固定收益证券讲义(4债券数学)

固定收益证券

主讲人：何旭彪

2023年1月15日1第四章债券数学§4-1计算实际收益率§4-3凸性§4-2风险和债务证券2§4-1计算实际收益率现金流C0的时间价值1期：C1=C0(1+r)r为利率，通常以年为单位。

N期：Cn=C0(1+r)n更一般的，现金P以r年利率投资，每年支付次n利息，投资T年，回报为r变成了连续复利3债券现值的计算步骤：找出债券的现金流现金流折现当现金流都一样时（被称为年金），付息债券的价值（F是债券面值）注意，当r=c时，P=F4当期数趋向于无穷时(如永续年金)例：每年支付$

100的永续年金值多少钱？假设折现率为5%答案：5到期收益率(YTM)该收益率使得债券的现值等于债券价格。若交割日恰好是付息日，则YTM是基于内部收益率(IRR)计算的。YTM可通过试错法（trial-and-error）计算YTM是半年为单位的利率(息票通常是半年支付一次)现金流用同样的收益率折现隐含了收益率曲线是平坦的假设6到期收益率(YTM)假定持有至偿还期无违约风险再投资收益率等于到期收益率本身无回购条款7债券等价收益率债券等价收益率(BEY)：将YTM转换为年利率（华尔街规则）y=2YTM，则若交割日恰好是付息日，P=全价=净价=报价8债券报价到期日为2021年11月15日，息票利率为8.00%的美国国债，1992年1月9日交割的报价如下：价格标出的是面值的百分数。整数+n/32ths(国库券)or+n/8ths(公司债券)例：106.30=10630/32=112.9375%报价日出价要价收益率1992-01-09106.30107.007.419非付息日的全价与净价如果交割日不是付息日，全价应如何计算？按照“华尔街规则”的计算方法是上一个息票支付日(LCD)下一个息票支付日(NCD)交割日(SD)10应计利息债券的报价(市场价格)通常是净价净价=全价-应计利息（ait）11全价与净价例UStreasurynote,票面利率8.625%，到期日8/15/2003，交割日9/8/2002，计算在到期收益率为3.21%时的全价与净价.12全价与净价净价=全价-应计利息=105.506-0.563=104.94313例：到期日为1991年11月15日，息票利率为7.75%的美国中期国债，1991年7月18日交割的报价如下：c=7.75,x=184,z=120,x-z=(SD-LCD)=64,则应计利息为ait=7.75/2*64/184=1.3478使用出价，发票价格为Pt

=100+19/32+1.3478=101.94155使用要价，发票价格为Pt

=100+21/32+1.3478=102.00405报价日出价要价收益率1994-07-18100.19100.215.8114国库券（T-Bills）交割日(SD)和到期日(MD)的时间轴。贴现收益率(discountyield)F是面值，P是T-Bill的现值，B是一年的基本天数(360或365)。在美国，B取360；英国、日本取365等等。15例：下面列出了1991年5月23日到期的美国短期国库券，在1990年12月14日交割的报价。使用买入贴现收益率，发票价格为Pt

=100*(1-160*0.0678/360)=96.98667使用卖出贴现收益率，发票价格为Pt

=100*(1-160*0.0676/360)=96.99556注意：贴现收益率与收益率是不同的。why报价日买入贴现收益率卖出贴现收益率收益率1990-12-146.786.767.0616在美国，T-bill同bond的收益率不能直接比较：年的天数不一样，360vs365天收益率计算不一样，面值vs现值为了方便比较，如何求等效收益率？1、n<182天的国库券的收益率(债券无须付息)债券等价收益率(bondequivalentyield，BEY)为Bm是年的基本天数(一般为365)。与贴现收益率d的关系：172、n>182天的国库券的收益率当国库券的期限超过6个月时，国库券是不支付利息的，而中期国债和长期国债都是每半年支付利息的。业内的惯例是假设利息y在6个月后支付，而且这个利息能进行再投资，即解出y，得出期限大于182天的短期国库券的BEY为18例：下面是1992年4月9日到期的美国国库券，在1991年4月18日交割的报价。n=357天，使用卖出贴现收益率计算价格Pt

=100*(1-357*0.0592/360)=94.1293计算BEY得：BEY=6.2802%报价日买入贴现收益率卖出贴现收益率收益率1991-04-185.945.926.2919§4-2风险和债务证券债券的价格风险是指由于市场中利率的变化所引起的价格变化。(即利率风险)定义：价格风险为其中，负号代表随着收益率的递增，价格递减。20价格风险一般地，价格风险用百分数来度量，以反映收益率的变化引起的价格的百分比变化。因此，21在较低的收益率水平下价格风险较高，随着收益率的增加，价格风险逐渐下降。当N趋于∞时，有22基点价值

（PriceValueofaBasisPoint）定义： 基点价值是收益率变动一个基点时，债券价格的变化值。(通常的面值为100)PVBP=－△P/(△yX10,000)PVBP也称为0.01的美元价值，DV01(dollarvalueofan01)。若PVBP*以每百万美元为面值，则PVBP*=PVBPX(1000000/100)=－△P/(△yX10000)X(10000)=－△P/△y=(-△P/△y)/100X100=△PX10023例：年息票为C=10美元，半年支付的债券，剩余80个息票支付区间(N=80)。对于这个40年期债券，收益率为9%(y=0.09)时的价格风险为: △P=11.86,PVBP(每百万美元面值)=11.86X100=1186美元(每百万美元)24久期久期被广泛的用于度量风险。麦考利久期(Macaulayduration)表示了由收益率的百分比变化导致的价格的百分比变化，即利率的价格弹性。以时间为权重的贴现现金流pt25讨论意义：对于n期零息债券D＝n对于n期息票债券D

