受弯杆件的简化

本章要点(1)受弯杆件的简化(2)剪力方程和弯矩方程剪力弯矩图(3)载荷集度剪力和弯矩之间的关系重要概念

平面弯曲、剪力、弯矩、剪力图、弯矩图2、定义：

当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力，或过轴线平面的外力偶时，原先为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为弯曲。3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁受力特征横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内变形特征杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。FqFAFB纵向对称面4、平面弯曲（对称弯曲）

一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵向对称面。当作用于杆件的外力都在这个纵向对称平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲变形，简称为平面弯曲。目录§5-1-2受弯杆件的简化一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。

、支座的几种形式1、固定端：

这种支座使梁截面既不能移动，也不能转动，它对梁的端截面有三个约束，相应地，梁的端截面受有三个支反力作用。例如：打入地下的木桩，游泳池的跳水板支座等都可简化成固定端支座。

简图约束反力跳台跳板FAyFAx2、固定铰支座：这种支座使得梁截面不能沿水平方向和沿垂直方向移动，但不能限制它绕铰的中心转动。因此，固定铰支座对梁有两向约束，相应地，梁受到两个支反力作用。3、可动铰支座：该支座的简化形式如图所示，它只能限制梁截面沿垂直于支座面的方向移动，因此，这种支座对梁仅有一个约束，相应地，该截面处就只受一个支反力作用约束反力简图固定铰活动铰FR二、载荷的简化一般情况下，载荷简化后的结果不外乎两种：一种是集中力，另一种是分布力，如图所示：F1F2q(x)分布力一般分为均布和非均布两种（这些我们在绪论部分详细介绍过，在此就不再详细分析了）

注：这里所讲的集中力和分布力，包括集中力偶和分布力偶，它是一个广义的概念。

均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载分布荷载Me集中力偶集中力作用在梁上的载荷形式三、静定梁的基本形式：

相应于不同的支座形式，静定梁可分为三种形式：简支梁，外伸梁，悬臂梁。

简支梁外伸梁悬臂梁目录§5-2剪力和弯矩、概念：

下面我们通过一个例题来说明剪力和弯矩的概念。如图所示，一个简支梁，其上分别作用着两个集中力F1=F，F2=2F的作用，现在要我们求梁某一截面上的内力。F1=FF2=2FABxDmmxCRARBa解：(一)、求支反力RA

，RB由：

(二)、求截面m-m上的内力由上图可知：要保持左半部分的平衡，在截面m-m上必须有一个方向向下的力Ｑ.同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ由

——（a）

xFRBQMF1=FF2=2FABxDmmxCRARBa由

——（b）

FxQ——因与截面相切，故称之为剪力，是与横截面相切的分布内力系的合力。Ｍ——由于它能使梁发生弯曲，故称它为弯矩，是与横截面垂直的分布内力系的合力。讨论：Ｑ在数值上，等于截面以左所有外力在梁轴垂线（Ｙ轴）上投影的代数和Ｍ在数值上，等于截面以左所有外力对截面形心的力矩的代数和。二、Ｑ、Ｍ的符号规定：剪力

弯矩符号的规定：在所截截面内侧取一微段：剪力符号：凡是使该微段有顺时针转动趋势的为正；反之为负。弯矩符号：凡是使该微段有下凸变形趋势的为正；反之为负。dx(Q为正)dx(Q为负)(M为正)dxdx(M为负)ABCD求：1—1，2—2截面内力解：首先求出支反力已知：双臂外伸梁受力情况如图所示RBRC例题3：M=PaP1122ABCDM=PaP例题1：11221.3aaaac3ABCD例题2：已知：简支梁受力情况如图求：B、C两截面处内力（剪力、弯矩）解：求支反力ABCDABCD求梁的指定截面内力注方法易意义大要求熟准快§5-3剪力方程和弯矩方程剪力图弯矩图一、概念：

从前几节的分析中，我们可看出：在一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以横坐标Ｘ表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为Ｘ的函数，即：

二、剪力图和弯矩图的绘制传统的方法一般都是根据剪力、弯矩方程来绘制剪力和弯矩图，下面我们通过具体例题来分析剪力和弯矩图的具体绘制方法。

——剪力方程

——弯矩方程

例1解：1、求支反力RA

、RB得：

由

2、建立梁的剪力和弯矩方程：FabRARB3、根据剪力方程作剪力图

AC段：

（0<x<a）

（0<x<a）

(a)(b)Fab/LFb/LFa/L4、根据弯矩方程作弯矩图CB段：

（a<x<L）

（a<x<L）

(c)(d)L-xFabRARBACB

例2：

qLRARB解：求支反力由于结构和载荷都对称于跨度中点，故可直接得出：建立坐标系如图所示，求剪力、弯矩方程（用截面法）（0<x<l）

（0<x<l）

(a)(b)根据剪力方程作剪力图qL/2qL/2qL2/8+-Q图M图根据弯矩方程作弯矩图：－qx－qxqlqqlqxqLRARB例3：绘制：AB梁的剪力图弯矩图解：求支反力ABC解：求支反力绘制：AB梁的图例4：1.5446§5-4载荷集度、

剪力和弯矩之间的关系前述例题中若将

的表达式对x取导数，就得到剪力

若将

对x取导数，就可得到载荷的集度q。这里

的表达式、

和

之间的这种导数关系并不只是上面例题中的特殊情况，而是一个普遍的规律，下面我们就一般情况来推导这种关系。一、

如图所示为一在载荷作用下的梁

yxMF1q(x)ABxdxdxCM(x)Q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)q(x)1.假设：规定q(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为其上q(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。2.微分关系推导：

如图所示，从梁中取出一微段进行研究，一般情况下，我们都可以假设截面的内力为正值，由于dx很小，故可近似的认为dx上的

yxMF1q(x)ABxdxdxCM(x)Q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)q(x)二、微分关系的几何意义（常数）即：剪力图为一平行于x轴的直线。

即：剪力图为一斜直线。

剪力图上某点处的切线斜率等于相应点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于相应点处剪力的大小。

当C>0时，抛物线

开口向上，下凸图线，反之则相反。抛物线即：某一截面处弯矩图的斜率为零，在这一截面上弯矩为一极值。

不但可能发生在

的截面上，也有可能发生在集中力作用处，或集中力偶作用处，所以求时，应考虑上述几种可能性。

在集中力作用处，剪力Q有一突然变化，即弯矩图的斜率有一突然变化，弯矩图上出现一转折点。

Q⑥集中力偶M作用处：剪力Q不变，弯矩有突变，突变值为M。例5.51.求支反力；2.利用微分关系绘制Q图；3.根据Q图，利用微分关系绘制M图三、利用微分关系作剪力弯矩图作图示梁的内力图例1kNkNmAB绘制：AB梁的图例2：解：求支反力例3

外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q—M图。解：

1、求支反力2、判断各段Q、M图形状：CA和DB段：q=0，Q图为水平线，

M图为斜直线。AD段：Q图为斜直线，

M图为上凸抛物线。DABCRARB目录4.2/3.8＝x/(4-x)M3.1=-3*3.1+7.2*2.1-2*2.1*2.1/2=1.4133.8Q+__(kN)4.2Ex=2.1m1.41M(kN·m)3.832.2（-）（+）4.51.55.5kNkNm例题4RA=4.5RB=5.5ABCDADBCFBFB’FAMAFD例题5kNkNm例6BACD例题7：例7：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。解：首先求得(逆时针)1m0.5m1m3m1mBACDKEq=