2018-2019学年高二数学人教版必修五专题深化与整合+单元质量评价二

单元质量评估(二)(第二章)

（120分钟150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为()A.a=2n-1 B.a=(-1)n(1-2n)C.a=(-1)n(2n-1)D.a=(-1)n(2n+1)【解析】选B.因为数列｛aj各项值为1,-3,5,-7,9，…，所以各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，所以|a|=2n-1,又因为数列的奇数项为正，偶数项为负，所以a=(-1)n+i(2n-1)=(-1)n(1-2n)..在等差数列｛aj中巴+3ami5=10,贝口a5的值为()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选A.设数列｛aj的公差为d,因为a1+a15=2a8,所以2a8+3a3=10,所以2(a5+3d)+3(a5-2d)=10,所以5a5=10，所以a5=2..已知等比数列｛aj的公比为q,若a2，a5的等差中项为4,\%的等差中项为队291则lo%的值为()11TOC\o"1-5"\h\zA.-2 B.2 C.-2 D.2【解析】选A.@2+Q5=8,由已知得：(%+aQ=16",将等比数列的通项公式代入得I'的9+%/=8, % 1两式相比得:q个回,所以lo2q=lo2 =-2.【补偿训练】已知等比数列｛an｝中，公比q=2a3a5a7=64，贝ija4=( )A.1 B.2 C.4 D.81 a4 吊【解析】选D.在等比数列｛a｝中，由q=2,a3a5a7=64,得•*a4q*a4q3=(a4q)3=8=64,解得a4=8..已知数列｛aj的前n项和为S/若Sn=1+2an(n^2),Ma:2,则S: ()A.219-1 B.221-2C.219+1 D.221+2【解析】选B.因为S=1+2a(n22),且a=2,所以n22时，a=S-S1=1+2a-(1+2a1),化为：a=2a1,所以数列｛aj是等比数列，公比与首项都为2.2(220-1)所以S20= 2-1 =221-2.【补偿训练】已知数歹UE1满足a:1,an+凡+S:5,则a2=(A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.因为a1=1,a+1a+S=5,

