基于最优化方法的控制器设计

计算机控制理论与设计东北大学计算机控制理论与设计课程组2011年9月课程内容第一章绪论第二章计算机控制系统的数学模型与性能指标第三章经典控制器设计方法第四章复合系统控制器设计方法第五章基于极点配置方法的控制器设计第六章基于最优化方法的控制器设计第六章基于最优化方法的控制器设计本章主要内容

最优控制设计方法的原理最优化状态反馈控制器的设计最小方差控制器的设计随机系统（Stochasticsystem）指含有内部随机参数、外部随机干扰和观测噪声等随机变量的系统。随机系统是不确定性系统的一种，其不确定性是由随机性引起的。按确定性控制理论设计随机控制系统，当随机因素不能忽略时，控制系统就会偏离预定的设计要求，而产生随机偏差量。最优控制研究的主要问题：根据已经建立的被控对象的数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按照预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到极小值（或极大值）。从数学观点来看，最优控制研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，属于变分学的范畴。6.1.1最优控制的基本概念变分学：经典变分学—控制无约束问题现代变分学—控制有约束问题动态规划：贝尔曼1957年创立极小值原理：庞德里亚金1958年创立说明：解决有约束的最优控制问题，采用极小值原理和动态规划方法可以得到相同的结果。二者比较，动态规划方法在实际应用中更麻烦一些。6.1.1最优控制的基本概念如果给出如下条件：（1）系统方程；（2）允许的控制向量组；（3）问题的约束；（4）性能指标；（5）系统参数。则可用数学模型来描述控制系统的优化问题。最优控制问题的解就是在可行的控制向量组中确定的最优控制向量u(k)。除了某些特殊情况外，要得到最优控制问题的解析解是很困难的，所以一般只能得到最优控制问题的数值解。6.1.1最优控制的基本概念性能指标是一个纯量函数，其函数值表示实际性能与理想性能的接近程度。用来代替经典设计中的性能指标，如过渡过程时间，超调量等。按数学形式分为如下三类：（1）积分型性能指标。表示在整个控制过程中，系统的状态及控制应满足的要求，包括最小时间控制指标，最少燃料控制指标，最少能量控制指标等。（2）末值型性能指标。表示在控制过程结束后，对系统末态的要求。（3）复合型性能指标。表示对整个控制过程和末端都有要求，是最一般的性能指标形式，主要包括状态调节型性能指标和输出跟踪型性能指标。6.1.1最优控制的基本概念说明：（1）按照某个性能指标设计出的最优系统，在另一个指标下并不是最优的。（2）对于线性随机系统的二次型最优控制问题，若系统是完全能控和完全能观的，则最优控制律一定存在。6.1.1最优控制的基本概念对于线性系统的控制器设计问题，如果其性能指标是状态变量和（或）控制变量的二次型函数的积分，则这种动态系统的最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称为线性二次型最优控制问题或线性二次型问题（LQ：LinearQuadratic）。6.1.2线性二次型最优控制问题6.1.2线性二次型最优控制问题对于一个确定性的线性定常系统，其离散状态空间模型为：(1)其中二次型的最优控制问题就是要确定求取控制向量u(k)的规则，以使所给的二次型性能指标达到最小。典型的二次型性能指标函数如下：

(2)其中Q0和Q1是非负定对称阵，Q2是正定对称阵。6.1.2线性二次型最优控制问题对最终状态有重要影响，其值越小末态偏差就越小对控制过程的误差有相当大的重要影响，可以定量描述整个控制过程的控制效果，其值越小控制效果越好表示控制信号消耗的能量，反映控制的代价，其值越小控制代价就越小。相当于对整个控制过程中的控制向量u(k)加了一定的限制。控制效果与控制代价之间的权衡可以通过选取加权矩阵Q1和Q2来实现。（1）若强调控制效果（即控制精度），较少计较控制代价，则应选取加大的Q1，较小的Q2；（2）若强调控制代价，较少计较控制效果，则应选取加小的Q1，较大的Q2

可以证明，最优控制律可以写成如下形式：

(3)其中是时变矩阵。6.1.2线性二次型最优控制问题（常数）当（时间）LQ（LinearQuadratic）控制问题：确定性系统的线性二次型最优控制问题；对于调节系统，可称为LQR（LinearQuadraticRegulater）控制问题。LQG（LQG：LinearQuadraticGaussian）控制问题（线性二次型高斯控制问题）：随机系统的线性二次型最优控制，即在过程模型中考虑了高斯随机扰动。6.1.2线性二次型最优控制问题LQG控制律的设计可以在LQ控制问题的基础上进行。

