工程经济学第03章现金流量与资金时间价值有练习

第03章现金流量与资金时间价值学习要点现金流量、资金时间价值概念单利、复利如何计息将来值、现值、年值的概念及计算名义利率和有效利率的关系、年有效利率计算资金等值的概念、特点、决定因素各种条件下资金等值的计算3.1现金流量的概念与估计3.1.1现金流量的概念生产建设项目一般经历投资期、投产期、达产期、稳产期、回收处理期等阶段。我们把整个过程称为投资周期，也称为项目寿命期。在投资决策的前期，我们总要事先估计一个投资周期，叫计算期或研究期。计算期的长短取决于项目的性质，或根据产品的寿命周期，或根据主要生产设备的经济寿命，或根据合资合作年限，一般取上述考虑中较短者，最长不超过20年。我们把项目整个计算期中各个时间点上实际发生的现金流出或现金流入称为现金流量。为了分析的方便，我们人为地将整个计算期分为若干期，通常以一年或一月为一期，并假定现金的流入流出是在年末或月末发生的。现金流量的具体概念

现金流入量：指在整个计算期内所发生的实际的现金流入。现金流入(CashInput)，用符号（CI）t表示；现金流出量：指在整个计算期内所发生的实际现金支出。现金流出(CashOutput)，用符号（CO）t表示；净现金流量：指现金流入量和现金流出量之差。流入量大于流出量时，其值为正，反之为负。净现金流量，用符号（CI－CO）t表示。3.1.2现金流量的表示方法

1.现金流量表现金流量表是用表格的形式描述不同时点上发生的各种现金流量的大小和方向。现金流量表由现金流入、现金流出和净现金流量构成。某项目的全部投资现金流量表

表3－1某项目的全部投资现金流量表单位：万元2.现金流量图

现金流量图是一种反映项目资金运动状态的图式，即把项目的现金流量绘入一时间坐标图中，表示出各现金流入、流出与相应时间的对应关系。现金流量图的作图方法和规则

在现金流量图中：水平线表示时间坐标,时间的推移从左到右，轴上每一刻度表示一个时间单位

，可取年、半年、季或月等，通常时间单位为年。第一年第二年第三年第四年

01234

第一年初规定为“0”本期末与下期初重合。比如“2”表示第二年年末,第三年年初。2.垂直箭线表示现金流量多少,箭头向上表示现金流入,箭头向下表示现金流出。

现金流量的三要素

例:某厂1998年初借5000万元，1999年末又借3000万元，此两笔借款从2001年开始连续3年每年末以等金额方式偿还,问每年末应偿还多少？试绘出其现金流量图（设年利率为10%）。

现金流量图：

50003000

9798992000010203

XXX现金流量的三要素:现金流量的大小（现金数额）流向（现金流入或流出）作用点（现金发生的时间点）3.1.3正确估计现金流量与投资方案相关的现金流量是增量现金流量，即接受或拒绝某个投资方案后总现金流量的增减变动现金流量不是会计账面数字，而是当期实际发生的现金流。净现金流量是按照“收付实现制”原则确定的排除沉没成本，计入机会成本“有无对比”而不是“前后对比”“有无对比”和“前后对比”区别

“前后对比”是指将项目实施之前与项目完成之后的情况加以对比，以确定项目费用和效益的一种方法。“有无对比”是指将项目实际发生的情况与若无项目可能发生的情况进行对比，以度量项目的真实效益、影响和作用。对比的重点是要分清项目作用的影响与项目以外作用的影响。

如某水电站扩建后，发电量可增加20％，若无该项目，通过加强管理、改进技术、设备挖潜等，发电量也可增加2％，根据“有无对比法”，这一项目发电量将提高18％(20％－2％)，而不是20％。当兴建一个项目仅是为了改善现状，不建该项目现状不会改变时，“有无对比法”与“前后对比法”相同，但对改、扩建及更新改造项目来说“有无”比较与“前后”比较，可能会有很大区别，“前后对比法”可说是“有无对比法”的一种特殊情况。3.2资金的时间价值3.2.1资金的时间价值概念资金的价值是由两方面共同决定的——它的数量和收到它所需的时间。资金的时间价值，可以从两个方面理解：

