正应力强度条件与切应力强度条件。通常梁的强度是由正应力强度条件所控制，正应力强度条件满足时，切应力强度条件一般会自动满足。在以下特殊情况下，还必须校核梁的切应力强度条件：１、梁的最大弯矩较小，而剪力很大时；２、焊接或铆接组合截面梁，其腹板厚度与高度之比小于型钢截面相应比值时。6.4梁的合理截面

1)横截面积分布应尽量远离中性轴，越大越好。选择合理的截面形状

1)横截面积分布应尽量远离中性轴，越大越好。选择合理的截面形状选择合理的截面形状图a图b图c图d选择合理的截面形状工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板。选择合理的截面形状风电塔筒

2)对于拉、压许用应力不相等的材料（例如大多数脆性材料），采用T字形等中性轴距上下边不相等的截面,使中性轴靠近拉应力的一侧，以使危险截面上的最大拉应力和最大压应力尽可能同时达到材料的许用应力。Ozyytmaxycmax选择合理的截面形状

3)采用变截面梁选择合理的截面形状等强度梁成昆线旧庄河一号桥中国铁路上首次采用悬臂拼装法施工的预应力混凝土桥，主跨为24+48+24(m)铰接悬臂梁。

（一个单元）例6.3

图示为由工字钢梁。钢的许用弯曲正应力[σ]=152MPa，许用切应力[τ]=95MPa

。试选择工字钢的型号。解：作计算简图和弯矩图１、根据正应力强度条件选择截面与要求的Wz相差不到1%，可以选用。查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值30kN／m10m375kN·mM例6.3

图示为由工字钢梁。钢的许用弯曲正应力[σ]=152MPa，许用切应力[τ]=95MPa

。试选择工字钢的型号。解：30kN／m10m１、根据正应力强度条件选择截面２、根据切应力强度条件校核375kN·mM作剪力图+－FQ150kN150kN查表，56b号工字钢：安全例6.4T字形铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σa]=90MPa。按合理截面要求确定尺寸δ

，并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。解：根据截面最为合理的要求1m2mBAFCy2y1z60220yO220dy0由几何关系可确定截面形心合理位置：例6.4T字形铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σa]=90MPa。按合理截面要求确定尺寸δ

，并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。解：1m2mBAFCy2y1z60220yO220dy0将代入，可解得根据组合截面形心计算公式，有δ＝24mm截面对中性轴的惯性矩为解：1m2mBAFCy2y1z60220yO220dy0梁最大弯矩为跨中弯矩：容许荷载解：1m2mBAFCy2y1z60220yO220dy0按正应力强度条件：切应力强度不再校核6.5非对称截面梁的平面弯曲

弯曲中心FOzyx挠曲线形心主惯性平面荷载所在纵向平面6.5.1非对称截面梁的横力弯曲在横力弯曲的情况下，只有当横向力作用在与梁的形心主惯性平面平行的某一特定平面内时，梁才会发生平面弯曲。6.5.1非对称截面梁的横力弯曲外力作用在其它位置，梁在弯曲同时产生扭转O外力作用在某“特定纵向平面”上，发生平面弯曲OFmmnndxx槽形截面梁：“特定纵向平面”的位置分析FQFQMM+dMmnmnσ1τσ2dx取长度为dx的微段在微段上，沿下翼缘厚度方向用纵向平面切下宽度为u的脱离体：σ2σ1utdxuh’b’σ2σ1mm脱离体两端面面积：A*,dxuh’b’σ2σ1mmσ2σ1ut脱离体两端面上正应力的合力分别为：由沿翼缘方向切应力的合力为：dxuh’b’σ2σ1mmσ2σ1ut由切应力互等定理，翼缘距边缘u处切应力即τmaxτwmmτfeFfFw上下翼板的一对力形成力偶Ffh’沿翼缘方向切应力的合力为：由切应力互等定理，翼缘距边缘u处切应力即τmaxτwmmτfeFfFw上下翼板的一对力形成力偶Ffh’腹板应力的合力Fw与力偶Ffh’合成为一个力，即截面剪力FQFQ截面剪力FQ位于平行于梁的形心主惯性平面且距离腹板中心线为e的纵向平面内OFmmmeFFQmAzOFFaFF发生平面弯曲发生弯曲+扭转meFQmAzameFFQmAzA点——“弯曲中心”FaFmeFQmAza平行于梁的形心主惯性平面且距离腹板中心线为e（距离形心主惯性平面a）的纵向平面从上述指导过程可知，弯曲中心就是梁横截面上弯曲切应力合力即FQ的作用点6.5.2开口薄壁截面杆的弯曲中心(3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。AAA具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这