针对确定性系统，设计得到LQ控制问题的最优控制律：然后针对随机系统，进行状态的最优估计（Kalman滤波）得到最后得到LQG问题的最优控制律为：此即为分离性原理。6.1.2线性二次型最优控制问题对于LQG控制问题，应用分离性原理能得到全局最优的结果。对于一般的随机控制问题，应用分离性原理只能得到次优的结果。LQG控制问题：基于被控对象的状态空间模型，适用于一般的输入输出系统。随机系统的最小方差控制：基于传递函数模型，一般适用于单输入和单输出系统。最小方差控制可以看成LQG控制的特例。最小方差控制与LQG控制相比，运算简单，概念清楚，容易理解。6.1.2线性二次型最优控制问题LQG控制与最小方差控制问题：本节主要讨论以下问题：（1）确定性系统LQ控制器设计问题，包括调节系统和跟踪系统。（2）状态最优估计器的设计（3）随机系统LQG控制器设计，包括调节系统和跟踪系统。6.2最优化状态反馈控制器的设计

(1)初始条件为其中是n维状态向量，是m维控制向量，F和G分别是和系数矩阵。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计6.2.1.1有限时间最优调节器问题设线性时不变系统的离散状态方程为设给定如下的二次型性能指标函数：(2)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计其中Q0和Q1是非负定对称阵，Q2是正定对称阵。要求确定控制序列u(k)(k=0,1,…,N-1)，以使得式（2）所示的性能指标函数极小，即离散定常系统有限时间最优调节器（LQR）问题。用最优原理和动态规划来求解上述LQR问题的最优控制律。最优原理：如果控制序列在时区内是最优的（即J最小），则在任何也是最优的（即最小），由此便可以将上述N级控制过程寻优问题转化为N个单级寻优问题。动态规划：控制量u(k)只影响未来状态x(k+i)，其中i≥1，而不会影响过去和现时状态x(k-i)，其中i≥0，因此寻优过程可以从控制过程终点N开始，按逆时间方向向起点0逐级递推，依次求得最优控制序列u(k)。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计时区内动态规划求解方法：令(3)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计其中根据式(3)和(2)，有(4)(5)首先根据(5）式求解

，以使

JN-1最小。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计的一阶导数并令其等于零，得(6)进一步求得最优的控制决策为(7)其中6.2.1确定性系统LQ控制器的设计求JN-1对将式(7)代入式(5)，得到最小的JN-1为(8)其中仿照以上类似的步骤可以求得。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计(10)(11)(12)最优的性能指标函数为：(13)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计离散时间Riccati（黎卡提）方程将以上计算的公式归纳如下：(9)可以证明：若给定系统完全能控，则矩阵是非负定的对称阵，则是非负定矩阵，由于Q2是正定矩阵，则矩阵是正定、非奇异的，其逆矩阵一定存在，因此控制律L(k)一定有解。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计因此满足式（9）~（12）的最优控制一定存在而且是唯一的。Riccati方程的另一种形式为：(14)利用式(10)~(12)可以逆向递推计算出和(1)给定参数F，G，Q0，Q1

和Q2;(2)S(N)=Q0

，k=N-1；(3)按式(10)计算L(k)；(4)按式(11)计算S(k)；(5)若k=0，转(7)；否则转(6)；(6)k←k-1，转（3）；(7)输出L(k)和S(k)（k=N-1，N-2，…，0）。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计具体步骤：例6.1已知被控对象的状态方程为其中二次型性能指标函数为6.2.1确定性系统LQ控制器的设计（1）（2）设计最优反馈控制规律6.2.1确定性系统LQ控制器的设计设计最优反馈控制规律Riccati方程递推初值为：由S(N)开始递推计算如下：6.2.1确定性系统LQ控制器的设计解：（1）用逆向递推求解最优反馈控制律（2）设，按照前面的迭代步骤，求得最优反馈6.2.1确定性系统LQ控制器的设计控制规律如下图所示。当迭代到一定步骤后，最优的反馈系数将趋于常数。同时也可以看到，当控制量的加权阵Q2越小时，反馈系数越大，从而要求的控制量也越大。

6.2.1.2无限时间最优调节器问题设线性离散系统及初始条件为(1)性能指标函数为终端时间无限的二次型性能指标函数，即(2)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计其中Q1是非负定对称阵，Q2是正定对称阵。要求计算最优控制u(k)(k=0,1,…,N,…)以使得式（2）所示的性能指标函数极小。该设计问题称为离散定常系统无限时间最优调节器问题，也可称为稳态二次型最优控制。定理6.1对于式（1）所示的线性离散定常系统及其式（2）所示的的二次型性能指标函数，假定矩阵[F，G]完全能控，矩阵[F,D]完全能观，其中

