《经济博弈论》复习题参考答案

/13《经济博弈论》复习题及参考答案一、名词解释混合战略纳什均衡如果在博弈的利益表中，无法找到任何一方都可以接受(不一定利益最大化)的方案，也就是没有哪一种组合是在给定对手策略下没有动机改变自己策略的情况。这时博弈没有纯策略均衡，需要一个“概率表”指导博弈结果。在博弈G={S1,S2……Sn；U1,U2……Un}中第i个博弈方策略空间为Si={Si1……Sik}则博弈方以概率分布Pi=(Pi……Pik)随机在k个可选策略中选的的策略称为一个混合策略纳什均衡。子博弈精炼纳什均衡对于扩展式博弈的策略组合S*=(S1*,…,Si*,…,Sn*),如果它是原博弈的纳什均衡;它在每一个子博弈上也都构成纳什均衡,则它是一个子博弈精炼纳什均衡。子博弈精练纳什均衡所要求的是参与人应该是序惯理性的。对于有限完美信息博弈，逆向归纳法是求解子博弈精炼纳什均衡的最简便的方法。完全信息动态博弈完全信息动态博弈，是指博弈中信息是完全的，即双方都掌握参与者对他参与人的战略空间和战略组合下的支付函数有完全的了解，但行动是有先后顺序的，后动者可以观察到前者的行动，了解前者行动的所有信息。不完全信息动态博弈指在动态博弈中，行动有先后次序，博弈的每一参与人知道其他参与人的有哪几种类型以及各种类型出现的概率，即知道“自然”参与人的不同类型与相应选择之间的关系，但是，参与人并不知道其他的参与人具体属于哪一种类型。由于行动有先后顺序，后行动者可以通过观察先行动者的行为，获得有关先行动者的信息，从而证实或修正自己对先行动者的行动。完全信息静态博弈完全信息静态博弈指的是信息对于博弈双方来说是完全公开的情况下，双方在博弈中所决定的决策是同时的或者不同时但在对方做决策前不为对方所知的。囚徒困境囚徒困境是博弈论的非零和博弈中具代表性的例子，反映个人最佳选择并非团体最佳选择。虽然困境本身只属模型性质，但现实中的价格竞争、环境保护等方面，也会频繁出现类似情况。7、纳什均衡假设有n个局中人参与博弈，给定其他人策略的条件下，每个局中人选择自己的最优策略(个人最优策略可能依赖于也可能不依赖于他人的战略)，从而使自己利益最大化。所有局中人策略构成一个策略组合(StrategyProfile)。纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。纳什均衡，从实质上说，是一种非合作博弈状态。8、子博弈一个扩展式表示博弈的子博弈G是由一个单结信息集x开始的与所有该决策结的后续结(包括终点结)组成的能自成一个博弈的原博弈的一部分。二、计算分析题1、在市场进入模型中，市场需求函数为p=13-Q，进入者和在位者生产的边际成本都为1,固定成本为0，潜在进入者的进入成本为4。博弈时序为：在位者首先决定产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定是否进入；如果不进入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。求解以上博弈精炼纳什均衡。TOC\o"1-5"\h\z解：在市场进入模型中，设在位者选择产量q，潜在进入者产量为q，如果潜在进入12者进入，则最优化为：max(13—q—q—1)xq—4。一阶条件下，求得q*=121qi。12222在位者选择产量q，在潜在者进入的情况下，其最优化为max(3-q-q*-1)xq。1121由一阶条件可得q*=6，因此，q*=3。此时，兀=18,兀=5。1212如果在位者设置壁垒，使得潜在进入不进入，即兀=(13-q-q-1)xq-4=0，代212212-q0入q*=-1，解得q*'=8，此时，n=16，克产。。22112因此，在位者将选择产量6,即最后的精练子博弈纳什均衡是在位者选择产量6,潜在进入者进入。2、考虑如下扰动的性别战略博弈，其中彳服从［0，1］的均匀分布，：＜：＜l,t1和t2是独立的，ti是参与人i的私人信息。