第三章.一元流体动力学基础ppt

第三章

一元流体动力学基础

流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律,即流体的运动参数与所受力之间的关系。本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识,推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程,这些方程是分析流体流动问题的基础。本章导读第一节描述流体运动的两种方法

第二节恒定流动和非恒定流动

第三节流线和迹线

第四节一元流动模型

第五节连续性方程

第六节恒定元流能量方程

第七节过流断面的压强分布

第八节恒定总流能量方程式

第九节能量方程的应用

第十节总水头线和测压管水头线

第十一节恒定气流能量方程式

第十二节总压线和全压线

第十三节恒定流动量方程第一节描述流体运动的两种方法

二、拉格朗日法三、欧拉法四、两种方法的比较一、流场的概念一、流场的概念

流体是由无限多的连续分布的流体质点所组成，流体的运动一般都是在固体壁面所限制的空间内外进行的。例如，室内空气的流动、室外大气的绕流、管道中水、蒸气或煤气的流动等，都是在建筑物的墙壁、管道的管壁等固体壁面所限制的空间内外进行的。因此，流体在流动过程中将连续地占据这些空间。我们把流体流动所占据的全部空间称为流场。流体力学的主要任务就是研究流场中流体的运动规律。一、拉格朗日法拉格朗日方法（lagrangianmethod）是以流场中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动。——质点系法研究对象：流体质点空间坐标（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日数。

所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t的函数。（2）（a,b,c）为变数，t=const，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。

（1）（a,b,c）=const，t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。流体质点速度为：流体质点加速度为：流体质点的其它流动参量可以类似地表示为a、b、c和t的函数。如：p=p(a，b，c，t)ρ=ρ(a，b，c，t)由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用。二、欧拉法

欧拉法（eulermethod）是以流体质点流经流场中各空间点的运动来研究流动的方法。——流场法

研究对象：流场它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：1.速度写成分量形式（x,y,z,t）——欧拉变量

2.欧拉加速度流体质点，某一时刻，处于流场不同位置，速度是坐标及时间的函数，所以流速是t的复合函数，对流速求导可得加速度:如：代入上式得：

等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度；

引人微分算子:-----矢量微分算子那么引入随流导数算子：若流动参数为B(可以是速度、压强、密度等),则表示流场中一位置固定点,B参数对时间的变化引起,-----局部改变率表示流场中B参数在空间分布不均匀引起的----迁移改变率时变加速度（当地加速度）流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；

位变加速度（迁移加速度）流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。在恒定流中,流场中任意空间点的运动要素不随时间变化,所以时变加速度等于零；

在均匀流中,质点运动速度不随空间变化，所以位变加速度等于零。1.在水位恒定的情况下：（1）A→A′不存在时变加速度和位变加速度。（2）B→B′不存在时变加速度,但存在位变加速度。

2.在水位变化的情况下：(1)A→A′存在时变加速度,但不存在位变加速度。(2)B→B′既存在时变加速度,又存在位变加速度。

当地变化率迁移变化率三、两种方法的比较

欧拉法

分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体微元的运动变形特性适合描述流体微元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法拉格朗日法第二节恒定流与非恒定流

1.恒定流定义

恒定流—又称定常流，是指流场中的流体流动，空间点上各水力运动要素均不随时间而变化即：

注意

严格的恒定流只可能发生在层流，在紊流中，由于流动的无序，其流速或压强总有脉动，但若取时间平均流速(时均流速)

,

若其不随时间变化，则认为该紊流为恒定流。

2.非恒定流的定义

非恒定流—又称非定常流,是指流场中的流体流动空间点上各水力运动要素中,只要有任何一个随时间的变化而变化的流动。观看录像>>注意

在非恒定流情况下，流线的位置随时间而变；流线与迹线不重合。在恒定流情况下，流线的位置不随时间而变，且与迹线重合。判断：流场中液体质点通过空间点时，所有的运动要素不随时间变化的流体叫恒定流。如果有一个运动要素随时间变化则称为非恒定流。

问题1：恒定流是：

A、流动随时间按一定规律变化；

B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化；

C、各过流断面的速度分布相同；

D、各过流断面的压强相同。

问题2：

非恒定流是：A、

；

B、

；C、

；

D、

。

答案B答案B第三节流线与迹线一.流线（streamline）1.流线的定义——表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线:曲线上每一点的速度矢量总在该点与曲线相切。右图为流线谱中显示的流线形状。欧拉方法是用几何曲线形象描述流动的手段。2.流线的作法：