资金随着时间的推移，其价值会增加，这种现象叫做资金增值。增值的原因是由于资金的投资和再投资。从投资者的角度来看，资金的增值特性使资金具有时间价值。资金一旦用于投资，就不能用于现期消费。从消费者的角度来看，资金的时间价值体现为对放弃现期消费的损失所应做的必要补偿。影响利息大小的主要因素有：社会平均利润率：利率的高低首先取决于社会平均利润率的高低，并随之变动；借贷资本的供求：在平均利润率不变的情况下，利率高低取决于金融市场上借贷资本的供求情况；风险：借出资本要承担一定的风险，风险越大，利率也就越高；通货膨胀：通货膨胀对利息的波动有直接影响；即对因货币贬值造成的损失所应做的补偿。借出资本的期限长短：贷款期限长，不可预见因素多，风险大，利率也就高；反之利率就低。资金的时间价值是指经过一定时间的增值，在没有风险和通货膨胀条件下的社会平均资金利润率。

P57资金时间价值的意义：它明确了资金存在的时间价值，树立起使用资金是有偿的观念，有助于资源的合理配置。每个企业在投资时至少要能取得社会平均利润率，否则不如投资于其他项目。3.2.2利息的计算工程经济中借用利息概念来代表资金时间价值，指投资的增值部分。

利息的计算公式：

I＝f（P，N，i）（3－1）式中：I为总利息P为本金N为计息期数，即有多少个计息周期

i为利率1.利息计算的种类（1）单利如果最初本金为P，则在N计息期末总利息：

I＝P·N·i

（3－2）

N个计息期末的本利和：

F＝P＋I＝P＋P·N·i＝P·（1＋N·i）

【例】我国国库券利息是以单利计算的。设国库券面额为100元，3年期，年利率3％，求到期的利息和本利和。解：3年后的利息为：

I＝100×3×3％＝9（元）

3年后到期本利和为：

F＝100×（1＋3×3％）＝109（元）（2）复利

若一笔借款P，年利率为i，按复利计息，各期计算的利息及N期末的本利和如表所示。

根据上表可得到以下公式：

F＝P·（1＋i）nI＝P·（1＋i）n－P

（3－3）若本金为1000元，计息期利率为5％，则采用单利和复利的本利和比较如表所示。

【例】某人为购房向银行贷款300000元，3％的年利率，10年后还清本利。问按单利和复利计息法，他到期应支付本利分别为多少？解：若按单利法计息，到期应还本利和为：

F＝300000×（1＋10×3％）＝390000（元）若按复利法计息，到期应还本利和为：

F＝300000×（1＋3％）10＝403174.92（元）按复利法计息比单利法计息需多支付13174.92元。

同一笔借款，在利率相同的情况下，用复利计算出的利息金额数比用单利计算出的利息金额数大，当所借本金越大、利率越高、年数越多时，两者差距就越大。

2.名义利率和有效利率

通常所说的年利率是名义利率。有效利率：是指资金在计息期所发生的实际利率。年名义利率：一个计息期的有效利率i与一年内的计息次数的乘积。例如：月利率i＝1％，一年计息12次，1％为月有效利率，1％×12＝12％为年名义利率。

名义利率之间不能直接进行比较，必须转化为以共同计息期间为基准的利率水平，然后再进行比较。通常以1年为比较基准年限，即比较年有效利率。（1）年有效利率如果名义利率为r，一年中计息N次，则每次计算利息的利率为r／N，根据复利公式，年末本利和为：其中利息为：年有效利率ie为：【例】某工程项目因投资需要连续3年年末向银行借入5000万元，年利率8％，按季计息，求终值。解法1根据题意，r＝8％，则计息期利率为：8％／4＝2％F＝5000×（1＋2％）8＋5000×（1＋2％）4＋5000＝16272.16（万元）

解法2

根据题意有：

ie＝（1＋8％/4）4－1＝8.243％

F＝5000×（1＋8.243％）2＋5000×（1＋8.243％）＋5000＝16270.42（万元）（2）离散复利与连续复利

离散复利或称为间断复利：一年中计息次数是有限的。例如，按季度、月、日等计息的方法都是离散复利。连续复利：一年中计息次数是无限的。在连续复利下，年有效利率为：由于

而因而就整个社会而言，应采用连续复利。但实践中，利息多按离散复利计息。3.3资金等值计算

3.3.1资金等值的概念

资金等值：将不同时点的几笔资金金额按同一收益率标准，换算到同一时点，如果其数值相等，则称这几笔资金等值。决定资金等值的因素是：①资金数额③资金运动发生的时间③利率3.3.2资金等值的计算公式