求出以上博弈所有纯战略贝叶斯均衡。Si足球Si足球S2芭蕾足球3+二.二.,芭蕾0芭蕾0,01,3+解：构造一个贝叶斯均衡：存在一个t1*£[0,1]和一个t2*£[0,1]。如果％Nt「，男的将选择足球赛；如果t2Nt2*，女的将选择芭蕾舞。因此，男的选择足球的概率是(1—tj)，女的选择芭蕾的概率是(1—t2*)。现在我们来求解t；和t2*。给定男的战略，女的选择足球和芭蕾的期望效用分别为：(1—**)*1+***0=(1—t1*)与(1—tj)X£tz+tjXC+et2)=(3t]*+£t2)。因此t2*满足：(1—t1*)=(3t1*+et2*)。因为博弈是对称的，在均衡的情况下，t1*=t力解上述条件可得：t*=1/(4+e)。因此，贝叶斯均衡是：(1)男参与人：如果t1Nt*，男的将选择足球赛，否则选择芭蕾;如果t2Nt*，女的将选择芭蕾舞，否则选择足球。给定不完全信息，男方认为女方选择芭蕾的概率和女方认为男方选择足球的概率为：1—1/(4+e)。当£一0时，上述概率收敛于3/4,即在完全信息下的混合战略的概率：男的以3/4的概率选择足球，女的以3/4的概率选择芭蕾。3、求出下列信号传递模型的贝叶斯Nash均衡(讨论分离均衡和混同均衡)解：(1)自然选择发送者类型，告诉发送者，接收者不知道发送者真实类型，但类型的概率分布(0.4,0.6)是共同知识。(2)接收者若看见R，一定会选择a2;若看见L，一定会选择a1。发送者能够推测到接收者接收到信号后的判断，因此，发送者知道如果自己是0.4类型不管选择什么信号结果都一样，即R和L无差异；如果自己是0.6类型，R将是最优选择。(3)发送者无论是何种类型皆可选择R策略，接收者接收到信号后选择a2,这构成混同均衡。(4)发送者是0.4类型选择L策略，接收者接收到信号后选择a1,发送者是0.6类型选择R策略，接收者接收到信号后选择a2,这构成分离均衡。4、解：根据划线法，可求得两个纯战略纳什均衡：(M,L)、(D，R)。根据奇数定理，该博弈可能存在混合战略纳什均衡。为确定混合战略均衡，先用重复剔除弱劣方法剔除掉参与人2的M战略，再剔除参与人1的U战略，得到如下支付表：LRM4,45,3D3,56,6设参与人1的混合战略为(°,6,P2)，则在均衡状态下，对于参与人2有4p+5p=3p+6p1212由于p+p=1,得到p=p=1。因此，参与人1的最优混合战略是(+,+)。利用对称1212222性，参与人2的最优混合战略也是(+,+)。纳什均衡是(QJQ+))。2222225.解：在完全信息条件下，纳什均衡是(寸，寸)，对应的支付是J，干)。该均衡不是帕累托最优的。帕累托最优产量当满足总产量为中，对应的总支付为Q产。在无限重复下，如果给定产出组合是子博弈精炼的，对任意参与人，以下条件当满足：—(a-c)2448(—(a-c)24其中左边第一项是背弃协议所得最大支付。6、(1)该博弈的战略式描述为甲乙申请企业1申请企业2申请企业1W1W1,22W1,W2申请企业2W2,W1W2W2,22

（2）若甲选择企业1，乙将选择企业2；若乙选择企业2，甲必然选择企业1，因此，（企业1，（企业2，企业1））是一个纯战略纳什均衡。若甲选择企业2，乙将选择企业1；若乙选择企业1，甲必然选择企业2，因此，（企业2，（企业2，企业1））也是一个纯战略纳什均衡。（3）假定甲选择企业1的概率为a,选择企业2的概率为1-a；乙选择企业1的概率为P,选择企业2的概率为1-P，则甲选择企业1的期望收益为W1P+W1（1-P），选择企业2的期望收益为W2p+W2（1-B），由二者相等可得乙选择两个企业的概率分别为：2W1-W22W2-W1P=，1-P=。W2+W1W2+W12W1-W22W2-W1同理可得甲选择两家企业的概率：a=，1-a=。因此，最后的混W2+W1W2+W1合均衡是两学生均以(2W合均衡是两学生均以(2W1-W22W2-W1)、W2+W1'W2+W1/的概率决定向企业1与企业2提出申请。