第三章 理想光学模型

第三章理想光学系统第一节理想像和理想光学系统

理想光学系统：能够对足够大空间内的点以足够宽光束成完善像的光学系统。在理想光学系统中有如下定义：1.物空间内每一点对应于像空间内唯一的一像点，这一对点称为共轭点；2.物空间内每一条直线对应于像空间内唯一的一条直线，这一对线称为共轭线；3.如果物空间的任意一点位于直线上，那么在像空间的共轭点也必须在该直线的共轭线上。

推广：4.物空间中任意平面对应于像空间中唯一的共轭平面；5.物空间中任意同心光束对应于像空间中有一共轭的同心光束。理想光学系统对物体成完善像，实际的理想光学系统的性质只能在近轴区实现。

第二节理想光学模型

像方焦点F'：和物方无限远处的轴上点为共轭点；物方焦点F：和像方无限远处的轴上点为共轭点.

物方焦平面——过物方焦点F的垂轴平面；像方焦平面——过像方焦点F'的垂轴平面。

主平面：有相同高度，在光轴的同一侧，并且垂轴放大率+1为的共轭平面。物方主点H——物方主面和光轴的交点；像方主点H'——像方主面和光轴的交点。物、像方焦点F、F′

，物、像方主点H、H′称为理想光学系统的基点，物、像方焦平面和物、像方主平面称为它们的基面。自物方主点到物方焦点的距离称为物方焦距，用f表示之；自像方主点到像方焦点的距离称为像方焦距，以f′表示之。焦距的正、负是以相应的主点为原点来确定的。第三节理想光学模型的物像关系1.牛顿公式：

牛顿公式中物体的物（像）距是以物（像）方焦点为原点，物（像）距x（x

′）的正负号按以下规则判定，若由物（像）方焦点到物（像）点的方向与光线传播方向一致，则物（像）距为正，反之为负。

牛顿物像位置关系公式：

垂轴放大率：2.高斯公式

物（像）距用l（l'）表示，它是物（像）点A到物（像）方主点H（H′）的距离；符号规则是以物（像）方主点为原点到A（A′）点沿光线正方向为正，反之为负。

高斯像物像位置公式：

高斯公式的垂轴放大率公式：第四节理想光学模型的拉赫公式及

二焦距之间的物像关系

拉赫公式：理想光学模型物像焦距间的关系：

若光学系统处于同一介质中，即有理想光学系统的拉赫公式说明：当物体一定（高度、角度），像要较大，则光线较细。第五节理想光学模型的放大率

一.垂轴放大率β高斯形式的垂轴放大率公式：

当时有

牛顿形式的垂轴放大率公式：

二.沿轴放大率a牛顿形式的沿轴放大率公式：高斯形式的沿轴放大率公式：当物像方介质折射率相同时

当时，表示物体移动方向和像移动方向相同。

三.角放大率g角放大率是轴上一对共轭点上，轴上物点A发出的一对共轭光线孔径角U'和U的正切比。高斯形式：牛顿形式：

角放大率与角度U和U

'的大小无关，仅随物像位置而改变，在同一对共轭点上，所有共轭光线与光轴夹角正切之比为常数。

四.三放大率之间的关系五.特殊共轭面上的放大率1.物方焦平面:它的共轭面是在像方无限远处的垂轴平面。

由物方焦点发出的与光轴成有限大小角度U的光线，经光学系统后对应的角度Ｕ′为零，即平行于光轴射出。

2.像方焦平面它的共轭面是在物方无限远处的垂轴平面。在物方平行于光轴的光线U=0，其共轭光线通过后焦点与光轴成有限角度U'。3.主平面

主平面

所以有：这样就得到

说明：物方主点在物方焦点的右侧，像方主点在像方焦点的左侧。若理想光学系统位于同一介质或空气中

则表明通过物像方主点的一对共轭光线互相平行。第六节节点和节平面

在理想光学模型中存在着一对角放大率为1的共轭点和共轭面，这一对共轭点记为J和J'，分别称为物方节点和像方节点。过节点的垂轴平面相应的称为物方节平面和像方节平面。

J和J′相对于对应焦点的位置为：根据垂轴放大率和沿轴放大率公式

第七节理想光学模型的作图求解

图解法求像常用的有如下三条光线：（1）平行于光轴的入射光线，经光学系统折射后的出射光线通过像方焦点F'；（2）通过物方焦点的光线，经过光学系统折射后的出射光线平行于光轴；（3）过物方节点J的入射光线，经过光学系统后的出射光线必通过像方节点J'。有时为了作图方便，可根据焦平面性质作图：（1）入射光线可认为是由轴外无限远物点发出的平行光束（斜光束）中的一条。（2）入射光线可认为是由前焦面上一点发出来的光束中的一条。