利用等值的概念，可以把在一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等值金额，这一过程叫做资金等值计算，一般是计算一系列现金流量的现值、将来值和等额年值。现值计算：把将来某一时点的资金金额或一系列的资金金额换算成较早时间的等值金额，称为“折现”或“贴现”。将来时点上的资金折现后的资金金额称为“现值”。将来值计算：将任何时间发生的资金金额换算成其后某一时点的等值金额，将来某时点的资金金额称为“将来值”。等额年值计算：将任何时间发生的资金金额转换成与其等值的每期期末相等的金额。将采用的符号约定如下：i为利率；N为计息期数；P为现值；F为将来值；A为等额年值。1.一次支付复利公式（已知P，求F）

如果有一笔资金P按年利率i进行投资，N年后本利和应为多少？

N年末的将来值计算公式为：

F＝P·（1＋i）N

(3-7)式中，（1＋i）N称为一次支付复利（终值）系数，记为（F／P，i，N），这样式（3.7）可以写成：

F＝P·（F／P，i，N）

该式也可理解为：t点处的一笔资金P，在价值尺度为i的情况下，在t＋N点处的等值资金F的大小为P·（1＋i）n。

【例3－4】某企业投资1000万元，年利率为10％，4年后可得本利共多少？解：在上述问题中P＝1000，i＝10％，N＝4，通过复利公式求解

F＝1000×（1＋10％）4＝1464.1（万元）也可利用书后附录中的附表1解出，查阅利率为10％，期数为4的系数值，得（F／P，I，N）＝1.464，有：

F＝1000×（F／P，10，4）＝1000×l.464＝1464.1（万元）

【练习】某企业拟在5年后进行设备更新，现向银行存入100万元，若年复利率为5％，问到时本利和为多少？

解：因F＝P（1＋i）N＝100×（1＋5％）5，

查一次整付终值系数表，得（1＋5％）5＝1.276，则：F＝100×1.276＝127.6（万元）。即5年期满后该企业可获本利和127.6万元。

2.一次支付现值公式（已知F，求P）

以利率i进行投资，N年后收益达到F，需投资多少？

将式（3－7）变换成由将来值求现值的公式，得到一次支付现值公式：

称为一次支付现值系数，记为（P／F，i，N），这样上式可表示为：

P＝F·（P／F，i，N）

【例3－5】某企业对投资收益率为10％的项目进行投资，欲4年后得到1464.l万元，现在应投资多少？解：或查书后附录中的附表2求得

P＝1464.1×（P／F，10％，4）

＝1464.1×0.6830＝1000（万元）

【练习】某企业拟在5年后投资一项目，到时需要1000万元，若银行年复利率为5％，问现在需一次性存入本金多少？解：因P＝F（1＋i）－N＝1000×（1＋5％）－5，

查一次整付现值系数表，得（1＋5％）－5＝0.7835，则P＝1000×0.7835＝783.5（万元）即现在需先存入783.5万元，到时得到的本利和1000万元才能投资。3.等额支付系列终值公式（已知A，求F）

等额支付系列现金流量图

F＝A＋A·（1＋i）＋…＋A·（1＋i）N-2＋A·（l＋i）N-1等式两边同时乘以（1＋i），可得:

F·（l＋i）＝A·(1＋i)＋A·（l＋i）2＋…

＋A·（l＋i）N-1＋A·（l＋i）N

两式相减，得：

F·(1＋i)－F＝－A＋A·（1＋i）N

得式中，称为等额支付系列终值系数，记为（F／A，i，N），这样上式可表示为：

F＝A·（F／A，i，N）

【例3－6】某人每年将1000元存入银行，若年利率为10％，5年后有多少资金可用？解：或查书后附录中的附表3得

F＝1000×（F／A

，10％，5）＝1000×6.1051＝6105.l（元）【练习】某项目建成后用于出租，每年年末将该年租金100万元存入银行，连续存20年，年利率为8％，则20年末的本利和是多少？解：F＝100（F／A，8％，20）＝100×45.762＝4576.2（万元）即20年后该项目租金的本利和为4576.2万元。4.等额支付系列积累基金公式

等额支付系列积累基金，也称为等额支付系列偿债基金。其公式是计算将来值的等额年值。它可理解为，为了在N年末能筹集到一笔钱F，按年利率i，从现在起连续几年每年年末必须存储多少？式中，为等额支付系列积累基金系数，记为（A／F，i，N）这样上式可表示为：

