激光原理-第三章

激光原理1

激光原理第三章激光器的输出特性3.1光学谐振腔的衍射理论3.2对称共焦腔内外的光场分布3.3高斯光束的传输特性3.4稳定球面腔的光束传输特性3.5激光器的输出功率3.6激光器的线宽极限2§3.1光学谐振腔的衍射理论33.1.1惠更斯-基尔霍夫衍射公式

为了描述波的传播过程，惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。菲涅耳引入干涉的概念，认为空间光场是各子波干涉叠加的结果。4

惠更斯－菲涅耳原理设波阵面上任一源点的光场复振幅为，则空间任一观察点P的光场复振幅由下列积分式计算：图3-1惠更斯-菲涅耳原理式中为源点与观察点之间的距离；为源点处的波面法线与的夹角；

为光波矢的大小，为光波长；为源点处的面元。

（3－1）53.1.2光学谐振腔的自再现模积分方程1.自再现模概念“开式”谐振腔的概念自再现模:腔内光束经多次来回反射后形成的稳定的横向场分布.这种分布不再受衍射的影响,往返一次后能再现出来,光强分布不变,只是光强按同比例减小,相位作相同的滞后.62.自再现模积分方程图3-2镜面上场分布的计算示意图图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面M和M’上分别建立了坐标轴两两相互平行的坐标x-y

和x’-y’。利用上式由镜面M’上的光场分布可以计算出镜M上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。7考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，应能够将再现出来，两者之间应有关系：

设为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，（3－2）（3－3）8综合上两式可得：

')cos1()','(4),(')cos1()','(4),(''dseyxuikyxudseyxuikyxuikMikMqqqrpsqrpsrr+=+=--òòòò（3－4）（3－5）9对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于反射镜的线度a，而a又远大于光波长。对上式做两点近似可得到自再现模所满足的积分方程：其中

----------积分方程的核。和的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。（3－7）103.积分方程解的物理意义本征函数的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。图3-3为各种横模光斑。(1)本征函数和激光横模图3-3横模光斑示意图11(2)本征值和单程衍射损耗、单程相移

:自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。

损耗=衍射损耗+几何损耗，主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用表示。定义为单程衍射损耗与横模序数有关（3－9）12本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移，它们的关系为133.1.3光学谐振腔谐振频率和激光纵模1.谐振条件、驻波和激光纵模(1)谐振条件:光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件(2)纵模：每个q值对应一个驻波.q为纵模序数。(3)（3－16）142.纵模频率间隔腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔（3－17）15举例1：10cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（一种，单纵模）举例2：30cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（三种，多纵模）图(3-4)腔中允许的纵模数16理解自再现模概念

本节重点：激光谐振腔的谐振频率及激光纵模

§3.2对称共焦腔内外的光场分布183.2.1共焦腔镜面上的场分布1.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解

(1)设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，并把x，y坐标的原点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有本征函数近似解析解本征值近似解

Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：192.镜面上自再现模场的特征

(1)振幅分布图(3-5)的变化曲线及相应的光强分布20激光模式的符号：TEMmnq，TEM00是基横模。m、n的数值正好分别等于光强在x，y方向上的节线(光强为零的线)数目，而且m、n的数值越大，光场也越向外扩展。基横模TEM00场分布为：镜面上基模的“光斑有效截面半径”(2)位相分布:共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。(3)单程衍射损耗：一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑单程衍射损耗21(4)单程相移与谐振频率：图(3-6)方形镜共焦腔的振荡频谱221.腔内的光场:通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的行波求得。腔外的光场:腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行波函数乘以镜面的透射率t。3.2.2共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布图3-7计算腔内外光场分布的示意图232.如图3-7所示，将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得：图3-7计算腔内外光场分布的示意图24方形镜面对称共焦腔镜面上自再现模场的特征

本节重点：了解方形镜面对称共焦腔内外的光场分布

自再现模积分方程的近似解析解方形镜共焦腔圆形镜共焦腔26（1）振幅分布方形镜共焦腔模的强度花样圆形镜共焦腔模的强度花样镜面上自再现模场的特征TEM00TEM10TEM20