作图的根本问题是作出任意一条入射光线的共轭出射光线。对于特殊光线可根据基点界面的性质直接作出。辅助线的作法

下面列举了对任意入射光线a借助于利用基点、基面性质的辅助光线b，作出光线a的共轭出射光线可能的四种方法。

作辅助线是为了找到共轭出射光线，必须掌握对任意一条入射光线的共轭出射光线的方法。作业：1.设一焦距为30mm的正透镜在空气中，在透镜后面1.5f′，2f′，3f′和4f′处分别置一高度为60mm的虚物。试用作图法，高斯公式和牛顿公式求其像的位置和大小。2.设一焦距为50mm的负透镜在空气中，在其前置一高度为50mm的实物于4f′，3f′，2f′和1.5f′处。试用作图法，高斯公式和牛顿公式求其像的位置和大小。设一焦距为30mm的负透镜在空气中，在其后0.5f处，1.5f处，2.5f处和3.5f处有一虚物，试用作图法，高斯公式和牛顿公式求其像的位置和大小。第八节会聚度、发散度和光焦度

在理想光学模型中,由物像位置关系的高斯公式并利用两焦距间关系式有:

和称为光束的会聚度，以符号和表示。和称为光学系统的光焦度，以符号Φ表示。则上面公式可写为上式表示一对共轭点的光束会聚度之差等于光学系统的光焦度。

会聚度是表示光线会聚或发散的程度。

下面从光组对光束和光线的作用来讨论研究光组的会聚度和光焦度。一.光组在空气中令光组在空气中则,令此时光组在空气中的光焦度记为，则

这样就有

令h>0，即光束在光轴的上方。1.若，则有此时，出射光线偏向光轴，光束经过光学系统以后是会聚的会聚系统使出射光线偏向光轴2.若，则

此时，出射光线离向光轴，光束经过光学系统以后是发散的。3.若，则

此时，入射光线与出射光线平行

如果进而研究h＜0的情况，也有同样的结果。

当光组在空气中时，可以得出重要的结论：

的光学系统称为正光焦度系统或会聚系统，对光束起会聚作用。射入系统的共轭出射光线偏向光轴；的光学系统称为负光焦度系统或发散系统，对光束起发散作用。射入系统的共轭出射光线偏离光轴；的光学系统称为无光焦度系统，无光焦度系统对光束不起会聚作用或发散作用。射入系统的共轭出射光线与其入射光线平行。当入射光线在系统上投射点的高度h一定时，光焦度的大小完全表征了通过系统后光线的偏折程度。的绝对值越大，则系统使出射光线相对于入射光线偏折得越厉害。

当一个系统的光焦度及入射光线的投射高度h一定，通过系统折射后偏折角的大小方向就完全确定，该偏折角为不变的常数这样，可以把入射光线和折射光线看成一个偏折角为常数的一个刚体折线。当在投射点O处的入射光线方向变化时，那么折射光线也必变化相应的角度，此时入射光线和折射光线的偏折角仍为正系统的物像关系图

无穷远轴上物点与像方焦点F共轭。二倍焦距处物点A与二倍焦距处的像点A＇共轭，在物方焦点F的物点成像在像方无穷远处。

二.理想模型物、像方介质折射率不同

令h＞0,则有：

光焦度是衡量理想光学系统会聚（或发散）本领的重要参数，例如光焦度越大（绝对值),那么，焦距越短（绝对值），将对光线偏折得越厉害，正光焦度系统会聚得越厉害，负光焦度系统会发散得越厉害。反之，对于小光焦度系统（绝对值)焦距很长（绝对值），对光线的偏折就很小。三.折光度如果光学系统处于空气中，n′=n=1，则光焦度为

规定在空气中，焦距为正值1m的光焦度作为光学系统光焦度的单位，称为折光度（又称屈光度）。第九节共轴理想光学模型的组合焦距及基点的确定一.光组的连接（过渡公式）

对于光学模型之间的间隔在这里有新的规定。高斯公式是以前一系统的像方主点到后一系统的物方主点的距离规定为间隔d。牛顿公式是以前一系统的像方焦点到后一系统的物方焦点的距离定义为光学间隔△。二者的符号规则都是以顺着规定的光线正方向为正，反之为负，其余类推。光学间隔△与间隔d的关系

物距的过渡公式

由图可得物距的过渡公式如下：

二.理想光学模型组合焦距及基点

由多个理想光学模型组合成一个共轴系统，它的作用将等效于一个理想光学模型

平行于光轴的入射光线的共轭出射光线与光轴的交点为组合等效理想光学模型的像方焦点

平行于光轴的入射光线与其出射共轭光线向后延长线的交点就是等效光组的像方主面的位置。组合焦点和主面的位置是以点分别到和的距离来确定的，即为以上公式中的和它们的符号是按沿轴线段的符号规则的规定，以为原点来确定。以上公式中的为角度的弧度值。

对于的计算,有正切法和截距法。

1.正切法将上式算得的值代入三式就可得到组合等效理想光学模型的基点、基面的位置和焦距。要计算物方基点、基面的位置和物方焦距，可以将整个光组反转180°当做像方量来计算，将结果反转回物方去。2.截距法

将式写成如下形式:

可得：利用这一公式求光学系统的焦距时,需先用高斯公式依次求出该光学系统中每个光组的物距和像距,代入上式即可。注意，计算时必须令。

3.各光组对总光焦度的贡献

计算组合焦距时，需令，依次代换可得：等效理想光学模型的光焦度公式可写为：等效理想光学模型的光焦度与各个光组光焦度之间的重要公式：

因为是任意选的，在时有，上式表明，各个光组对组合等效系统总光焦度Φ的贡献，除了光焦度本身大小因素以外还与该光组在整个系统光路中所处的位置有关。也就是给定光焦度的各个光组处在系统的不同位置时，即h不同时其作用是不同的，这一结论有重要应用。光组在不同位置时对总光焦度贡献不同

斜平行光束1、2、3是轴外无穷远点射入，会聚在像方焦平面

点处,如果此时没有第二个光组,那么到达点后将沿着虚线无折射地发散射出。如果在处放置第二个光组，使它具有正光焦度，那么必将使发散的虚线的光束偏向光轴沿着实线1、2、3射出系统。

三.两光组组合

1.高斯形式两光组组合公式

光组1和光组2是已知的光组，并以间隔d放置两光组组合的光焦度公式

组合光焦度：经推导：式中如光组在空气中，则有从而得两光组组合的物方基点位置根据相似三角形的比例关系有：

可得:以上两光组组合公式中的间隔用d表示，组合物、像方基点的位置分别是用H1'和H2'为原点来确定。因此称为高斯形式的两光组组合公式。

2.牛顿形式的两光组组合公式

牛顿形式的两光组组合物方焦点

F

的位置是以第1光组的物方焦点F1到F

点的距离表示；物方主点

H

的位置是以F1到H

的距离表示。它们的符号是以为原点按沿轴线段的符号规则确定。牛顿形式的两光组组合像方焦点F1的位置是以第2光组的像方焦点F2'到F1'点的距离表示；像方主点H'的位置是F2'到H

'的距离表示。它们的符号是以为原点按沿轴线段的符号规则确定。几何关系:牛顿形式的两光组组合公式:第十节望远系统：基点在无限远的理想光学模型使入射平行光束仍保持平行地出射的组合光学系统称为望远系统。望远光学系统可以由两个光组组成。第一光组的像方焦点必与第二光组的物方焦点重合，即两光组的间隔或光学间隔△=0。就最简单的望远系统而言，这两个光组就是物镜和目镜。由于望远系统的两个光组之间的光学间隔△=0，因此其焦距为无穷大，基点基面在无限远处。望远系统的物像关系

分别对第1和第2光组应用牛顿公式和垂轴放大率公式：

因光学间隔△=0,从而有x2=x

′,故上式写为:以上两式分别是望远系统的物、像位置公式和垂轴放大倍率公式。对物像位置公式微分，可得望远系统的沿轴放大率公式：望远系统的角放大倍率，按定义有

如望远系统在空气中由以上公式可见：

望远系统的各种放大率与物、像位置无关，仅由组成望远系统两光组的焦距决定，各放大率是常数，这是望远系统独具的特殊性质。第十一节透镜

透镜是由两个折射面包围一种透明介质所形成的光学零件。透镜的光焦度为正的称为正透镜；为负的称为负透镜。按形状的不同，正透镜分为平凸、双凸和正弯月三种；负透镜分为平凹、双凹和负弯月三种。一.单个折射球面的理想光学模型

单个折射球面的光焦度：其中：

二.透镜的理想光学模型

代入式有

因为在空气中，就有式中d为透镜的中心厚度。

三.各种透镜的基点和焦距

1.双凸透镜：这种透镜的r1＞0,ρ1＞0,r2＜0,ρ2＜0，光焦度的正负取决于透镜厚度d的大小.

当d较小时，

H和H'点均在透镜内部。

2.平凸透镜：这种透镜r1=∞,ρ1=0,r2＜0,ρ2＜0。，这是焦距大小与透镜厚度d无关的正透镜。

3.正弯月形透镜：这种透镜r1、r2、ρ1、ρ2都小于零，|r1|＞|r2|有|ρ1|＜|ρ2|。是正透镜。因此，H、H'点均在透镜的外部。

4.双凹透镜：这种透镜r1＜0，ρ1＜0，r2＞0，ρ2＞0。，是负透镜。因此，物、像方主点H、H'均在透镜内部。5.平凸透镜：这种透镜r1=∞,ρ1=0,r2＞0,ρ2＞0。，故是负透镜。

6.负弯月形透镜：这种透镜r1、r2、ρ1、ρ2都小于零，|r1|＜|r2|有|ρ1|＞|ρ2|。光焦度φ随d的改变而变化：当d较小时，

因此，物、像方主点H、H'均在透镜外面。四.透镜和共轴球面系统的焦距和基点的计算

以上式中均为已知值。第十二节透镜的简化——薄透镜

在实际计算中，常把透镜看作薄透镜来计算。简化为薄透镜的依据是：将透镜的中心厚度d看作一小量，将它略去不计。对于薄透镜：