7、解：企业i的利润函数为兀=pq-cq=（p-c）（a-p+p），由一阶条件iiiiiij而a+p+c上一，…一丁=a-2p+p+c=0可得企业i的反应函数为p=一父一。考虑到对称性，同apiji2ia+p+c样方法可以得到企业j的反应函数为p=—与一，联立此两方程可得两个寡头同时选j2择价格时的纳什均衡为：P，=Pj=a+c。8、考虑两种情况：TOC\o"1-5"\h\z（1）若x>4，则单阶段博弈的纳什均衡为G,x）,（以攻）,（工,乙），构造如下战略，121212若第一阶段G,y）出现，则第二阶段选择（x,x）；若第一阶段s偏离G,y），选择x，12122122则第二阶段选择（z,z）；若第一阶段s偏离（y,y），选择x，则第二阶段选择（攻，攻）。12112112如此，对于s与s而言，第一阶段出现（y,y）的条件是，其总收益4+2=6将不小于他1212们在第一阶段选择其他战略下的收益x+0=x，即x<6。即，（y,y）在第一阶段出现的12条件是4<x<6。(2)当x<4时，单阶段的纳什均衡为G,x),(y,y),(w,w),(z,z)，则完全有12121212可能在第一阶段出现(y,y)，因为S与S都没有偏离的动机。1212综上，(y,y)在第一阶段出现的条件是x<6。129、在该博弈中，S1的战略是私人信息类型的函数，当自然选择a时，S1选择「当自然选择b时，S1选择B。S2的战略则根据期望利益最大化进行决定。S2选择L的期望收益是uX1+(1-u)X0=u，选择R的期望收益是uX0+(1-u)X2=2-2u。由两种战略的无差异可得u=2/3。所以当u>2/3时，S2选择L,当u<2/3时，S2选择R。因此该博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡是：S1在自然选择a时，选择「在自然选择b时，选择B；S2在u>2/3时，选择L,在u<2/3时，选择R。10、求解以下战略式博弈的所有纳什均衡表1.3S1S2LMRT7，22，73，6B2，77，24，5首先考虑纯纳什均衡。如果S1选择T战略一S2将选择M战略一S1选择B战略一S2将选择L战略一S1选择T战略……因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。所以我们考虑寻找混合战略纳什均衡。因此，S1可以对T与B策略进行混合，而S2则可以对L、M、R中的任意至少两个策略进行选择，因此，设S1选择T策略的概率为a,S2选择L策略的概率为0,M策略的概率为Y，则可能有以下情况：S2选择L、M和R的混合战略。对于S2而言，如果三种战略同时混合，必然满足三种战略的期望效用相同，因此，这一混合战略能否成立取决于是否满足以下两个方程：[2a+7G-a)=7a+2。-a)[7a+2。-a)=6a+5。-a)该方程组无解，所以S2无法同时采用L、M和R同时混合的战略S2选择L和M混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，因此，需要满足以下方程：2a+7(1-a)=7a+2(1-a)，解得：a=1/2。但是将a=1/2代入等式可得效用为2a+7G-a)=7a+2(1-a)=9/2；同时，将a=1/2代入6a+5(1-a)可得其值等于11/2。9/2<11/2表明L和M的混合战略的期望效用小于R战略的期望效用，因此，这一混合战略也不满足纳什均衡。S2选择L和R混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，因此，需要满足以下方程：6a+5(1-a)=2a+7(1-a)，解得：a=1/3。同样，将a=1/3代入等式可得6a+5（1—a）=2a+7（1—。）=16/3；将a=1/3代入7a+2（1—a）可得其值等于13/3。