<n资产价值与久期的乘积等于该资产在各期所产生现金流的现值与相应期限乘积的代数和。Pt(期限)pnp3p2p1P0D1n若投资者持有的资产仅只产生一次性回报，则相应于该回报所需的时间即为久期(平均期限)。26

名称(1)至支付的时间/年(2)支付/美元(3)半年5%折现支付/美元(4)权重(5)(1)×(4)债券A8％债券0.54038.0950.03950.01981.04036.2810.03760.03761.54034.5530.03580.05372.01040855.611

0.8871

1.7742总计964.5401.00001.8853债券B零息票债券0.5～1.500002.01000822.70

1.0

2总计822.701.02久期计算27修正久期(modifiedduration)28息票对久期的影响29设资产组合由m项资产所构成，其中第i项资产的价值和久期分别为Pi、Di（i=1,2,…,m），则有：资产组合的久期为该组合内各项资产久期的加权平均和，权因子i=Pi/P。资产组合价值资产组合久期权因子组合的久期30证明

资产组合中各项资产在t期所产生的现金流的现值之和等于资产组合在t期所产生的现金流的现值。31D(i)i=Pi/P32例:计算资产组合的久期债券价格收益率面值市值久期10%5年100.0010%4百万4,000,0003.8618%15年184.627510%5百万4,231,3758.04714%30年137.858610%1百万1,378,5869.16833基于久期的风险对冲原理：使得债券组合的价值对利率变化不敏感记组合的价值为P记对冲工具的价值为H对冲工具：BondSwapFutureOption假定收益率曲线是平坦的。34组合的价值变化久期对冲对冲工具价值变化策略：持有

q

单位的对冲工具，使得解35例:

T时刻,投资组合P的价值为$328635,收益率5.143%和久期7.108年对冲工具,某债券的价值为$118.786,收益率4.779%和久期5.748年对冲的数量：q=-(328635x7.108)/(118.786x5.748)=-3421结论：如果持有组合P,必须卖空3421单位的债券（对冲工具）36例：考虑1个组合，其中，有1亿美元面值的到期日为2002年8月15日的剥离证券。用两种证券组合(1997年8月15日和2012年8月15日到期的)来替换这个证券，使得并没有现金支出而且PVBP保持一致，这可能吗?37代入数据求解得，nl=44.20，n3=78.7938收益率变化39案例：价差交易30年期长期国债，息票利率为8.75%，到期日2020年5月15日出价要价收益率(%)交割日应计利息PVBP108.8405108.84057.961991-12-020.4086541200.643109.8076109.87017.881991-12-040.4567311218.2462年期中期国债，息票利率为5.50%，到期日1993年11月30日出价要价收益率(%)交割日应计利息PVBP100.3735100.43605.301991-12-020.03022187.3642100.5967100.65925.181991-12-040.06044187.4086交易数据显示，30年期长期国债和2年期中期国债的收益率差为266个基点。交易商预计这个价差在几天之内会明显增大。即，收益率曲线会变得更为陡峭。交易商如何建立交易策略?40交易策略1、必须对冲利率风险n2XPVBP2=n30

XPVBP30如果n30=100(百万美元面值)，n2=100*1200.6435/187.3642=641即交易商做多641百万美元面值的2年期中期国债，同时，做空100百万美元面值的30年期长期国债。2、交易商将2年期国债抵押以5%的回购利率借入现金(忽略差额)。同时，交易商将借入并卖出30年期国债，并以4.9%的回购利率抵押现金(忽略差额)。4142价差交易的交易行为总结日期交易现金流12/2/87借入现金并支付2年期中期国债支付2年期中期国债作为抵押(100.4360+0.03022)X10000X641=-643988470借入30年期长期国债，然后卖掉。支付现金作为抵押(108.8405+0.408654)X10000X100=+10924915443价差交易的交易行为总结日期交易现金流12/4/87（1）（2）（3）（4）卖出2年期中期国债，每641百万美元面值变为(100.5967+0.0604)X10000X641=645212011返还所借数目和回购利息每641百万美元面值变为643988470X(1+0.05X2/360)=-644167356得到现金和利息109249154X(1+0.049X2/360)=+109

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894买入30年期长期国债，以填平卖空头寸(109.8701+0.4567)X10000X100=-110326800利润(损失):(1)+(2)+(3)+(4)-3251为什么会亏？44价差交易影响因素买卖价差。交易商在卖出价买入，在买入价卖出。买卖价差越大，交易就越不具有有利可图性。回购利率。如果回购利率很低，交易商将支付很少的成本借入，但是，他在现金抵押上获得的也比较少。特定回购利率。如果证券的多头方比较特殊(，那么，交易商将获得更多的现金，因为利用抵押品可以更便宜地借入现金。差额。交易商将支付一些差额，这样也会减少有利可图性。45久期对冲非常简单应用假设条件比较严格假设1:收益率变化小投资组合的价值仅仅是Taylor展开的一阶近似，因此，对冲头寸必须经常调整假设2:收益曲线是平坦的假设所有的债券都有同样的收益率换句话说，利率风险仅被简单的看成是一种平均利率水平上的风险假设3:收益率曲线仅做平移运动久期对冲的局限性46§4-3凸性47设债券价值为P，(r)2

的高阶无穷小量久期凸性定义凸性为48考虑一个10年期平价债券，6%的息票，修改久期为7.36考虑下面两种情况：情况1:yieldincreasesfrom6%to6.01%(smallincrease)情况2:yieldincreasesfrom6%to8%(largeincrease)情况1:新收益率6.01%下的未来现金流折现价值为$99.267绝对变化:-0.733=(99.267-100)用修正久期，价值变化为:-100x7.36x0.001=-$0.736误差很小。情况2:新收益率8%下的未来现金流折现价值为$86.58