TEM03TEM11TEM31

TEM00TEM10TEM20

TEM01TEM02TEM03

27（2）相位分布共焦腔的反射镜面本身构成光场的一个等相位面。

由近似解得出两种共焦腔的单程衍射损耗为零。要具体求其单程衍射损耗，须采用精确解。圆形镜共焦腔的单程衍射损耗比方形镜共焦腔大。（3）单程衍射损耗28（4）单程附加相移及谐振频率方形镜共焦腔圆形镜共焦腔29（5）共焦腔内的行波场分布方形镜共焦腔圆形镜共焦腔30§3.3高斯光束的传输特性313.3.1高斯光束的振幅和强度分布1.基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布分别为：2.当场振幅为轴上()的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时，所对应的横向距离即z处截面内基模的有效截面半径为；324.3.在共焦腔中心(z＝0)的截面内的光斑有极小值，称为高斯光束的束腰半径

33图(3-8)基模光斑半径随z按双曲线规律的变化5.基模光斑半径随z按双曲线规律变化343.3.2高斯光束的相位分布1.随坐标而变化，与腔的轴线相交于点的等相位的面的方程:35忽略由于z变化引起的的微小变化，用代替，则在腔轴附近有令，则有：表明等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面36当z0＞0时，z-z0＜0；而当z0＜0时,z-z0＞02.由式子

可知：当当图(3-9)共焦腔中等位相面的分布共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面371.远场发散角(全角):-----双曲线的两根渐近线之间的夹角3.3.3高斯光束的远场发散角382.由波动光学知道，在单色平行光照明下，一个半径为r的圆孔夫琅和费衍射角(主极大至第一极小值之间的夹角)。与上式相比较可知．高斯光束半角远场发散角在数值上等于以腰斑为半径的光束的衍射角3.共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度量级，它的方向性相当好。4.由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。39亮度B:单位面积的发光面在其法线方向上单位立体角范围内输出的辐射功率。2.一般的激光器是向着数量级约为10－6sr的立体角范围内输出激光光束的。而普通光源发光(如电灯光)是朝向空间各个可能的方向的，它的发光立体角为4πsr。相比之下，普通光源的发光立体角是激光的约百万倍。3.3.4高斯光束的高亮度403.高斯光束的主要特征参量：

束腰半径：波阵面曲率半径：光束有效截面半径：镜面光束半径：远场发散角：41掌握基横模高斯光束的传播特性本节重点：作业：

1，5，6，7

§3.4稳定球面腔的光束传播特性433.4.1稳定球面腔的等价共焦腔1.任意一个满足稳定性条件的球面腔只可唯一地与一个共焦腔等价。

2.假设双凹腔两镜面M1与M2的曲率半径分别为R1和R2，腔长为L，而所要求的等价共焦腔的共焦参数为f。以等价共焦腔中点为z坐标的原点。M1、M2两镜的z坐标为z1和z2。如图(3-10)所示。则有：图(3-10)球面腔的等价共焦腔443.如果R1、R2、L满足，不难证明z1＜0、z2＞0、f＞0，这说明给定稳定球面腔可唯一确定一个等价共焦腔。（3－48a）（3－48b）（3－48c）453.4.2稳定球面腔的光束传播特性1.等效共焦腔的束腰半径和原球面腔镜面的基横模光束有效截面半径(1)等效共焦腔的束腰半径（3－49）46(2)原球面腔镜面的基横模光束有效截面半径（3－50）472.谐振频率(1)方形镜一般稳定球面腔的两个反射镜面顶点处的位相因子分别为：48(3)圆形镜一般稳定腔的谐振频率(2)按谐振条件，单程总相移必须满足，则有：（3－53）（3－54）49腔稳定球面腔基横模高斯光束的传播特性本节重点：作业：

9，10

掌握（3－48）（3－49）（3－50）§3.5激光器的输出功率513.5.1均匀增宽型介质激光器的输出功率(1)腔内最小的光强I+(0)(2)腔内最大光强

I-(2L)=r2I+(0)exp2L(G-a内)(3)输出光强：Iout=t1I-(2L)=t1r2I+(0)exp2L(G-a内)(4)镜面损耗：Ih=a1I-(2L)=a1r2I+(0)exp2L(G-a内)