A＝F·（A／F，i，N）

【例3－7】某企业5年后需一次性支付200万元的借款，存款利率为10％，从现在起企业每年等额存入银行多少钱？解：或查书后附录中的附表4求得

A＝200×（A／F，10％，5）＝200×0.1638

＝32.75（万元）5.等额支付系列现值公式

为了能在今后几年中每年年末提取相等金额A，现在必须投资多少？式中，称为等额支付系列现值系数，记为（P／A，i，N）。

【例3－8】某工程项目每年获净收益100万元，利率为10％，项目可用每年所获的净收益在6年内回收初始投资，问初始投资为多少？解：或查书后附录中的附表5求得

P＝100×（P／A，10％，6）＝100×4.3553＝435.53（万元）【练习】某公司欲购置一台设备，价格为18万元，可使用10年，期末无残值。估计该设备每年可为公司增加收益4万元。若购置设备款由银行借入，银行借款年复利率15％，问此项购置方案是否可行？解：该设备为公司带来的收益的现值为：6.等额支付系列资金恢复公式

该公式是计算现在时点发生的资金金额的期末等额年值。例如，某人以年利率i存入一项资金P，他希望在今后N年内把本利和在每年年末以等额资金A的方式取出。

式中，为等额支付系列资金恢复系数或简称资金回收系数，记为（A／P，i，N）。

【例3－9】某工程初期总投资为1000万元，利率为5％，问在10年内要将总投资连本带息收回，每年净收益应为多少？解：或查书后附录中的附表6求得

A＝1000×（A／P，5％，10）＝1000×0.1295＝129.5（万元）

【练习】某项目资金流动情况如下图所示，求现值、终值、第四期期末的等值资金以及年等额资金（i＝10％）。答案解：现值

P＝－50－50（P/A，10％，3）

＋[40+80（P/A，10％，4）]（P/F，10％，4）＝－50－50×2.487＋（40＋80×3.170）×0.683＝26.18终值

F＝－50（F/A，10％，4）（F/P，10％，6）＋40（F/P，10％，5）

＋80（F/A，10％，4）（F/P，10％，1）＝－50×4.641×1.772＋40×1.611＋80×4.641×1.10＝61.66

或：F＝P（F/P，i，9）＝P（1＋10％）9＝26.18×2.3579＝61.73第四期期末等值资金：

Q4＝40＋80×(P/A,10%,4)－50×(F/A，10%，4)(F/P，10%，1)

＝40＋80×3.170－50×4.641×1.10＝38.35

或：Q4＝P（F/P，i，4）＝P（1＋10％）4＝26.18×1.4641＝38.33

年等额资金：

A＝P（A/P，10％，9）＝26.18×0.1736＝4.54

或：A＝F（A/F，10％，9）＝61.66×0.0736＝4.54【练习】某企业向银行贷款1000万元用于工程项目建设，偿还期为5年，按年利率15％计算复利。现有三种还款方式可供选择：

（1）每年年末只偿还所欠利息，第5年年末一次还清本金；（2）在5年中每年年末等额偿还；（3）在第5年末一次还清本息。试计算各种还款方式所付出的总金额。

答案

解：（1）按第一种还款方式各年偿还利息总和为：I＝1000×15％×5＝750（万元）总偿还金额为：S1＝750＋1000＝1750（万元）（2）按第二种还款方式每年年末等额偿还金额为：

A＝P（A/P，15％，5）＝1000×0.2983＝298.3（万元）总偿还金额为：S2＝298.3×5＝1491.5（万元）

(3)按第三种还款方式

S3＝F4＝P（F/P，15％，5）＝1000×2.0114

＝2011.4（万元）

可见，还款时间越往后推，需付出的总金额数就越大。7.均匀梯度系列公式

均匀梯度系列的梯度系列现金流量图：第一年年末的支付是A1，第二年年末的支付为A1＋G，以后每年都比上一年增加一笔支付G，第N年年末的支付是A1＋（N－l）G。梯度系列相当于由下列两个系列组成：一个是以A1为期末支付额的等额分付系列，另一个是由0，G，2G，…，（N－1）G组成的等差系列。该等差系列可以分解为（N－1）组期末支付为G的等额分付，其期数分别为N－1，N－2，…，2，1（如图所示）。不考虑A1时，分解出来的等差系列的将来值FG计算如下：方括号中的表达式是等额支付系列终值系数而与FG等值的等额年值AG为：

则梯度系列的等额年值式中，叫做梯度系数，用符号（A／G，i，N）表示。可以通过计算求得，也可查书后附录中的附表7求得。在上述公式中，G可正可负。【例3－10】若某人第1年支付一笔10000元的保险金，之后9年内每年少支付1000元，若10年内采用等额支付的形式，则等额支付款为多少时等价于原保险计划？设i为8％。解：查书后附录中的附表7求得