在流场中任取一点（如图所示）,绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此下去，得一折线1234…，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。3.流线的性质

b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。a.同一时刻的不同流线,不能相交.c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。

u1u2s1s2交点

u1u2折点

s

4.流线的特点

①流线不相交。（奇点除外）奇点有两种：速度为零及速度为无限大。②每一空间点均有流线通过,由这些流线构成流谱。

③流线的形状和位置，在定常流动时不随时间变化；而在不定常流动时，随时间变化。④定常流动时，流线，迹线重合。

5.流线的方程根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设ds为流线上A处一微元弧长:

u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。所以即展开后得到：——流线方程二.迹线迹线—某一质点在某一时段内的运动轨迹线。图中烟火的轨迹为迹线。1.迹线的定义观看录像一观看录像三观看录像二2.迹线的微分方程式中，ux,uy,uz

均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。

注意：流线和迹线微分方程的异同点。——流线方程

【例1】有一流场,其流速分布规律为：ux=-ky，uy=kx，uz=0，试求其流线方程。【解】由于uz=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为：

将两个分速度代入流线微分方程，得到即：

xdx+ydy=0

积分上式得到：

x2+y2=c

即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。

【例2】已知：设速度场为ux=t+1,vy=1，t=0时刻流体质点A位于原点。求：（1）质点A的迹线方程；（2）t=0时刻过原点的流线方程；解：(1)由欧拉迹线方程式，迹线方程组为由上两式分别积分可得t=0时质点A位于x=y=0，得c1=c2=0。质点A的迹线方程为:消去参数t得A点的迹线方程为：（2）由流线微分方程：积分可得：

在t=0时刻，流线通过原点x=y=0，可得C=0，相应的流线方程为：

第四节一元流动模型一.流管、元流与流束流管—在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空间称为流管。因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。

元流—

流管中的液流称为元流或微小流束元流的极限是一条流线。流束—过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。二、总流总流—把流管取在运动液体的边界上，则边界内整股液流的流束称为总流过水断面—即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面,如图中的1-1，2-2断面。又称为有效截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过水断面上，各点的速度可认为是相同的。三.过水断面

流线相互平行时,过水断面是平面。流线不平行时，过水断面是曲面，如图所示。非均匀流均匀流四.湿周与水力半径湿周—在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度，用符号χ表示。

水力半径—总流的有效截面面积与湿周之比，

用符号Rh表示，即

关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道和管束的水力计算中常常用到。五.控制体与控制断面控制体—即在流场中划定的一个固定的空间区域，该区域完全被流动流体所充满。

控制断面—即控制体（流管）有流体流进流出的两个断面,如图中的3-3,4-4断面

自然界和工程中所遇到的管流或渠流都是总流.根据总流的边界情况，可以把总流流动分为三类：

（1）有压流动总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。

（2）无压流动总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。

（3）射流总流的全部边界均由固体边界约束,如喷嘴出口的流动。六.流量与断面平均流速

1.

流量流量—是指单位时间内通过河渠、管道等某一过水横断面的流体数量。

体积流量（m3/s）：质量流量（kg/s）：断面平均流速—总流过水断面上各点的流速是不相同的，所以常采用一个平均值来代替各点的实际流速，称断面平均流速。2.

断面平均流速第五节连续性方程在总流中取面积为A1和A2的1，2两断面，（探讨两断面间流动空间的质量收支平衡情况）。设A1的平均流速为V1，A2的平均流速为V2，则：dt时间内流入断面1的流体质量：１２dt时间内流出断面2的流体质量：根据质量守恒或一.恒定总流的连续性方程当流体不可压缩则或——恒定总流一元连续性方程例1：如图，d1=2.5cm,d2=5cm,d3=10cm。1）当流量为4L/s时，求各管段的平均流速。2）旋转阀门，使流量增加至8L/s时，平均流速如何变化？解：1）根据连续性方程

Q=V1A1=V2A2=V3A3，则

V1=Q/A1=8.16m/s，V2=V1A1/A2=2.04m/s，

V3=V1A1/A3=0.51m/sd1d2d32)各断面面积比例保持不变，Q=8L/s,即流量增加为2倍，则各断面流速亦加至2倍。即

V1=16.32m/s，V2=4.08m/s，V3=1.02m/sd1d2d3例2：断面为50×50cm2的送风管，通过a，b，c，d四个40×40cm2的送风口向室内输送空气，送风口气流平均速度均为5m/s，求：通过送风管1-1，2-2，3-3各断面的流速和流量。Q0abcd123123解：每一送风口流量q＝0.4×0.4×5=0.8m3/s

