数字逻辑第一章

另一状态一种状态一、逻辑代数（布尔代数、开关代数）逻辑：事物因果关系的规律逻辑函数:

逻辑自变量和逻辑结果的关系逻辑变量取值：0、1

分别代表两种对立的状态高电平低电平真假是非有无……1001概述二、二进制数表示法1.十进制（Decimal）--逢十进一基数：10位权：2.二进制（Binary）--逢二进一基数：2位权：3.八进制（Octal）--逢八进一基数：8位权：4.十六进制(Hexadecimal)--逢十六进一基数：16：0~9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)位权：任意(N)进制数展开式的普遍形式：—第i位的系数—第i位的权5.几种常用进制数之间的转换(1)二-十转换：将二进制数按位权展开后相加(2)十-二转换：整数的转换--除2余法26213余数2062132021101除基数得余数作系数从低位到高位0.812521.625021.250020.5000取整1100.62500.2500乘基数取整数作系数从高位到低位小数的转换--乘2取整法

若小数在连乘多次后不为0，一般按照精确度要求(如小数点后保留n

位)得到n个对应位的系数即可。21.00001(3)二-八转换:57(4)八-二转换:每位8进制数转换为相应3

位二进制数011001.100111每3位二进制数相当一位8进制数011111101.1101000002341.062（5）二-十六转换：每4

位二进制数相当一位16进制数A1（6）十六-二转换：每位16进制数换为相应的4位二进制数编码：用二进制数表示文字、符号等信息的过程。二进制代码：编码后的二进制数。用二进制代码表示十个数字符号0~9，又称为BCD码（BinaryCoded

Decimal）几种常见的BCD代码：8421码余

3码2421码5211码余

3循环码其他代码：ISO码，ASCII（美国信息交换标准代码）三、二进制代码二-十进制代码：0十进制数1234567898421码余3码2421(A)码5211码余3循环码00000001001000110100010101100111100010010011010001010110100010011010101111000000000100100011010010111100110111101111011100000001010001000101010101111000100111001101110111111111001001100111110011101010几种常见的BCD代码1.1.1基本和常用逻辑运算一、三种基本逻辑运算1.与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。功能表1.1基本概念、公式和定理灭灭灭亮断断断合合断合合与逻辑关系开关A开关B灯Y电源ABY真值表（Truthtable）逻辑函数式

与门（ANDgate)逻辑符号与逻辑的表示方法：ABY&000100011011功能表灭灭灭亮断断断合合断合合ABYABY2.或逻辑：

决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。或门（ORgate)或逻辑关系开关A开关B灯Y电源真值表逻辑函数式逻辑符号011100011011ABYABY≥13.非逻辑：

只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。真值表逻辑函数式逻辑符号非门（NOTgate)非逻辑关系1001AY1开关A灯Y电源RAY二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算1.逻辑变量与逻辑函数在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是1

就是0

。逻辑函数：如果输入逻辑变量A、B、C∙∙∙的取值确定之后，输出逻辑变量Y的值也被唯一确定，则称Y

是A、B、C∙∙∙的逻辑函数。并记作原变量和反变量：字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。逻辑变量：(1)与非逻辑

(NAND)(2)或非逻辑

(NOR)(3)与或非逻辑

(AND–OR–INVERT)(真值表略)111000011011AB&10002.几种常用复合逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2的真值表AB≥1AB&CD≥1(4)异或逻辑(Exclusive—OR)(5)同或逻辑(Exclusive—NOR)(异或非)AB=1011000011011AB=1=A⊙BABY4100100011011ABY53.逻辑符号对照曾用符号美国符号ABYABYABYAAY国标符号AB&A1ABYAB≥1国标符号曾用符号美国符号AB&ABYABYABYAB=1ABABYABYAB≥1或：0+0=01+0=11+1=1

与：0·0=00·1=01·1=1

非：二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)或：A+0=AA+1=1与:A·0=0A·1=A

非：1.1.2公式和定理一、常量之间的关系(常量：0和1)三、与普通代数相似的定理交换律结合律分配律[例1.1.1]

证明公式[解]方法一：公式法

证明公式方法二：真值表法

(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中)

ABC0000010100111001011101110001000100011111000111110011111101011111相等四、逻辑代数的一些特殊定理同一律A+A=AA·A=A还原律[例1.1.2]

证明：德摩根定理AB0001101100011110110010101110011110001000相等相等德摩根定理

将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”

“0”换成“1”,“1”换成“0”

原变量换成反变量，反变量换成原变量五、关于等式的三个规则1.代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例如，已知(用函数

A+C代替

A)则2.反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：括号乘加（保持原运算顺序不变）注意:例如：已知反演规则的应用：求逻辑函数的反函数则

将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”

“0”换成“1”,“1”换成“0”

原变量换成反变量，反变量换成原变量已知则运算顺序：括号与或不属于单个变量上的反号应保留不变3.对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。将Y中“.”换成“+”,“+”换成“.”

