机械故障诊断学 钟秉林 第5章非平稳信号特分析

第5章非平稳信号特征分析

短时傅里叶变换

小波分析2023/1/151机械故障诊断理论与方法特征分析的目的：去伪存真（研究特征量的变化规律）去粗取精（选择对工况最敏感的特征量）特征分析的手段：时域频域及其各种变换域时频域

概述2023/1/152如前所述，傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。一、短时傅里叶变换2023/1/153例1：假设一信号的主要频率成分是100Hz和400Hz，如图所示，通过傅里叶变换对其频率成分进行频域分析。上图为原始信号，从图中看不出100Hz和400Hz的任何频域信息。但从下图的信号频谱分析中，可以明显看出信号的频率特性。2023/1/154

从上例中可知，虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域进行观察，但却不能把两者有机地结合起来。[傅里叶变换反映的是信号的整体特性，不能识别信号的局部特征，所以只适合平稳信号的分析]

信号的时域波形中不包含任何频域信息；而其傅里叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息。也就是说，对于傅里叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时侯产生的。这样，在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。2023/1/155

在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。如在故障诊断中，故障点（机械故障、控制系统故障、电力系统故障等）一般都对应于测试信号的突变点。对于这些时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段（或瞬间）的频率信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，需要寻求一种具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号。2023/1/156

为了研究信号的局部特征，科学家们提出了一些对傅里叶变换进行改进的算法，其中短时傅里叶变换（ShortTimeFourierTransform－STFT）就是比较有代表性的一种。短时傅里叶变换是一种折衷的信号时、频信息分析方法，它是DennisGabor于1946年提出的。2023/1/157短时傅里叶变换的基本思想是：通过给信号加一个小窗，将信号划分为许多小的时间间隔，用傅里叶变换来对每一个时间间隔内的信号进行分析，以便确定该时间间隔内的频率信息。

它假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的这个短时间间隔内是平稳的（伪平稳），并移动分析窗函数，使f(t)g(t-τ)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。2023/1/158短时傅里叶变换定义如下：其中，f(t)是待分析的信号；函数是的复共轭函数；

g(t)是固定的紧支集函数，称为窗口函数。随着时间τ的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。2023/1/159短时傅里叶变换

大致反映了f(t)在时刻τ时，频率为ω的“信号成分”的相对含量。这样，信号在窗函数上的展开就可以表示为在这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，δ和ε分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时－频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率越高。2023/1/1510为了得到更好的时频分析效果，希望δ和ε都非常小，但是由海森堡测不准定理（HeisenbergUncertaintyPrinciple）可知，δ和ε是互相制约的，两者不可能同时都任意小。（事实上，δ·ε≥0.5，且仅当g(t)为高斯函数时，等号成立。）2023/1/1511

由此可见，短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，τ和ω只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。

可以说，短时傅里叶变换是具有单一分辨率的分析，这对分析信号来说是很不利的。因为，一般来说高频信号持续的时间比较短，低频信号持续的时间比较长。为了更好地分析信号，信号的高频成分需要窄的时间窗，而信号的低频成分需要宽的时间窗。而单一分辨率无法满足这种要求。这意味着，只能牺牲时间分辨率以换取更高的频率分辨率，或反过来牺牲频率分辨率以提高时间分辨率。2023/1/1512正是由于傅立叶分析理论存在上述缺陷，人们一直在寻找更好的基来展开和描绘任意函数，经过多年的探索和总结，逐渐发展成为小波分析理论。小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，并且克服了其窗口大小和形状固定不变的缺点。它不但可以同时从时域和频域观测信号的局部特征，而且时间分辨率和频率分辨率都是可以变化的，是一种比较理想的信号处理方法。二、小波分析2023/1/15131984年，法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，发现传统的Fourier变换难以达到要求，因而引入小波概念用于对信号进行分解。

小波变换理论发展过程中的重要阶段

1985年，Meyer构造了具有一定衰减性质的光滑函数ψ，它的二进制伸缩与平移构成了L2(R)的规范正交基，这一发展标志着小波热的开始。1986年，Lemarie和Battle分别提出了具有指数衰减的小波函数。

1987年，法国马赛召开第一次有关小波的国际会议。2023/1/15141990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函数。1988年，Mallat与Meyer合作提出了多分辨分析的框架。1988年，Daubechies构造了具有有限支集的正交小波基。在美国Pure＆Appl.Math.发表一篇长达87页的论文，被公认是小波分析的经典文献。1989年，Mallat在多分辨率分析基础上，构造了Mallat算法。为此，Mallat于1989年荣获IEEE论文奖。2023/1/15151990年，Meyer等出版第一部小波系统性专著《小波与算子》，共三卷。尤众、王耀东、邓东皋等译校成中文本（共两册）。这套书详细研究了各种小波基的构造，小波基与函数空间的关系，小波分析在复分析、算子论、偏微分方程与分线性分析等方面的应用。1991年，邓东皋等在《数学进展》上发表“小波分析”－国内第一篇小波论文。对国内小波的研究和应用起了很大的推动作用。1992年，Daubechies的《小波10讲》系统论述了正交小波的紧支性、正则性、对称性及时频特性，介绍了离散小波变换和连续小波变换等。到此，经典小波理论已基本成熟，1992年以后，在国际上，重点转向小波的推广和应用。2023/1/1516在国内，由于对小波的研究起步较晚，20世纪90年代以来，可以说小波的理论研究和应用研究几乎同时开始。1994年，形成国内的小波高潮。近十年来，小波理论一直在各个不同研究领域扮演着重要的角色。主要集中在数学物理（如分形、混沌、求解方程等）、图像与数据压缩、信号处理、神经网络、故障诊断与检测、石油地质勘探等方面。2023/1/1517小波与小波变换我们称满足条件定义1：的平方可积函数ψ(x)（即ψ(x)∈L2(R)）为基本小波，或小波母函数。