根据质量守恒写连续方程：

Q１=3q=3×0.8m3/s=2.4m3/s

Q2=2q=2×0.8m3/s=1.6m3/sQ3=q=1×0.8m3/s=0.8m3/sQ0abcd123123第六节恒定元流能量方程从功能原理出发，取不可压缩无黏性流体恒定流动这样的力学模型，可以推出元流的能量方程式：在dt时间内压力作的功：流段所获得的动能：位能的增加：根据功能原理：化简：常数或式中各项物理意义：

Z：是断面对于选定基准面的高度，水力学中称位置水头，表示单位重力作用的流体的位置势能，称单位位能；是断面压强作用使流体沿测压管所能上升的高度，称为压强势能；是以断面流速u为初速度的铅直上升射流所能达到的理论高度，水力学中称为流速水头，表示受单位重力作用的流体的动能,称为单位动能。第七节过流断面的压强分布思考：流体在管内流动的过程中会受到几种力的作用呢？重力、粘性力、惯性力、压力流速向量——流速的大小和方向流体从一种直径管子流入另一种直径管子，流速大小要改变，压强沿着流线方向变化——直线惯性力引起的流体从一个方向的管子转弯流入另一个方向的管子，流速方向要改变，压强沿断面方向变化——离心惯性力引起的本节引导第七节过流断面的压强分布一、均匀流、急变流、渐变流定义

均匀流：任一确定的流体质点在其运动过程中速度大小和方向均保持不变的流动。

急变流：流体质点速度大小或方向发生明显变化。

渐变流：流体质点速度大小或方向发生缓慢变化。（2）位于同一流线上的各质点速度相等；（3）过流断面上压强服从静止压强分布规律，亦即同一过流断面上各点的测压管水头相等。二、均匀流的特点（1）管道恒定流动中，各质点的流线相互平行，过流断面为一平面；证明：过流断面n-n上取任意微小柱体为隔离体，长L，横截面ΔA，隔离体与铅直方向倾角α，两横截面与基准面的高度为z1，z2，压强p1，p2。αGnnz2z1在n-n方向受力而∴压力：重力分量：微小柱体在n—n方向受力平衡：许多情况下的流动不是严格的均匀流，但接近于均匀流，这种流动称为渐变流动。（1）流线近似平行；（2）流速沿流线形成的惯性力小；（3）过流断面近似平面；（4）过流断面压强分布也服从静力学规律；三、渐变流的特点例[3-5]，水在水平长管中流动，在管壁B安置测压管（图3-15）。测压管中水面C相对于管中点A的高度是30m，求A点的压强。急变流：沿流向变化显著的流动。

关系：急变流和渐变流的对立概念

分界：看惯性力是否可以忽略不计1、流速方向变化显著也是急变流问题。如图：沿弯曲半径的方向，测压管水头增加，流速则沿离心力方向减小。四、急变流的特点2、流速大小变化显著也是急变流问题。如图：A点和大气相同，压强为0；沿离心力的方向，压强增大，流速下降。孔口流束中心，流速接近0，压强几乎达到水箱底部压强值。第八节恒定总流能量方程设有一不可压缩恒定流动，在总流各自处于渐变流的流断上，任意选取两个过流断面。单位重量元流伯努利方程方程两端同乘以元流重量流量γdQz1z2在整个过流断面进行积分：上述积分可分为三个部分：1）∵渐变流过流断面服从液体静压强分布规律∴z1z2令动能修正系数z1z2上式2）截面的平均流速

动能修正系数a是由于截面上速度分布不均匀而引起的，a是个大于1的数，有效截面上的流速越均匀，a值越趋近于1。在实际工业中，通常都近似地取a=1.0。以后如不加特别说明，都假定a=1，并以v代表平均流速。而对于圆管层流流动a=2。3）令单位重量流体流过1、2断面平均能量损失为则综上可得-----不可压缩恒定总流伯努利方程讨论：（1）恒定不可压缩。（2）选在渐变流。（3）功率输入H输入（如泵)（4）有分流或合流仍然适用输出功率H（如汽轮机）综上可得（4）有分流或合流仍然适用思考题:

问题1.拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？

参考答案：靠拢；流速增大、压强降低问题2：两船并行相撞的解释：两船间流线密、流速高、压力低。注：能量方程的解题步骤

三选一列

1选择基准面：基准面可任意选定,但应以简化计算为原则。例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。2选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面.

3选择计算点：管流通常选在管轴上,明渠流通常选在自由液面。对同一个方程,必须采用相同的压强标准。4列能量方程解题：注意与连续性方程的联合使用.