A＝10000－1000×（A／G，8％，10）＝10000－1000×3.871＝6128.7（元）

【练习】某机器第一年的维修费用为5000元，以后9年每年递增1000元，若i为10％，问这10年维修费用的现值、终值和年值各为多少？答案

解：该问题相当于一个以A1＝5000为期末支付额的等额分付系列和以1000,2000,3000，…，9000组成的等差梯度系列组合而成。等额分付系列的现值与终值分别为：

P1＝A1(P/A，i，N)＝5000×(P/A，10％，10)

＝5000×6.1446＝30723.0（元）

F1＝A1(F/A，i，N)＝5000×(F/A，10％，10)

＝5000×15.9374＝79687.0（元）等差系列的年值、终值、现值分别为：

AG＝G（A/G，10％，10）＝1000×3.7255＝3725.5（元）

FG＝AG（F/A，10％，10）＝3725.5×15.9374＝59374.8（元）

PG＝AG（P/A，10％，10）＝3725.5×6.1446＝22891.7（元）综合两系列，得到该问题的现值、终值与年值分别为

P＝P1＋PG＝30723.0＋22891.7＝53614.7（元）

F＝F1＋FG＝79687＋59374.8＝139061.8（元）

A＝A1＋AG＝5000＋3725.5＝8725.5（元）利息公式汇总表利息公式名称所求值已知值符号系数一次支付复利公式FP(F/P,i,N)一次支付现值公式PF(P/F,i,N)等额支付系列复利公式FA(F/A,i,N)等额支付系列积累基金公式AF(A/F,i,N)等额支付系列现值公式PA(P/A,i,N)等额支付系列资金恢复公式AP(A/P,i,N)均匀梯度系列公式AG(A/G,i,N)各系数之间关系（1）倒数关系（2）乘积关系（3）特殊关系(P/F,i,N)＝1/(F/P,i,N)(P/A,i,N)＝1/(A/P,i,N)(F/A,i,N)＝1/(A/F,i,N)(F/P,i,N)·(P/A,i,N)＝(F/A,i,N)(F/A,i,N)·(A/P,i,N)＝(F/P,i,N)(A/F,i,N)·(F/P,i,N)＝(A/P,i,N)(A/F,i,N)＋i＝(A/P,i,N)8.等比系列公式等比系列现金流是指各时点的现金流量按一定速度递增或递减，形成一个等比数列。根据一次支付现值公式，在第k期期末现金流量Ak的现值为：则整个现金流量的现值为：当g＝i时，当g≠i时，即：上式称为等比系列现值公式，其中称为等比系列现值系数。

【例】某企业新购进一套半导体生产设备，预计第1年产品净收入可增加10000元，以后逐年年净收入增加率达5％，生产期为15年。若利率为10％，问此套设备的购进价格应在什么范围才具有经济合理性？答案解：该问题属于等比系列现金流。即该设备的购买价格必须小于100464.24元才有经济合理性。

【练习】某公司开发一项新技术，预计5年后研制成功，已知第1年研制费用为10万元，以后逐年降低10％，若该项目研制成功后进行技术转让，银行贷款的年利率为15％，问该技术的转让价格至少应为多少？答案即技术的转让价格至少应为56.835万元以上，才具有经济合理性。9.运用上述公式要注意的问题方案的初始投资，假设发生在寿命期初。寿命期内各项收入或支出，均假设发生在各期的期末本期的期末即是下一期的期初P是在计算期的期初发生寿命期末发生的本利和F，记在第N期期末等额支付系列A，发生在每一期的期末当问题包括P，A时，P在第一期期初，A在第一期期末当问题包括F，A时，F和A同时在最后一期期末发生均匀梯度系列中，第一个G发生在第二期期末3.4等值计算实例3.4.1计息期与支付期一致的计算【例3－13】要使目前的1000元与10年后的2000元等值，年利率应为多少？前面讨论的各种公式的计算，都是假设贴现率是给定的，但在实际生活中有时需要在已知计息期数、终值和现值的情况下求贴现率。本题就是这样的一个例子。答案解：F＝P·（F／P，i，10）

2000＝1000×（F／P，i，10）（F／P，i，10）＝2

查书后附录中的附表1，与N＝10相对应的各利息率中：当i＝7％时，（F／P，7，10）＝1.9672

当i＝8％时，（F／P，8，10）＝2.1589

说明2落在7％和8％之间。要精确计算利息率，可用直线内插法求得设x为i超过7％的百分数，则：

∴i＝7％＋0.17％＝7.17