所以a2•a1+a1=5,即a2+1=5,解得a2=4..已知数列｛aj的前n项和为Sn，且S「n-5an+23,n£N*,贝数歹U｛aJ的通项公式an=B.3x(l)"-1B.3x(l)"-1D.3x(l)"+1—1A.3X国—1C.3X\6/ +1【解析】选C.因为S=n-5a+23,n£N*,所以当n=1时，21=51=1-521+23，解得a1=4.nN2时,a=S-S1=n-5a+23-(n-1-5a1+23)，化为a-1=6(ai-1),a1-1=3.所以数列｛a「1｝是等比数列，首项为3,公比为6.-1-1所以a-1=3X\6； ,即a=3X\6/ +1..已知等比数列｛"(qW%)的公比为q,且成等差数列,则q=(A.1或-0 B.-6 C.1或6 D.1【解析】选B.在等比数列电｝中，由a产力,得q于1,因为a7,a1,a4成等差数列，所以a7+a4=2a1,a4即a4（q3+1）=2q3,所以q6+q3-2=0,解得q3=1（舍）或q3=-2.所以q=-\/2.【补偿训练】互不相等的三个正数x1,x2，x3成等比数列,且Pi（logaxi，logbyi）,P2（logaX2,l0gby2）,P3（logaX3，l0gby3）三点共线（其中a>0,aW1,b>0,bW1）,则v1H （ ）A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列而非等差数列C.是等比数列,也可能是等差数列D.既不是等比数列,又不是等差数列logby2-logbyrlogby3-logby2【解析】选C.因为三点共线，所以“。。々 1。。。久1」。0产3 1。0占，即TOC\o"1-5"\h\zy2 y3他员l°9bylx2 尢3bg皈sg皈儿1二 儿2.y2y2y3因为x1,x2，x3成等比数列，所以％1=%2,所以为二丫2,所以y1,y2，y3成等比数列，若匕，丫2,丫3相等，y,y2，y3也成等差数列，所以yi，y2,y3可能是等比数列，也可能是等差数列..已知数列｛aj的前n项和“满足S「n2（n£N*）,记数列1册,%+1J的前n项和为）则'01r（）4034 2017 2016 2017A.4035B.4035C.2017D,2018【解析】选B.当n=1时，a1=S1=1;当n22时，a=S-S1=n2-（n-1）2=2n-1,当n=1时适合上式，所以a=2n-1(n£N*).可得：(2n 1)(2几+1)=可得：(2n 1)(2几+1)=由数列数列1%册+”的前n项和为T=n1(1，)=2\ 2n+1/.1( 1 2017贝4T切—4035)=4035.20171.在正项等比数列｛a｝中,a1008al。.二1。。，则lga1+lga2+…+lga2017=(A.-2016 B.-2017 C.2016 D.2017【解析】选B.由正项等比数列｛a｝,二2可得aia2U2a20:…『008a1010=10°=S解得a =10,1009则1ga1+lga「…+lga2「Igg009)2017=2017*(-1)=-2017..已知等比数列｛a｝满足10g2a3+log2al0=1,且a5a6a8a9=16,则数列｛a｝的公比为()A.2B.4C.±2D.±4A.2B.4C.±2D.±4【解析】选A.因为等比数列｛a｝满足10g2a/log2al0=1，所以a>0,a3al。=2.又a5a6a8a9=16,（a4al22=16,所以a4al。=4.4则数列｛a｝的公比=2=2..已知Sn为数列｛aj的前n项和,若a2=3且Sn：2Sn，则a4等于 （）A.6 B.12 C.16 D.24【解析】选B.因为S:2S,所以n22时，a+1=S+1-S=2S-2S1=2a,所以数列｛a｝从第二项起为等比数列，公比为2.n所以a4=a2X22=3X4=12..（2018•晋中高二检测）某工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线,为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列则乙生产线生产的产品件数是（）A.1680 B.5600C.2800 D.8400【解析】选B.根据抽样方法公平性原则，三条生产线所抽取的样本数成等差数列,16800所以三条生产线的产量也成等差数列，故乙的产量为 3 =5600（件）..设数列｛an｝的前n项和为Sn,关于数列｛an｝,下列命题正确的是（）①若数列｛an｝既是等差数列又是等比数歹U,则an=an+1;②若Sn=an2+bn（a,beR）,则数列｛an｝是等差数列；③若Sn=1+（-1）n,则数列｛an｝是等比数列.A.①②③B.②③C.①② D.②【解析】选C.由等差数列和等比数列的定义知,若数列｛叫｝既是等差数列又是等比数列，贝4｛a｝是不为0的常数列，故a1=a，①正确;S=an2+bn,则a1=S]=a+b,n22时，a=S-S]=an2+bn-[a(nT)2+b(nT)]=(2nT)a+b,a1-a=2a,又a2-a1=(3a+b)-(a+b)=2a,所以｛a｝是等差数列，②正确；若S=1+(-1)n,则ai=Si=0,｛an｝不是等比数列，③错,故正确的是①②.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上).若数列｛aj的前n项和为Sn，且3S「2an=1,则｛aj的通项公式是a=.【解析】3S-2a=1,n=1时，3a1-2al=1,解得a1=1.n22时，3S1-2a1=1,相减可得：a=-2a1所以数列｛aj是等比数列，公比为-2,所以a=(-2)n-1.答案：(-2浦-1【补偿训练】若数列｛aj对任意的正整数n和m,等式%;加二、*@“+2m都成立,则称数列U｛an｝为m阶梯等比数列.若｛an｝是3阶梯等比数列有a1=1,a4=2,则a10=.【解析】由题意知，当｛aj是3阶梯等比数列时,见1:3=anan+6，a：=a1a7,所以a7=4,由口葭4al0得a10=04=8.答案:8