16/3>13/3表明L和R的混合战略的期望效用大于M战略的期望效用，因此，这一混合战略满足纳什均衡。另一方面，计算S1的混合战略，需要满足以下等式：7P+2（1—B）=2p+7（1—P）,（12_1.1一、解得：8=1/2,因此这一混合战略的纳什均衡为-T+-B,L+-R。、3322）S2选择M和R的混合战略。显然，这一战略不可能是纳什均衡战略，对于S2来说，如果放弃了L战略，那么对S1而言T战略将是劣战略，其将直接选择B战略，这时S2只能选择R战略，S1的反应只可能是L战略，这显然与假设矛盾。11、两位投资者各自将D存在银行，而银行则将他们资金用于长期投资。本博弈的规则如下：在第一期,两位投资者同时决定是否收回资金。如果任何投资者收回资金,则项目被迫清算，项目收益为2r。此时抽取资金投资者收益为D,而未抽回资金投资者收益为2r-D；如果两位投资者都抽回资金，则投资者收益都为r；如果两者都未抽回资金，博弈进入第二期。第二期项目成熟且项目收益为2R。此时如果两投资者都抽回资金则收益为R；如果只有一位抽取资金，抽回资金投资者收益为2R-D,未抽回为D；如果两者都不抽回资金则收益为R,假定R>D>r>D/2,求解子博弈精炼纳什均衡。首先考虑第二期博弈,可以用如下战略式来表示：S1S2抽不抽抽R,R2R-D,R不抽R,2R—DD,D用划线法可知，若第一期不抽回，则第二期的均衡是（抽回，抽回）。考虑第一期的博弈,用战略式表示如下：s1S2抽不抽抽r,rD,2r-D不抽2r-D,DR,R用划线法可知存在两个均衡（抽回,抽回）与（不抽回,不抽回）。因此,该博弈的子博弈精练纳什均衡有两个：（第一期抽回,第一期抽回）与（第一期不抽回第二期抽回,第一期不抽回第二期抽回）。12.在囚徒困境中，“针锋相对”战略定义为：（1）每个参与人开始选择“抵赖”；（2）在t阶段选择对方在t-1的行动。假定贴现因子5=1,证明以上战略不是子博弈精炼纳什均衡。假定两囚徒博弈的战略式表述如下：S1S2坦白抵赖坦白一6,一60,—8抵赖—8,0—1,—1给定针锋相对战略，如果参与人j坚持针锋相对战略，参与人i没有积极性首先坦白，因为如果他选择抵赖，他的支付是：-1+（-1）+（-1）+，而若选择坦白然后再转向针锋相对战略，则他的支付是：0+（-8）+0+（-8）+0十，前者严格大于后者。因此，在合作路径上针锋相对战略是纳什均衡。但是，如果参与人j首先选择坦白，参与人i并没有积极性惩罚他，因为如果惩罚，将得到的支付是（-8）+0+（-8）+0+，而如果原谅则可以连续得到一1的支付；类似的，参与人i也没有积极性惩罚自己。所以在惩罚路径上，针锋相对战略不是子博弈纳什均衡。13．如果以下重复博弈两次，支付（4，4）是否能作为子博弈精炼纳什均衡结果出现，请说明理由。假定贴现因子5=1。S1S2LCRT3,10,05,0M2,11,23,1B1,20,14,4该静态博弈有两个纯战略纳什均衡（T，L）和（M,C）,其支付均小于（B,R）带给两方的收益，因此，在两次博弈中，双方有可能选择（B,R）。由于对S而言，（B,R）带2来的是最大收益，因此，他没有偏离的动机。然而S仍可以选择T战略已获得更高的收益，1因此可以设置如下制约S行为的触发战略：1S：第一阶段选择B策略，第二阶段选择T策略；1S：第一阶段选择R策略；在第二阶段，如果第一阶段的结果是（B,R）,则采取L,2否则采取C。如此，由于S从第一阶段选择B第二阶段选择T的战略中获得的收益为4+3=7大于1第一阶段偏离选择T,第二阶段选择M的收益5+1=6,所以S也没有动机偏离。因此，（B,1