，且D任意，则存在唯一的最优控制(3)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计其中最优性能指标为：其中S为对称正定常数矩阵，是下列Riccati代数方程（或称为稳态Riccati方程）的唯一解：(5)(4)同时闭环系统是渐近稳定的。若Q1正定，可以去掉该约束将式（3）代入式（1），得到基于最优控制律L的闭环系统状态方程为：(6)闭环系统特征方程为：(7)由定理6.1可知，闭环系统是渐进稳定的，因此其特征方程的特征根都在单位圆内。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计关于S阵的求解：（1）对于2阶以下的低阶系统，可以通过直接解稳态Riccati方程求得：（2）对于3阶以上的高阶系统，通常采用非稳态Riccati方程的递推算法求取S的稳态解。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计从或开始递推计算，直至收敛到稳态值S阵为止。为了递推方便，通过变换时间的方向，将上式写成如下的形式：6.2.1确定性系统LQ控制器的设计(8)例6.2已知被控对象的离散状态方程为其中F=2,G=1；给定的性能指标函数为二次型性能指标函数，其中要求分别求取当

N=3时的时变最优反馈状态增益

和

的稳态最优反馈状态增益解：（1）Riccati方程递推初值为：由S(N)开始递推计算如下：6.2.1确定性系统LQ控制器的设计同理依次求得：（2）由稳态Riccati方程式（5），得到即解得6.2.1确定性系统LQ控制器的设计对应的稳态最优反馈增益为：由此可以看出，时变Riccati方程经过3步递推得到的L(0)=1.6已经非常接近其稳态值L=1.618，表明该例题Riccati方程的解收敛很快。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计其中显然是不对的，因为总是非负的，于是得到Riccati方程的稳态解为：6.2.1.3采用连续二次型性能指标函数的最优调节器设计问题问题：有些情况下，例如采样周期较长而控制量的加权阵又比较小时，采用离散的性能指标函数也许不能保证系统在采样点之间具有较好的响应性能，甚至可能隐含着振荡的现象。解决方法：采用连续的二次型性能指标函数及其对象模型，将其离散化处理后，再采用前述的最优调节器设计方法进行最优控制规律的设计，可以保证系统具有较好的连续动态响应性能。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计(1)初始条件为设给定如下的二次型性能指标函数：(2)其中Q0和是非负定对称阵，是正定对称阵。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计设连续被控对象的状态空间表达式为对于上述被控对象的控制问题：当tN

为有限时，为有限时间最优调节器问题；当tN

为无限时，为无限时间最优调节器问题。解决这个问题的一条途径是：将被控对象及其性能指标进行离散化处理，再采用前述的离散系统最优调节器设计方法设计最优控制规律L

。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计要求设计离散的控制规律L，实现如下的状态反馈，并使式(2)所示的连续性能指标函数J

极小：

利用零阶保持器法，将连续状态方程离散化为：(3)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计其中当tN为有限时，性能指标离散化为：(4)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计当tN为无限时，性能指标离散化为：(5)其中计算最优控制规律的递推公式为：(6)(7)(8)(9)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计最优的性能指标为：(10)说明：S(k)和L(k)收敛到稳态值所需的计算次数与系统的过渡过程时间及采样周期T的大小有关。一个经验规则是：这个计算次数大体与Ts/T处于同一量级，其中Ts为闭环系统的动态响应时间，T为采样周期。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计例6.3已知连续被控对象模型参数为连续的二次型性能指标函数中的加权阵为采样周期为T=0.5s。于是得到离散化的被控对象模型及性能指标参数为6.2.1确定性系统LQ控制器的设计利用递推公式(6)~(9)，得到无限时间最优调节器控制规律为：6.2.1确定性系统LQ控制器的设计6.2.1.4LQ跟踪系统控制器的设计对于跟踪系统，除了考虑系统应有好的抗干扰性能外，还要求系统对于参考输入具有好的跟踪响应性能。跟踪系统设计方法：（1）按调节系统来进行设计，使其具有好的抗干扰性能；（2）再依一定的方式引入参考输入，使其满足跟踪性能的要求。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计跟踪系统的控制规律具有如下的形式：(1)其中L为按最优化方法得到的最优控制律，

为引入的前馈增益矩阵。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计跟踪系统结构如下图所示：闭环系统的传递函数模型矩阵为：(2)对于跟踪系统通常要求对于阶跃输入稳态无误差，即满足于是有6.2.1确定性系统LQ控制器的设计(3)从而得到前馈增益若控制量和输出量的维数相等，即

，则有(4)引进积分后的跟踪系统的结构如图所示：6.2.1确定性系统LQ控制器的设计两边同乘以

，并进行z反变换，得到由此得到：(5)(6)被控对象的状态方程为：(7)输出方程为：(8)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计同时令

，则式（7）和式（9）联合组成的增广系统状态方程为：将式（8）带入式（6）得到：(9)令增广状态为：(10)其中6.2.1确定性系统LQ控制器的设计设取二次型性能指标函数为：(11)其中Q1是非负定对称阵，Q2是正定对称阵。假定是完全能控的，且设D

为能使DTD=Q1成立的任何矩阵，同时假定是完全能观的。式(10)和(11)是标准的最优调节器问题，根据定理6.1可以求得

(12)(13)(14)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计其中最优反馈控制律问题：当时，图示系统是否具有克服扰动的跟踪性能呢？6.2.1确定性系统LQ控制器的设计对式（6）进行进一步的变换，得到：(15)对上式两边做求和运算，得到(16)从而得到(17)6.2.1确定性系统LQ控制器的设计忽略