【例】一抽水机管系（如图），要求把下水池的水输送到高池，两池高差15m，流量Q=30（L/s)，水管内径d=150mm。泵的效率hp=0.76。设已知管路损失（泵损除外）为10v2/(2g)，试求轴功率。

【解】取基准面0-0及断面1（位于低水池水面）及2（位于高水池水面）。设泵输入单位重水流的能量为hp，取α1=α2=1，则能量方程有：

因z1=0，z2=15m，p1=p2=0，且过水断面很大，v1≈v2≈0，而管中流速：故有：

得：

hp=16.47N·m/N

所需轴功率Np为：

第九节能量方程的应用

一、皮托管二、文丘里流量计三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题一、皮托管在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如所示。在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。VBAZZ皮托管测速原理将测速管（又称皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点）的液体压强为PB。速度为V。应用伯努利方程于同一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有

上式表明,只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰,实际流速比用式计算出的要小，因此，实际流速为

式中ψ—流速修正系数,一般由实验确定，ψ=0.97。则

如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个Ｕ形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如图所示，则则得用皮托管和静压管测量气体流速考虑到实际情况，

文丘里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图所示。它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。二、文丘里(Venturi)流量计文丘里流量计原理图以文丘里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-1，2-2的伯努利方程

由一维流动连续性方程整理得

由流体静力学

上式表明，若ρ液、ρ、A2、A1已知，只要测量出h液，就可以确定流体的速度。流量为：

考虑到实际情况

式中Cd为流量系数，通过实验测定。文丘里流量计是节流装置中的一种，除此之外还有孔板，喷嘴等，其基本原理与文丘里流量计基本相同，不再叙述。【例1】有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。【解】当阀门全开时列1-l、2-2截面的能量方程

当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出Ｈ值：

代入到上式

所以管内流量【例2】水流通过如图所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。

【解】首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：

由连续性方程：将已知数据代入上式，得管中流量列1-1和2-2断面的能量方程三、能量应用时特别注意的几个问题

(1)弄清题意,看清已知什么,求解什么,是简单的流动问题,还是既有流动问题又有流体静力学问题。(2)选好有效截面,选择合适的有效截面,应包括问题中所求的参数,同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出,流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器,有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面,因为该有效截面的压强为大气压强,对于大容器自由液面,速度可以视为零来处理。

(3)选好基准面,基准面原则上可以选在任何位置,但选择得当,可使解题大大简化,通常选在管轴线的水平面或自由液面,要注意的是,基准面必须选为水平面.(4)求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强，p1和p2的问题与静力学中的处理完全相同。(5)有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上Ａ点的压强，又取同一有效截面上另一点Ｂ的速度。总水头线：是对应的变化曲线，它代表水头损失沿流程的分布状况。测压管水头线：是对应的变化曲线，它代表压强沿流程的变化状况。

第十节总水头线和测压管水头线

注意：

1.理想流动流体的总水头线为水平线；

2.实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；

3.测压管水头线可升、可降、可水平。

4.若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线。

5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。观看动画1>>观看动画2>>

测压管水头线可用来预测管线真空范围，从而确定管线最高布置位置。如下图中，BC段由图中测压管水头线可知：即BC段压强为真空。

问题1：粘性流体总水头线沿程的变化是：

A.沿程下降；

B.沿程上升；

C.保持水平；

D.前三种情况都有可能。

问题2：粘性流体测压管水头线的沿程变化是：A.沿程下降；B.沿程上升；C.保持水平；D.前三种情况都有可能。答案答案DA判断：测压管水头线若低于管轴心，则该处水流一定处于真空状态。答案对第十一节恒定气流能量方程总流的能量方程式是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但是对流速不很大（u<60m/s）压强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯努利方程仍可用于气流。由于气流的密度和空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。

总流的能量方程为：方程两端同乘γ式中为绝对压强。一般工程上采用表压表示，而不同高程处大气压强不一样，但∵γ液》γ气，∴认为液面气压一样。但对气体，高差较大，管内外气体容重不一样，则要考虑高度引起pa差异。设在断面z1，大气压强为：pa1则（p1为z1处表压）1122z1z2γγa在断面z2，大气压强-----γa为大气容重∴代入能量方程整理1122z1z2γγa------恒定气体能量方程讨论：动压2）p1，p2：静压1）3）位压若气流方向与作用力（重力或浮力）相同，位压为正；否则位压为负。势压（静压＋位压）总压（静压＋位压＋动压）（静压＋动压）