通常使用的小波母函数有：Daubechies小波、Harr小波以及Morlet小波。Morlet小波函数由下式描述：2023/1/1518函数f(x)∈L2(R)的连续小波变换定义为：定义2：其中，*表示卷积。该式含义：小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数Ψ之积在信号存在的整个期间里求和。CWT变换的结果是许多小波系数C

，这些系数是缩放因子(s,scale)和位置(u)的函数，平移参数u取连续值。2023/1/1519由定义2可知，小波变换Wf（s，x）是尺度s与空间位置x的函数。小波变换通过ψ(x)在尺度上的伸缩和空间域（时域）上的平移来分析信号。尺度s增大时，ψs在空间域（时域）上伸展，小波变换的空间域分辨率降低；ψs(ω)在频域上收缩，其中心频率降低，变换的频域分辨率升高。反之，尺度s减小时，ψs在空间域（时域）上收缩，小波变换的空间域分辨率升高；ψs(ω)在频域上伸展，其中心频率升高，变换的频域分辨率降低。连续小波变换的定义2023/1/1520也即：当检测低频信号时（即对于大的s>0），时间窗会自动变宽，以便在低频域用低频对信号进行轮廓分析。反之，当检测高频信息时，（即对于小的s>0），时间窗会自动变窄，以便在频率域用较高的频率对信号进行细节分析。因而，小波分析具有“数学显微镜”的美誉。图小波变换的时－频窗口2023/1/1521CWT的变换过程示例，见图3，可分如下5步小波ψ(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较计算系数C——该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似程度越高小波右移k得到的小波函数为ψ(t-k)，然后重复步骤1和2，……直到信号结束扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为ψ(t/2)重复步骤1－4图连续小波变换的过程2023/1/1522例：图联合时频分析小波变换可以对信号做联合时-频域分析得到其特征。最下面的图是信号在时域的波形，右上图为该信号的频谱，左上的大图为联合时频分析一种算法的结果，前后两个400Hz的频率成分通过联合时频分析可以清楚地看到，而传统傅立叶变换则只能分辨出含有400Hz的信号，不能从时域上分辨出包括两个400Hz频率信号。2023/1/1523小波变换具有多分辨即多尺度特点，可以由粗及精的观察信号。可以将小波变换看成基本频率特性为的带通滤波器在不同尺度a下对信号作滤波。小波变换带通滤波器的带宽与中心频率f成正比即，亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，即品质因数恒定（称之为等Q结构，Q为滤波器的品质因数）。适当的选择基本小波，使在时域上为有限支撑，在频域上也比较集中，便可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，因此非常适合于检测信号的瞬态或奇异点。2023/1/1524例2：基于小波变换的原油管道泄漏检测1、泄漏检测原理当流体输送管道因为机械、人为破坏、材料失效等原因发生泄漏时，由于管道内流体压力很高而管道外一般为大气压力，管内输送的流体在内外压差的作用下迅速流失，泄漏部位产生物质损失，这会引起发生泄漏场所的流体的密度减小，进而引起管道内此处流体的压力降低。瞬态负压波法泄漏检测原理及定位公式

2023/1/1525由于流体的连续性，管道中的流体速度不会立即发生改变，流体在泄漏点和与其相邻的两边的区域之间的压力产生差异，这种差异导致泄漏点上下游区域内的高压流体流向泄漏点处的低压区域，从而又引起与泄漏点相邻区域流体的密度减小和压力降低。这种现象从泄漏点处沿管道依次向上、下游方向扩散，在水力学上称为负压波(又称为减压波)。泄漏在管道中的总体反映就是从泄漏点处产生了同时向上、下游端传播的瞬态负压波，它的传播过程类似于声波在介质中的传播，它的传播速度是声波在管道输送流体中的传播速度，原油管道中负压力波的传播速度约在1000～1200米/秒之间。2023/1/1526在管道两端安装压力传感器能够捕捉到包含泄漏信息的瞬态负压波，就可以检测泄漏的发生，并根据泄漏产生的瞬态负压波传播到管道两端的时间差进行漏点定位。沿管道传播的瞬态负压波中包含有泄漏的信息，由于管道的波导作用，它能够传播数十公里以上的远端。该方法即为瞬态负压波法，它具有快速的反应速度和很高的定位精度，能够及时检测出泄漏，防止泄漏事故扩大，减少流体损失赢得宝贵的时间，是一种受到广泛重视的泄漏检测方法。2023/1/1527瞬态负压波泄漏定位示意图2023/1/1528其中：