的影响，同时考虑到计算v(k)时e(k)已知，则有(18)于是可得具有积分环节的跟踪系统控制器的方程为：(19)对于这样的控制器结构，当参考输入为常值时，对于常值干扰以及被控对象的模型不准或参数发生变化的情况，均不存在稳态误差。6.2.1确定性系统LQ控制器的设计由于是的一个状态，显然也应有说明如下：由于引入积分后的增广系统按照式（12）设计的控制律一定是渐近闭环稳定的，从而对于任何初始条件均有6.2.1确定性系统LQ控制器的设计于是由式（6）得到：即表明无论存在何种干扰，系统的稳态误差一定为零。其中为过程干扰向量，

为测量噪声向量。6.2.2.1Kalman滤波器设被控对象的离散状态空间模型为(1)假设v(k)和w(k)均为离散的高斯白噪声序列，且有6.2.2状态最优估计器的设计

设V为非负定对称阵，W为正定对称阵，并设v(k)和w(k)不相关。若不是白噪声可转化在方程(1)中存在随机的干扰v(k)和随机的测量噪声w(k)，因此系统的状态向量x(k)也为随机向量，其中y(k)为能够测量的输出量。问题是如何根据输出量y(k)估计出x(k)。取现时观测器模型为：(2)(3)6.2.2状态最优估计器的设计

式（2）称为预报方程式（3）称为修正方程，其中K(k)为时变反馈增益矩阵。取观测器的重构性能指标为状态重构误差

的方差，即(4)其中状态重构误差若记状态重构误差

的协方差矩阵为：(5)6.2.2状态最优估计器的设计

标量函数矩阵则重构性能指标可以表示为矩阵

的迹，即因此使的迹最小等价于使性能指标

最小。状态最优观测器（估计器）设计就是求解K(k)使得观测器的性能指标（4）或（6）取最小值。令状态预报误差为(7)结合式（1）和式（2）得到：(8)6.2.2状态最优估计器的设计

(6)由式（1）和式（3），结合上式（8），得到状态重构误差为：(9)由于与统计无关，因此得到的协方差矩阵为：(10)6.2.2状态最优估计器的设计

式中，由于w(k)与不相关，因此交叉相乘项的期望值为零同时有(11)为状态预报误差

的协方差矩阵。考虑到

与统计无关，因此得到：(12)为了在式(10)中寻求K(k)以使P(k)极小，取于是有(13)6.2.2状态最优估计器的设计

整理得到(14)其中为正定对称阵。最后将所有的Kalman滤波递推公式归纳如下：(15)(16)(17)(18)(19)和P(0)给定，k=1,2,…。6.2.2状态最优估计器的设计

Kalman滤波递推公式式(19)还可进一步简化。将式(6.93)展开得根据式(17)，可以求得上式中的第三项为将其代入式(20)得(21)6.2.2状态最优估计器的设计

(20)非对称问题：Kalman滤波器稳定性？（1）Kalman定理已经证明，若被控系统既是完全能控又是完全能观的，则Kalman滤波器是大范围渐近稳定的。（2）当V和W为常值时，对于不同的初值P(0)，只要P(0)≥0，则矩阵P(k)必定按指数衰减到稳态值P，相应的M(k)和K(k)也将分别衰减到它们的稳态值，且与P(0)无关（

P(0)≥0）。（3）应用稳态增益K代替时变增益K(k)的Kalman滤波器称为次优Kalman滤波器或稳态Kalman滤波器。6.2.2状态最优估计器的设计

增益矩阵K(k)或稳态增益K可以直接根据式(17)~(19)的递推公式进行计算。下面给出迭代计算的程序流程：①给定参数F,G,V,W

和P(0)，给定迭代计算总步数N，置k=1；②按式(18)计算M(k)；③按式(17)计算K(k)；④按式(19)计算P(k);⑤如果k=N，转⑦；否则转⑥；6.2.2状态最优估计器的设计

⑥，转②；⑦输出K(k)（K），k=1,2,…,N。分析Kalman滤波器的特征方程。根据式(9)和(8)可以求得(22)将时变的反馈增益

取为稳态值

K(23)6.2.2状态最优估计器的设计

则得到Kalman滤波器的特征方程为：由于Kalman滤波器是渐近稳定的，因此其特征方程

的特征根都在单位圆内。例6.4已知被控对象的状态表达式为其中同时已知v(k)和w(k)均为均值为零的白噪声序列，且它们互不相关，v(k)和w(k)的协方差阵分别为6.2.2状态最优估计器的设计

要求计算Kalman滤波器的反馈增益K(k)。解：设取N=40及，利用上面给出的计算流程可以算得Kalman滤波增益矩阵，如下图所示。6.2.2状态最优估计器的设计