R）将作为二阶段博弈的子博弈精练纳什均衡结果在第一阶段出现。14.给定古诺博弈：市场反需求函数为P（Q）=a-Q，其中Q=q+q为市场总产量，q12i为企业i（i=1,2）的产量。两个企业的总成本都为c（q）=cq。请您思考以下问题:iii1）在完全信息静态条件下，这一博弈的纳什均衡是什么？2）假设这一阶段博弈重复无限次。试问：在什么样的贴现条件下，企业选择冷酷战略可保证产量组合J,3）是子博弈精炼纳什均衡的？2424解：在完全信息条件下，纳什均衡是（一,—），对应的支付是J,—）。该均衡不是3399帕累托最优的。帕累托最优产量当满足总产量为中，对应的总支付为弋芈。在无限重复下，如果给定产出组合是子博弈精炼的，对任意参与人，以下条件当满足：48(a-c48(a-c)1+—(a—c)298

1—824211—8其中左边第一项是背弃协议所得最大支付。15.考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W/2VW2V2W1，则问：a.写出以上博弈的战略式描述b.求出以上博弈的所有纳什均衡解：（1）该博弈的战略式描述为甲乙申请企业1申请企业2申请企业1W1W1，22W1，W2申请企业2W2，W1W2W2，22（2）若甲选择企业1，乙将选择企业2；若乙选择企业2，甲必然选择企业1，因此，（企业1，（企业2，企业1））是一个纯战略纳什均衡。若甲选择企业2，乙将选择企业1；若乙选择企业1，甲必然选择企业2，因此，（企业2，（企业2，企业1））也是一个纯战略纳什均衡。（3）假定甲选择企业1的概率为a，选择企业2的概率为1-a；乙选择企业1的概率为P，

W1选择企业2的概率为1-P，则甲选择企业1的期望收益为一yP+wM1-B），选择企业2w2的期望收益为w2p+--（1-P）,由二者相等可得乙选择两个企业的概率分别为：2w1-w22w2-w1P=，1-P=。w2+w1w2+w12w1-w22w2-w1同理可得甲选择两家企业的概率0=口小d，1-a=。因此，最后w2+w1w2+w1的混合均衡是两学生均以(2的混合均衡是两学生均以(2w1-w22w2-w1)、w2+w1'w2+w1/的概率决定向企业1与企业2提出申请。16.求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡S1S2和S3X3Y3X2Y2X2Y2X10,0,06,5,44,6,50,0,0Y15,4,60,0,00,0,00,0,0解：首先看S1选择X策略。如果S2同样选择X策略，那么S3一定选择Y策略；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择X策略，因此（X，X，Y）是一个纳什均衡；如果S2选择Y策略，那么S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择Y策略，因此，（X，Y，X）是一个纳什均衡。其次看S1选择Y策略。如果S2选择X策略，S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择X策略，因此（Y，X，X）是一个纳什么均衡。如果S2选择Y策略，S3选择Y策略是理性的，如果S3选择X，S2将选择X，这样（Y，Y，X）将不是一个纳什均衡；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择Y策略，因此（Y，Y，Y）是一个纳什均衡。所以该博弈式的纯战略纳什均衡有4个：（X，X，Y）（X，Y，X）（Y，X，X）（Y，Y，Y）。17．（差异价格竞争）假定两个寡头企业进行价格竞争，但产品并不完全相同，企业i的市场需求q（p,p）=a-p+p（i,j=1,2），两家企业的生产成本函数为cq，求TOC\o"1-5"\h\ziijij两个寡头同时选择价格时的纳什均衡。解：企业i的利润函数为兀=pq-cq=（p-c）（a-p+p），由一阶条件iiiiiij而a+p+c十二a-2p+p+c=0可得企业i的反应函数为p=--j一。考虑到对称性，同apiji2ia+p+c样方法可以得到企业j的反应函数为p=一=一，联立此两方程可得两个寡头同时选j2

择价格时的纳什均衡为：。，K=a+c。18.考虑如下贝叶斯博