x

—

泄漏点距上游站测压点的距离，单位：m；

L—

上下游站间距，单位：m；

a—

负压波的传播速度，单位：m/s；

Δt—

上游站压力突变时间与下游站压力突变时间差，单位：s。泄漏点的计算公式为：2023/1/15292、瞬态负压波泄漏定位准确的关键由泄漏点的定位公式：可以看出，负压波传播到上、下游传感器的时间差的精确确定，和管内负压波速度的确定是瞬态负压波定位方法的两项关键所在。2023/1/1530在分析泄漏引发的负压波信号序列，确定负压波信号传到管道首、末端的时刻时，一个显然的要求是首、末端压力信号序列起始时刻应该一致，这就要求统一担任首、末端数据采集系统的工控机的系统时间，可以采用全球定位系统(GPS)来定时统一各站工控机的系统时钟。这个方案即满足了泄漏监测系统对统一时标的要求，实施也很方便，造价低廉，有很广泛的应用场所。2023/1/1531GPS是英文GlobalPositioningSystem的缩写，意即全球定位系统。全球定位系统利用导航卫星进行测时和测距，使在地球上任何地方的用户，都能计算出他们所处的方位。GPS系统包括以下三大部分：(1)GPS卫星(空间部分)；(2)地面支撑系统(地面监控部分)；(3)GPS接收机(用户部分)。2023/1/1532在泄漏监测系统中使用到的是GPS的精确授时功能。GPS[包含GPS卫星(空间部分)、地面支撑系统(地面监控部分)、GPS接收机(用户部分)三部分]开始时只用于军事目的，后来由于GPS接收机技术的发展，超大规模芯片的应用，使接收机成本不断下降，现在也已广泛应用于航海、航空、科学研究、交通运输、石油勘探、地形测量以及商业、旅游业等一切行业，甚至要渗透到个人生活的各个方面。它可以准确测定用户的三维位置、三维速度，并给出精确的时间基准。由于GPS具有定位精度高、使用范围广、可全天候应用、用户设备简单等优点，GPS问世以来，已充分显示了其在导航、定位、授时领域的霸主地位。2023/1/1533管内压力波的传播速度决定于液体的弹性、液体的密度和管材的弹性，液体的体积弹性系数随品种、温度、压力的不同而不同。式中：a—

管内压力波的传播速度，m/s；K—

液体的体积弹性系数，Pa；ρ—

液体的密度，kg/m3；E—

管材的弹性，Pa；D—

管道直径，m；e—

管壁厚度，m；C1

—

与管道约束条件有关的修正系数。负压波传播速度公式如下：2023/1/1534在实际的泄漏监测系统中，总是采集压力传感器送来的数据，再分析采集到的数据序列，从中寻找泄漏信息。精确确定泄漏引发的负压波传播到上、下游传感器的时间差，就必须先确定瞬态负压波传到管道首、末端的时刻，即需要准确地捕捉到泄漏负压波传到首、末端信号序列的对应特征点。2023/1/1535而由于不可避免的工业现场的电磁干扰、输油泵的振动等因素的存在，采集到的压力波形序列附加着大量的噪声（如下图所示）。图原始压力信号上图为在中石化管道储运公司做的一次泄漏放油实验时在管道一端采集到的压力信号序列，噪声信号很强，由此信号根本无法确定负压波的边沿，因而也就不能对泄漏点定位。2023/1/1536如何在强噪声干扰中提取信号的特征拐点是泄漏检测与定位中必须解决的问题，采用离散小波变换确定负压波信号的特征拐点，滤波器组计算小波变换的方法。在管道实际运行中做到实时监测，取得了良好的效果。将实时采集获得的管道压力信号通过两通道滤波器分为低频概貌和高频细节输出，定位负压波的位置实际就是确定高频细节当中最小值的位置。2023/1/1537离散小波变换(discretewavelettransform，DWT)

用小波的基函数(basisfunctions)表示一个函数的方法小波的基函数序列或称子小波(babywavelets)函数是由单个小波或称为母小波函数通过缩放和平移得到的缩放因子和平移参数都选择2j(j>0的整数)的倍数，这种变换称为双尺度小波变换(dyadicwavelettransform)小波重构小波分析中常用的三个基本概念。2023/1/1538时频域分析方法比较：傅立叶分析用一系列不同频率的正弦波表示一个信号一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数小波分析用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号一系列小波可用作表示一些函数的基函数凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正弦波用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好2023/1/1539小波分析技术在时域和频域均具有局部分析功能，所以适合任何信号（平稳或非平稳）的分析，应用很广泛。在故障诊断领域利用小波变换排除噪声干扰，检测突变信息已成为诊断设备故障的一种深受重视的新技术。matlab中有小波分析包，应用具体步骤：①确定小波基由于不同的小波基