说明--（1）ρ大K

大；（2）K趋于常值6.2.2.2Kalman滤波问题的推广

设被控对象的离散状态模型仍同前，即(1)其中，是均值为零、协方差为V的高斯白噪声序列。设输出方程为6.2.2状态最优估计器的设计

(2)其中

是均值为零、协方差为W的高斯白噪声序列。设v(k)和w(k)是相关的，且有问题仍然是求x(k)的最小方差估计。解决这个问题的思路是：在给定模型的基础上构造一个新模型，使得新模型能够满足前述基本Kalman滤波的条件，从而根据已有的结果得到推广的Kalman滤波的递推公式。6.2.2状态最优估计器的设计

结合式(1)和(2)可得(3)其中这里Kc为待定的系数矩阵。6.2.2状态最优估计器的设计

则与

w(k)不相关。可以求得(4)6.2.2状态最优估计器的设计

显然，若选(5)进一步求得(6)其中(7)将式(5)代入式(7)并整理得到(8)6.2.2状态最优估计器的设计

可见，式(3)和(8)的新模型满足基本的Kalman滤波器的条件，可得这时的Kalman滤波公式为(9)(10)(12)(13)6.2.2状态最优估计器的设计

和P(0)给定，k=1,2,…式(9)~(13)即为推广的Kalman滤波公式。(11)6.2.2.3预报Kalman滤波器依据现时观测器得到的Kalman滤波也称为现时Kalman滤波器或现时估计器。若Kalman滤波的计算时间远小于采样周期，用现时的Kalman滤波可获得较好的状态估计，因为它用到了最近时刻的输出量信息。6.2.2状态最优估计器的设计

若Kalman滤波的计算时间接近一个采样周期，宜采用预报Kalman滤波器或预报估计器，即用现时刻的输出量y(k)重构下一步的状态设被控对象的模型为6.2.2状态最优估计器的设计

可得预报Kalman滤波器的递推方程如下：和P(0)给定，k=1,2,…根据以上式可依次计算出K(k)和P(k+1)，k=1，2，…。当k→∞时，K(k)将趋于常数阵K。6.2.3.1LQG调节系统控制器的设计被控对象随机模型的离散状态空间表达式

为

(1)6.2.3随机系统LQG控制器的设计

对于连续被控对象模型，其状态空间表达式为(2)其中是n维过程干扰向量，是r维测量噪声向量。设和是零均值的高斯白噪声，且互不相关，并有设Vc为非负定的对称阵，Wc为正定对称阵。利用零阶保持器法进行状态空间模型的离散化处理，得到式（1）所示的离散化状态空间模型的标准形式。6.2.3随机系统LQG控制器的设计

对于上述随机系统的LQG控制器的设计，可以采用前讨论的确定性系统LQ控制规律的设计和Kalman状态最优估计的结果，将其二者结合起来组成LQG控制器，其控制模型为：(3)6.2.3随机系统LQG控制器的设计

问题：实际的闭环系统是否仍是最优控制系统？如果仍是最优控制系统，它使得何种性能指标最优？定理6.2（分离性定理）对于式（1）或式（2）所示的随机系统，其LQG最优控制律为(4)其中L为确定性系统LQ的控制律，

的Kalman最优估计。（1）对于离散控制系统（式（1）），它使得如下的离散二次型性能指标函数极小：(5)的极小值为(6)6.2.3随机系统LQG控制器的设计

(7)的极小值为(8)（3）闭环系统是渐进稳定的。6.2.3随机系统LQG控制器的设计

（2）对于连续控制系统（式（2）），它使得如下的连续二次型性能指标函数极小：根据上述分离性定理，LQG控制器的设计可以分成两个独立的部分：（1）LQ最优控制规律的计算。（2）随机系统状态最优估计的计算。于是，得到LQG调节系统的结构如下图所示：6.2.3随机系统LQG控制器的设计

LQ系统与LQG系统的比较：6.2.3随机系统LQG控制器的设计

LQ系统：LQG系统：（1）被控对象模型：离散系统连续系统（2）性能指标表达式：6.2.3随机系统LQG控制器的设计

LQ系统：离散系统连续系统LQG系统：要点：（1）终值是否趋于零（多项与一项）；（2）求和与数学期望（确定量与随机量）（3）控制器设计：6.2.3随机系统LQG控制器的设计

LQ系统：LQG系统：（状态可测）（L通过Riccati方程求解）（状态不可测）（控制律+状态观测器）（状态不可测）（控制律+最优状态估计器）状态可测？6.2.3随机系统LQG控制器的设计