图(3-11)谐振腔内光强1.稳定出光时激光器内诸参数的表达式

I+(L)=I+(0)exp[L(G-a内)]I-(L)=r2I+(0)exp[L(G-a内)]I-(2L)=r2I+(0)exp[2L(G-a内)]52剩余部分：I+(0)=r1I-(2L)=r1r2I+(0)exp2L(G-a内)图(3-11)谐振腔内光强(5)最大最小光强、输出光强和镜面损耗之间关系由能量守恒定律可得：I-(2L)-I+(0)=Iout+Ih=(a1+t1)I-(2L)(6)平均行波光强对于腔内任何一处z都有两束传播方向相反的行波I+(z)和I-(2L-z)引起粒子数反转分布值发生饱和，增益系数也发生饱和，近似用平均光强2I代替腔内光强I+(z)+I-(2L-z)，用作为腔内的平均增益系数，则腔内的平均行波光强为：532.激光器的输出功率理想的情况，将全反射镜M2上的镜面损耗都折合到M1上，对M2有：对M1有：激光器的总损耗为：如果很小，将用级数展开取一级近似，可得：54则激光器内行波的平均光强I可以化为：激光器输出光强也可以表示为：若激光器的平均截面为A，则其输出功率为：553.输出功率与诸参量之间的关系

(1)P与Is的关系:两者成正比(2)P与A的关系:A越大，P越大；而高阶横模的光束截面要比基横的大(3)P与t1的关系:实际中总是希望输出功率大镜面损耗小，即希望这要求t1大，a1小，使t1>>a1，但

t1过大又使增益系数的阈值G阈升高，而如果介质的双程增益系数2LG0不够大将会导致腔内光强减小，使输出功率降低。严重时使腔内不能形成激光。t1过小，虽然使G阈降低光强增强，但镜面损耗a1I-(2L)也将增大。56解此方程得：为了使激光器有最大的输出功率，必须使部分反射镜的透射率取最佳值：此时，激光器得输出功率为：573.5.2非均匀增宽型介质激光器的输出功率1.稳定出光时激光器内诸参数的表达式

(1)腔内最大光强:(2)输出光强:(3)镜面损耗:(4)最小光强：图3-12非均匀增宽激光器腔内的光强58光波的频率不在非均匀增宽介质的中心频率处，光波在腔内传播时将有两部分粒子——和粒子对它的放大作出贡献。(5)非均匀增宽型介质的增益系数随频率而变和两束光在增益系数的曲线上的两侧对称的“烧”了两个孔。59图3-13非均匀增宽激光器的“烧孔效应”腔内不同地点的光强不同，取I作为平均光强，当增益不太大时I=I+=I-，则介质对光波的平均增益系数为：这就是非均匀增宽型介质对非中心频率光波的增益系数的表达式60若用平均光强2I来代替，则光波在腔中的平均增益系数可表示为：光波的频率为线型函数的中心频率，它只能使介质中速度为的这部分粒子数密度反转分布值饱和。此时腔内的光强为I++I-，故介质对的增益系数为：若腔内各频率的光强都等于Is，则以及附近的光波所获得的增益系数分别为：若增益系数的阈值都相等，则和附近频率为光波的平均光强分别为下值，且前者比后者要弱：612.激光器的输出功率若腔内只允许一个谐振频率，且，激光器在理想的情况下，仍有：此时腔内的平均光强为：激光器的输出光强为：若光束的截面为A，则激光器的输出功率为：(1)单频激光器的输出功率62激光器输出光强为：若腔内单纵模的频率为，激光器腔内平均光强为：若光束的截面为A，激光器的输出功率为：63如果我们使单纵模输出的激光器的谐振频率由小到大变化，逐渐接近时，输出功率也逐渐变大，但当频率变到此范围时，该光波在增益系数的曲线上对称“烧”的两个孔发生了重叠，直到增益曲线上的两个孔完全重叠，输出功率下降至一个最小值。图(3-14)曲线与“兰姆凹陷”图(3-15)“兰姆凹陷”与管中气压的关系64若腔内允许多个谐振频率，且相邻两个纵模的频率间隔大于烧孔的宽度以及各频率的烧孔都是彼此独立的，则平均光强为：(2)多频激光器的输出功率输出功率为：多频激光器的输出功率为：65若腔内多纵模的频率对称的分布在的两侧，也即有一个纵模频率，必有另一个纵模频率，则在理想情况下纵模的增益系数为：纵模在腔内的平均光强为：纵模的输出功率为：该多模激光器的输出功率为：66

两种增宽型介质的激光器的输出功率本节重点：掌握最佳透射率的推导§3.6激光器的极限宽度681.造成线宽的原因(1)自然宽度:能级的有限寿命造成的(2)碰撞宽度(或压力宽度):发光粒子之间的碰撞造成的(3)多普勒宽度:发光粒子的热运动造成的实际的谱线线型是以上三者共同作用的结果，我们把这样的谱线叫做发光物质的荧光谱线，其线宽叫做荧光线宽。692.激光器的线宽对一个激光器