“0”换成“1”,“1”换成“0”

例如对偶规则的应用：证明等式成立0·0=01+1=1运算顺序：括号与或六、若干常用公式推广公式(4)证明：推论公式(5)证明：即=A⊙B同理可证A⊙B七、关于异或运算的一些公式异或同或A⊙B(1)交换律(2)结合律(3)分配律(4)常量和变量的异或运算(5)因果互换律如果则有=A⊙BA⊙B一、标准与或表达式1.2逻辑函数的化简方法1.2.1逻辑函数的标准与或式和最简式标准与或式标准与或式就是最小项之和的形式最小项1.最小项的概念：

包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。(

2变量共有

4个最小项)(

4变量共有

16个最小项)(

n变量共有

2n

个最小项)……(

3变量共有

8个最小项)对应规律：1

原变量

0

反变量2.最小项的性质：0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABC(1)任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为

1

；ABC

001ABC

101(2)任意两个最小项的乘积为

0

；(3)全体最小项之和为

1

。3.最小项的编号：

把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi表示。对应规律：原变量1

反变量000000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m74.最小项是组成逻辑函数的基本单元

任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。[例]

写出下列函数的标准与或式：[解]或m6m7m1m3[例]

写出下列函数的标准与或式：m7m6m5m4m1m0m8m0与前面m0相重1.2.2逻辑函数的公式化简法一、并项法:[例]（书p20）[例]（与或式最简与或式）公式定理二、吸收法：[例]（书p20）[例][例]三、消去法：[例][例]四、配项消项法：或[例]冗余项冗余项综合练习：1.2.3逻辑函数的图形化简法一、逻辑变量的卡诺图(Karnaughmaps)卡诺图：1.二变量的卡诺图最小项方格图(按循环码排列)(四个最小项)ABAB0101AB01012.多变量卡诺图的画法三变量的卡诺图：八个最小项ABC01000110111110卡诺图的实质：逻辑相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着行或列的两头对折起来位置重合逻辑相邻：两个最小项只有一个变量不同逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：m0m1m2m3m4m5m6m7五变量的卡诺图：四变量的卡诺图：十六个最小项ABCD0001111000011110当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。ABCDE00011110000001011010110111101100以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项3.卡诺图的特点：用几何相邻表示逻辑相邻(1)几何相邻：相接—

紧挨着相对—

行或列的两头相重—

对折起来位置重合(2)逻辑相邻：例如两个最小项只有一个变量不同化简方法：卡诺图的缺点：函数的变量个数不宜超过6个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。4.卡诺图中最小项合并规律：(1)两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC01000111100432ABCD00011110000111101946(2)四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD02810(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315B02810151394612142n个相邻最小项合并可以消去n个因子总结：二、逻辑函数的卡诺图表示法1.根据变量个数画出相应的卡诺图；2.将函数化为最小项之和的形式；3.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其余位置填0或不填。[例]ABC010001111011110000三、用卡诺图化简逻辑函数化简步骤:(1)画函数的卡诺图(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式[例1.2.20]ABCD000111100001111011111111[解]ABCD000111100001111011111111画包围圈的原则：(1)先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。(2)圈越大越好，但圈的个数越少越好。(3)最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。(4)必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。不正确的画圈[例][解](1)画函数的卡诺图ABCD000111100001111011111111(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式多余的圈注意：先圈孤立项利用图形法化简函数利用图形法化简函数[例][解](1)画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111111111(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式[例]用图形法求反函数的最简与或表达式[解](1)画函数的卡诺图ABC010001111011110000(2)合并函数值为0

的最小项(3)写出Y的反函数的最简与或表达式1.2.4具有约束的逻辑函数的化简一、约束的概念和约束条件(1)约束：输入变量取值所受的限制例如，逻辑变量A、B、C，分别表示电梯的

升、降、停命令。A=1

表示升，B=1

表示降，C=1

表示停。ABC的可能取值(2)约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值0010101000000111011101111.约束、约束项、约束条件(3)约束条件：(2)在逻辑表达式中，用等于0的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构成的值为0的逻辑表达式。约束项：约束条件：或2.约束条件的表示方法(1)在真值表和卡诺图上用叉号(╳)表示。例如，上例中

ABC的不可能取值为二、具有约束的逻辑函数的化简[例]化简逻辑函数化简步骤:(1)画函数的卡诺图，顺序为：ABCD0001111000011110先填1

0111000000(2)合并最小项，画圈时╳

既可以当

1

，又可以当

0(3)写出最简与或表达式[解]╳[例]

化简逻辑函数约束条件[解](1)画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111(2)合并最小项(3)写出最简与或表达式合并时，究竟把╳

作为

1

还是作为

0

应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。注意：1.3逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换1.3.1几种表示函数的方法一、逻辑表达式优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。二、真值表ABCY00000101001110010111011100010111优点：直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。三、卡诺图ABC010001111011110000优点：便于求出逻辑函数的最简与或表达式。缺点：只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。四、逻辑图ABYC&&优点：最接近实际电路。缺点：不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。&≥1五、波形图输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形ABY优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。1.3.2几种表示方法之间的转换一、真值表函数式逻辑图[例]

设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A)和两名副裁判(B、C)中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。(1)真值表函数式

将真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得Y的逻辑函数式。ABCY00000101001110010111011100000111函数式卡诺图化简ABC010001111011010000(2)函数式逻辑图ABY&C&≥1真值表二、逻辑图0110ABY00011011BA&&&&第一章小结一、数制和码制1.数制：计数方法或计数体制（由基数和位权组成）种类基数位权应用备注十进制0910i日常二进制0，12i数字电路2=21八进制078i计算机程序8=23十六进制09，AF16i计算机程序16=24

各种数制之间的相互转换，特别是十进制→二进制的转换，要求熟练掌握。2.码制：常用的B