LQG控制器设计总结：离散化分离6.2.3随机系统LQG控制器的设计

确定性系统控制规律设计随机系统状态最优估计结合6.2.3随机系统LQG控制器的设计

LQG控制器6.2.3随机系统LQG控制器的设计

LQG控制器LQG系统闭环极点分布分析：被控对象与控制器表达式为：6.2.3随机系统LQG控制器的设计

从而得到闭环系统的状态方程为：(9)其中

(10)6.2.3随机系统LQG控制器的设计

(11)控制规律L的特征方程（LQ系统）Kalman最优状态估计器的特征方程6.2.3随机系统LQG控制器的设计

从而可以求得闭环系统的特征方程为：结论：LQG系统的闭环极点也由两部分组成：（1）相应的LQ系统的极点（2）Kalman最优状态估计器的极点由于

和的极点都是稳定的，因此整个闭环系统的极点也都是稳定的，说明整个闭环系统是渐进稳定的。6.2.3随机系统LQG控制器的设计

6.2.3.2LQG跟踪系统控制器的设计6.2.3随机系统LQG控制器的设计

LQG跟踪系统可以在LQ跟踪系统的的基础上构建，即在LQ跟踪系统中引入最优状态估计器，构成LQG跟踪系统。LQG跟踪系统结构如下：LQG跟踪系统的最优控制规律具有如下的形式：(1)其中L为LQ系统的最优控制律，Lr为引入的前馈增益矩阵；估计器为Kalman滤波器，其滤波器的反馈增益K按Kalman递推公式计算。6.2.3随机系统LQG控制器的设计

若最优估计器采用预报Kalman滤波器，有其中根据

的条件，得到6.2.3随机系统LQG控制器的设计

从而计算出Lr：若控制量和输出量的维数相等，即m=r，则有若考虑控制器中加入积分作用，则引进积分后的跟踪系统的结构如下：6.2.3随机系统LQG控制器的设计

最优反馈控制律求取方法与LQ跟踪系统相同；估计器为Kalman滤波器，其滤波器的反馈增益K按Kalman递推公式计算。6.3.1随机干扰模型及性能指标6.3.1.1随机干扰模型设被控对象的结构图如图所示。

6.3最小方差控制器的设计

图中，v(k)和w(k)为随机干扰序列，v(k)为过程噪声序列，w(k)为测量噪声序列。即的Fourer变换可以证明，作用于控制系统的随机干扰v(k)，只要它是平稳随机序列，其统计特性谱密度或协差函数

已知，v(k)就可以表示为：设v(k)的统计特性如下（首先对信号特性进行分析）：均值：为一常数协方差函数：谱密度：(1)6.3.1随机干扰模型及性能指标式中为均值为零的白噪声序列，为根据得到的有理函数。分为和关于z-1的互反多项式。和关于互反多项式（Reciprocalpolynomial的一般定义：6.3.1随机干扰模型及性能指标定义：设(2)

(3)为P(z)的互反多项式。称其中，且与阶次相等。互反多项式具有下列性质：的零点必在单位圆外，反之亦然，即与的零点关于单位圆成映射关系。6.3.1随机干扰模型及性能指标（2）设P(z)的互反多项式为，的互反多项式为，则

不一定等于。（1）多项式P(z)的零点若在单位圆内，则它的互反多项式根据定义，显然有(4)于是若设(5)(6)则有(7)6.3.1随机干扰模型及性能指标(8)则式（1）所表示的平稳随机干扰v(k)的差分方程为：(9)具有这种模型的随机序列v(k)称为自回归滑动平均过程，简称ARMA(Auto-RegressionMovingAverage)过程。若，对应的差分方程为：(10)则v(k)为自回归过程，简称AR过程。若，对应的差分方程为：（11)6.3.1随机干扰模型及性能指标则v(k)为滑动平均过程，简称MA过程。随机系统建模策略：（1）对于系统中的平稳随机干扰序列v(k)和w(k)，按照线性叠加原理，将两者合并为一个作用于系统输出端的平稳随机干扰序列d(k)；（2）利用以上讨论的平稳随机干扰建模方法，建立相应的随机干扰模型。6.3.1随机干扰模型及性能指标--为均值为零、方差为

的白噪声序列被控对象模型可表示为：(12)--被控对象模型，也可称为控制通道模型6.3.1随机干扰模型及性能指标--为随机干扰模型或干扰通道模型上述模型的结构如图所示：6.3.1随机干扰模型及性能指标(13)由式（12）得(14)上式经通分可进一步化为

(15)其中A(z)为首一多项式。6.3.1随机干扰模型及性能指标模型的标准化处理：设这样

也变成了首一多项式。式（16）可进一步写为(16)其中(17)从而求得(18)

(19)（1）若令，则为确定性系统的传递函数模型（2）若令，则为ARMA随机过程模型6.3.1随机干扰模型及性能指标设的首项系数为，则（15）式也可变为式（16）也可表示为(20)其中，式（16）或式（20）便是标准的被控对象及干扰模型，通常称为受控自回归滑动平均模型，简称CARMA(ControlledAuto-RegressiveMovingAverage)模型6.3.1随机干扰模型及性能指标（16）（4）