fn,九为奇数.我们可以利用数列｛aj的递推公式a「［2 (n£N*),求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则aja：.【解析】由题意得:这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3-所以364+365=332+65=316+65=38+65=34+65=1+65=66.答案:66.一个蜂巢有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第5天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有只蜜蜂.【解析】第n天归巢后，蜂巢中共有a只蜜蜂,aj6,a2=6+6X5=62,a3=63,a4=64,a5=65=7776.答案：7776.在各项均为正项的等比数列｛aj中，已知1111131a1+a2+a3+a4+a5=31,al+a2+a3+a4+a5=16,则a3=【解析】设等比数列【解析】设等比数列｛3｝的公比为q,则I册也是等比数列,n且公比为q,依题意得:n且公比为q,依题意得:-8-两式作比得:°lq4=16,即a3=a1q2=±4,因为a>0,所以a=4.答案:4【补偿训练】数歹1」waj,…,an-an-1是以1为首项、3为公比的等比数歹加则｛aj的通项公式an=.【解析】因为数列a,a-a,a-a,・・，a-a是以1为首项、3为公比的等比数列,12 13 2 nn-1n-1所以a-a1=\3/ ,所以a=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+^+(a-a1)=1+3+132+…+3(Nt=1+3+132+…+3(Nt—3n三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列｛a｝为等比数列,a>0,a=2,2a+a=30.⑴求a.(2)⑴求a.(2)若数列｛b｝满足b=b+a,bn+1nn1=a2,求b5.【解析】（1）由题意，｛a｝为等比数列，a=2,2a+a=30.设公比为q,a>0.可得：44+242=30,解得：q=3或-5(舍去)，所以a=2-3n-i.(2)由b1=a2,所以b1=2X3=6.b1=b+a,所以b2=bi+ai=6+2=8.b3=b2+a2=8+6=14.b4=b3+a3=14+18=32.b5=b4+a4=32+54=86.【补偿训练】设｛aj是公比为正数的等比数列ai=2,a3=a2+4.⑴求EJ的通项公式.⑵设｛bj是首项为1,公差为2的等差数列U,求数列句+bJ的前n项和Sn.【解析】(1)因为｛aj是公比为正数的等比数列，所以设其公比为q,q>0.因为a3=a2+4,a1=2,所以2Xq2=2Xq+4,解得q=2或q=-1,因为q>0,所以q=2,所以｛a｝的通项公式为a=2X2n-1=2n.⑵因为｛b｝是首项为1,公差为2的等差数列，n所以b=1+(n-1)X2=2n-1,n所以数列｛a+b｝的前n项和2(1-2n)n(l+2n-1)S=1—2+ 2 =2n+1-2+n2=2n+1+n2-2.2 2册18.(12分)已知数列｛aj的首项ai=3,an+i=an+l,n=1,2,3,….-10-FT⑴证明:数列IMJ是等比数列.⑵求｛a｝的通项公式.nTOC\o"1-5"\h\z24T 1 +1【解析】(1)因为a="*+1，所以41।i=2aHn+11111(11)所以%।1=2+2%,所以।i-1=2、Q" 人4—1 ,—-111 1因为a1=3,所以01-1=2,所以数列141 J是以2为首项，2为公比的等比数列.1件A⑵由(1)知，Q孔-1=12/，所以a=1+2.【补偿训练】已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2a「3n(n£N*).⑴求a1,a2，a3的值.⑵设bn=a"3,证明数列｛bn｝为等比数列,并求通项公式an.【解析】(1)因为数列｛a｝的前n项和为S,且S=2a-3n(n£N*).所以n=1时，由a1=S1=2a1-3义1,解得a1=3,n=2时，由S2=2a2-3X2,得a2=9,n=3时，由S3=2a3-3X3,得a3=21.(2)因为S=2a-3Xn,所以S+1=2a+1-3X(n+1),两式相减，得a;2a+3,*-11-把b=a+3及b+1=3+1+3,代入*式，得b+1=2b(n£N*),且b1=6,所以数列｛b｝是以6为首项，2为公比的等比数列,n所以b=6X2n-1,n所以a=b-3=6X2n-i-3=3(2n-1).19.(12分)已知数列｛a｝的前n项和S= 2 ，令b=log9a+1.(1)求数列｛bj的通项公式.(2)若数列｛b｝的前n项和为T,数列的前n项和为H,求H2。口3 1【解析】⑴当n=1时,a1=S1=2=1；当n22时，3n-1-3n-1+1a=S-S1= 2 =3n-1.a1=1适合上式，所以a=3n-1.n n则b=log9a1=log93n=2,即数列｛b｝的通项公式b=2n⑵由b=2,得1 n(n+1)T=2(1+2+3+…+n)= 4 .i4ei)则，*="(>!+1)=45屋+1/-12-

于是(11111 1 1\/ 1\4n1-—+—--+--—+・・・+-- 1 22334 = n+1/=4\ 几+l/=n+1n4x20174034则H=2018=10092017an-\-120.(12分)已知数列｛aj的前n项和为Sn,且%=8亚=2-n-1.(1)求数列｛aj的通项公式.，2x371](2)求数列[册册+J的前n项和Tn.册+1【解析】(1)因为a2=8,Sn=2-n-1.an+1(an小所以n22时，a=S-S1=--n-1-\2 1化为a+1=3a+2,所以a+1+1=3(a+1),所以数列｛a+1］是等比数列，第二项为9,公比为3,所以a+1=9*3n-2=3n,所以a=3n-1.2X3n 2X3n-3n+1所以数列的前n项和-13-⑵a*%।i=(3" 1)(3"'-3n+1所以数列的前n项和-13-11 1）+…+11 1）+…++\3fl1 3"J-l/-2-3n+1-1n1 nn(1)求数列｛aj的通项公式.21.已知数列｛a｝的前n1 nn(1)求数列｛aj的通项公式.T⑵设ISJ的前n项和为T,求证:T<1.【解析】(1)当n22时，a-S-S1-n2+n-[(n-1)2+(n-1)]-2n.因为n-1时，a1-2义1-2,也适合，所以数列｛a｝