的零点均在单位圆内。如果有单位圆外的零点，则可设法将其化到单位圆内。（1）A(z)和C(z)均为首一多项式（2）

即（3）说明：上述（3）和（4）的假设是因为干扰e(k)是白噪声序列，所以总可以变化成满足上述要求的干扰模型。6.3.1随机干扰模型及性能指标对此模型再进一步作如下几点假设：(21)6.3.1.2性能指标具有前馈与反馈相结合的复合控制系统结构如下：6.3.1随机干扰模型及性能指标说明：第5章和第6章所设计的控制器结构都是前馈与反馈相结合的复合控制器形式。（1）性能指标为控制系统的输出方差：（2）控制系统的偏差和控制量的二次型函数：6.3.1随机干扰模型及性能指标称为广义最小方差控制性能指标形式：称为最小方差控制其中6.3.2.1最优预报被控对象的标准CARMA模型如下：(1)6.3.2最小方差控制器的设计最优预报

(2)式中

为商式，

为余式，其中利用多项式的除法可以求得(3)6.3.2最小方差控制器的设计则有将式（3）代入式（2），得到(4)同时由式（1）得到(5)6.3.2最小方差控制器的设计可以作分母吗？将式（5）代入式（4），结合式（3）得到(6)6.3.2最小方差控制器的设计随机干扰项确定项从k时刻角度看，无法预先知道未来d步输出值的最优预报是指能够使预测误差的方差为最小的预测输出，即将式（6）代入上式，得到6.3.2最小方差控制器的设计(7)两者统计无关使该项为零未知项可以看出，使指标

最小的方法是使上式中的第二项为零，从而得到(7)的最优预报最优预报估计误差为：6.3.2最小方差控制器的设计(8)其方差为

(9)式中白噪声序列

是互不相关的。6.3.2最小方差控制器的设计根据上面公式计算出和或和。（1）作多项式的带余除法运算，如式（3）所示。或写成上式两边同乘以

可得其中6.3.2最小方差控制器的设计最优预报

计算步骤总结如下：Diophantine方程（2）根据式（7）计算最优预报估计，即(10)最优预报估计误差即输出量的最小方差为：6.3.2最小方差控制器的设计6.3.2.2最小方差控制（I型最小方差控制）最小方差控制律：使性能指标J1最小的最优控制律。的性能指标也可以写成如下的形式：6.3.2最小方差控制器的设计(11)根据式（11），结合式（8）得到：(12)将式（7）代入上式得到(13)使J1最小的方法是使上式中的第二项为零，这一点可以通过调整u(k)来实现。6.3.2最小方差控制器的设计于是有:

(14)

由此得到I型最小方差控制律为:

(15)反馈控制作用最小方差前馈控制器为:

(16)最小方差反馈控制器为:

(17)6.3.2最小方差控制器的设计前馈控制作用说明：控制器包括被控对象全部零点。在最小方差控制律下，可得系统输出的最小方差为：(18)此方差与最优预报误差的方差相同，即(19)6.3.2最小方差控制器的设计闭环系统的极点分布情况：当参考输入时，系统即为调节系统，此时最小方差调节器为：

(20)（1）调节系统的输出最小方差与跟踪系统相同（2）调节系统与跟踪系统的闭环系统特征方程基本相同。6.3.2最小方差控制器的设计说明：（1）此时主要分析输出y(k)与输入（干扰）e(k)之间的关系；（2）也可以分析输出y(k)与输入yr(k)的关系，此时为分析跟踪系统的闭环特性。被控对象模型可重写为：

(21)根据式（20）有(22)6.3.2最小方差控制器的设计将式（22）代入式（21）得(23)(24)或

(25)(26)系统的特征多项式为(27)可进一步化为

(28)

6.3.2最小方差控制器的设计上式两边同乘以得三部分组成考虑闭环系统传递函数模型中零极点对消的情况，将式（28）代入式（26），得到

(29)

则闭环系统的特征方程变为：(30)

即闭环系统只有d-1个位于原点的极点，则闭环系统的输出总是收敛的，从这个意义上讲，似乎闭环系统总是稳定的。6.3.2最小方差控制器的设计将式（25）、（26）代入式（22）得到：

(31)

可得到闭环系统的控制量传递函数模型为：(32)

闭环极点由二部分组成：（1）d-1个位于原点的极点；（2）B(z)的零点（m-d个）。

6.3.2最小方差控制器的设计例6.5设被控对象的模型如下：同时已知。试按和两种情况，设计最小方差控制器，并计算相应控制系统的输出方差。6.3.2最小方差控制器的设计可得，

6.3.2最小方差控制器的设计解：（1）设延时拍数首先作如下的多项式除法：于是得到：求得最小方差为：6.3.2最小方差控制器的设计首先计算：从而得到：6.3.2最小方差控制器的设计（2）设延时拍数于是得到：这时的最小方差为：结论：当延时拍数增加时，控制系统的输出方差变大。6.3.2最小方差控制器的设计6.3.2.3被控对象具有单位圆外零点时的最小方差控制

（II型最小方差控制）定理6.3给定被控对象的模型为

(1)

将B(z)分解为

(2)6.3.2最小方差控制器的设计

(3)首一多项式则调节系统最小方差控制为：其中和满足如下的Diophantine方程：

(4)其阶次分别为

(5)是的互反多项式。因此，II型最小方差调节系统控制器的传递函数为：(6)

6.3.2最小方差控制器的设计特点：只抵消了被控对象单位圆内的零点。问题：最小方差是多少？没有结论。分析调节系统的闭环极点分布情况：被控对象模型为

(7)代入控制量u(k)：

(8)6.3.2最小方差控制器的设计上式两边同乘以：(9)于是得到闭环系统的传递函数模型为

(10)结合式Diophantine方程，得到(11)于是得到闭环系统的特征多项式为

(12)可见，闭环系统的极点由四部分组成：（1）d-1个原极点（2）对象中位于单位圆内的零点（3）对象中单位圆外零点关于单位圆周的镜像（4）的零点。6.3.2最小方差控制器的设计被控对象包含单位圆上的零点时不适合闭环系统传递函数模型中零极点对消后有

(13)则闭环系统的特征方程变为：

(14)6.3.2最小方差控制器的设计因此闭环系统的输出y(k)总是收敛的。于是得到闭环系统的控制量传递函数模型为

(16)6.3.2最小方差控制器的设计可见，其闭环极点也都是稳定的，因此控制量u(k)也是收敛的。结合式（3）和（13）得到：(15)II型最小方差跟踪系统（）控制器的设计：同样把包括前馈控制器和反馈控制器，前述调节系统的控制器相当于反馈控制器，即

(17)6.3.2最小方差控制器的设计I型最小方差反馈控制器特点：用代替I型控制器中的即可。于是II型最小方差控制中的前馈控制器为：

(18)

6.3.2最小方差控制器的设计I型最小方差前馈控制器例6.6被控对象模型为：同时已知。要求计算调节系统的最小方差控制。6.3.2最小方差控制器的设计模型参数为：解：该例中，，B(z)的零点在单位圆外，

B(z)因此可取，容易求得F(z)和Q(z)的阶次为：6.3.2最小方差控制器的设计从而可设，将F(z)、Q(z)及其它有关参数Diophantine方程，得到通过比较系数解得即于是调节系统最小方差控制为：6.3.2最小方差控制器的设计说明：若设计跟踪系统的最小方差控制器，则有：6.3.2最小方差控制器的设计求调节系统输出方差：从而求得6.3.2最小方差控制器的设计

(19)

闭环系统传递函数模型为：其中展开w(k)得到

(20)于是有

(21)根据式（20）有

(22)6.3.2最小方差控制器的设计可见w(k)与e(k)二者不相关。因而根据式（22）可以解得

(23)6.3.2最小方差控制器的设计将上式代入式（21）得(24)假设系统处于平稳状态，于是有6.3.2最小方差控制器的设计如果采用I型最小方差控制的设计方法，可以求得从而得到，可得I型最小方差控制器传递函数为(25)其最小方差为：(26)6.3.2最小方差控制器的设计结果分析：II型最小方差控制：I型最小方差控制：（u(k)收敛）（u(k)发散）不稳定极点，B(z)引起的不稳定极点，F(z)引起注意要点：控制器不稳定的极点是否与被控对象不稳定的零点抵消。其中包含所有单位圆内的零点，且规定为首一多项式；包含所有单位圆上和圆外的零点。6.3.2.4逆不稳定对象的最小方差控制也称为III型最小方差控制：被控对象B(z)具有单位圆上和单位圆外的零点的最小方差控制。定理6.4给定被控对象的模型为

(1)将B(z)分解为6.3.2最小方差控制器的设计(2)

假定的所有零点均在单位圆内，和不存在公因子，则最小方差控制为(3)其中，和满足如下的Diophantine方程：(4)在上式中，为首一多项式，和的阶次为

6.3.2最小方差控制器的设计于是III型最小方差控制器的传递函数为：(5)由被控对象模型（1）和控制律（3）得到：6.3.2最小方差控制器的设计(6)分析闭环调节系统的传递函数模型：于是得到闭环系统的传递函数模型为

(8)

6.3.2最小方差控制器的设计由上式并结合式（4）得(7)

其中不涉及被控对象单位圆上和单位圆外的零点。(9)

于是得到闭环系统的控制量传递函数模型为：(10)

6.3.2最小方差控制器的设计结合式（3）和（7）得到：III型最小方差闭环系统输出方差：(11)其中6.3.2最小方差控制器的设计I型最小方差闭环系统输出方差：其中II型最小方差闭环系统输出方差：需要特殊计算对于参考输入的跟踪系统（），其III型最小方差控制器与II型最小方差控制器相同，即反馈控制器为：

(12)

前馈控制器的传递函数模型为：(13)

6.3.2最小方差控制器的设计例6.7被控对象模型为：同时已知要求设计III型最小方差调节系统控制器。6.3