圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲

圆锥曲线_椭圆_双曲线_抛物线_知识点总结_例题习题精讲椭圆一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义:平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意:若,则动点的轨迹为线段;若,则动点的轨迹无图形。二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程(端点为a、b,焦点为c)(1)当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;(2)当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;2、两种标准方程可用一般形式表示:或者mx2+ny21三、椭圆的性质(以为例)1、对称性:对于椭圆标准方程:是以轴、轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。2、范围:椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。3、顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为,,,。③线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4、离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作。②因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近,从而越小,因此椭圆越扁;反之,越接近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时,,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。③离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。注意:椭圆的图像中线段的几何特征(如下图):5、椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比为常数e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆()。即:到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形,也即上图中有。①焦点在x轴上:(a>b>0)准线方程:②焦点在y轴上:(a>b>0)准线方程:6、椭圆的内外部需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”(1)点在椭圆的内部(2)点在椭圆的外部四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程图形性质 焦点 , ,焦距范围 , ,对称性 关于轴、轴和原点对称顶点 , ,轴长 长轴长,短轴长离心率准线方程焦半径 , ,五、其他结论需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”1、若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是2、若在椭圆外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是3、椭圆a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为4、椭圆(a>b>0)的焦半径公式:,,5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF。6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF。7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。8、若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是9、若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是双曲线一、双曲线的定义1、第一定义:到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹((为常数))。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点:(1)距离之差的绝对值。(2)2a<|F1F2|。当|MF1|-|MF2|2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支;当|MF1|-|MF2|-2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支;当2a|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在。2、第二定义:动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数ee>1时,这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程(,其中||2c)需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线四、双曲线与渐近线的关系五、双曲线与切线方程六、双曲线的性质七、弦长公式1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则,,若分别为A、B的纵坐标,则。2、通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点,则弦长。3、若弦AB所在直线方程设为,则=。4、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共轭双曲线抛物线一、抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线ll不经过点F距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。二、抛物线的性质三、相关定义1、通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径;通径:|H1H2|2P2、弦长公式:3、焦点弦:过抛物线焦点的弦,若,则1x0+,2,-p23弦长,,即当x1x2时,通径最短为2p4若AB的倾斜角为θ,则(5)+四、点、直线与抛物线的位置关系需要详细的抛物线的资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答”圆锥曲线与方程一、圆锥曲线的统一定义平面内的动点Px,y到一个定点Fc,0的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数ee>0,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点Fc,0称为焦点,定直线称为准线,正常数e称为离心率。当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。特别注意:当时,轨迹为圆(,当时)。二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换:2、坐标轴的平移:3、中心或顶点在h,k的圆锥曲线方程【例】以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.解:抛物线的焦点为,设双曲线方程为,,双曲线方程为【例】双曲线1b∈N的两个焦点F1、F2,P为双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则b2_________。解:设F1-c,0)、F2c,0、Px,y,则|PF1|2+|PF2|22|PO|2+|F1O|2<252+c2,即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2|PF1|-|PF2|2+2|PF1|?|PF2|,依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|4,依已知条件有|PF1|?|PF2||F1F2|24c2∴16+8c2<50+2c2,∴c2<,又∵c24+b2<,∴b2<,∴b21。【例】当取何值时,直线:与椭圆相切,相交,相离?解:①代入②得化简得当即时,直线与椭圆相切;当,即时,直线与椭圆相交;当,即或时,直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个焦点为F,M是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以yx为轴的对称点M1和M2,且|M1M2|,试求椭圆的方程。解:|MF|a+c,|MF|mina-c,则a+ca-ca2-c2b2,∴b24,设椭圆方程为①设过M1和M2的直线方程为y-x+m ②将②代入①得:4+a2x2-2a2mx+a2m2-4a20③设M1x1,y1、M2x2,y2,M1M2的中点为x0,y0,则x0x1+x2,y0-x0+m。代入yx,得,由于a2>4,∴m0,∴由③知x1+x20,x1x2-,又|M1M2|,代入x1+x2,x1x2可解a25,故所求椭圆方程为:1。【例】某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长。解:以拱顶为原点,水平线为x轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB|20,|OM|4,A、B坐标分别为-10,-4)、10,-4)设抛物线方程为x2-2py,将A点坐标代入,得100-2p×-4,解得p12。5,于是抛物线方程为x2-25y。由题意知E点坐标为2,-4,E′点横坐标也为2,将2代入得y-0。16,从而|EE′|-0.16--43.84。故最长支柱长应为3.84米。【例】已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线yx+1与椭圆交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|,求椭圆方程。解:设椭圆方程为mx2+ny21m>0,n>0,Px1,y1,Qx2,y2由得m+nx2+2nx+n-10,Δ4n2-4m+nn-1>0,即m+n-mn>0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y20,即2x1x2+x1+x2+10,∴+10,∴m+n2 ①又22,将m+n2,代入得m?n ②由①、②式得m,n或m,n故椭圆方程为+y21或x2+y21。【例】已知圆C1的方程为,椭圆C2的方程为,C2的离心率为,如果C1与C2相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解:由设椭圆方程为设又两式相减,得又即将由得解得故所有椭圆方程【例】过点1,0的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线yx过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程。解法一:由e,得,从而a22b2,cb。设椭圆方程为x2+2y22b2,Ax1,y1,Bx2,y2在椭圆上。则x12+2y122b2,x22+2y222b2,两式相减得,x12-x22+2y12-y220,设AB中点为x0,y0,则kAB-,又x0,y0在直线yx上,y0x0,于是--1,kAB-1,设l的方程为y-x+1。右焦点b,0关于l的对称点设为x′,y′,由点1,1-b在椭圆上,得1+21-b22b2,b2。∴所求椭圆C的方程为1,l的方程为y-x+1。解法二:由e,从而a22b2,cb。设椭圆C的方程为x2+2y22b2,l的方程为ykx-1,将l的方程代入C的方程,得1+2k2x2-4k2x+2k2-2b20,则x1+x2,y1+y2kx1-1+kx2-1kx1+x2-2k-。直线l:yx过AB的中点,则,解得k0,或k-1。若k0,则l的方程为y0,焦点Fc,0关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k0舍去,从而k-1,直线l的方程为y-x-1,即y-x+1,以下同解法一。解法三:设椭圆方程为直线不平行于y轴,否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线,,,,,,,,,,,,,则,,,,所以所求的椭圆方程为:【例】如图,已知△P1OP2的面积为,P为线段P1P2的一个三等分点,求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程。解:以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系。设双曲线方程为1a>0,b>0,由e2,得。∴两渐近线OP1、OP2方程分别为yx和y-x设点P1x1,x1,P2x2,-x2x1>0,x2>0,则由点P分所成的比λ2,得P点坐标为,又点P在双曲线1上,所以1,即x1+2x22-x1-2x229a2,整理得8x1x29a2①即x1x2②由①、②得a24,b29。故双曲线方程为1。【例】过椭圆C:上一动点P引圆O:x2+y2b2的两条切线PA、PB,A、B为切点,直线AB与x轴,y轴分别交于M、N两点。1已知P点坐标为x0,y0并且x0y0≠0,试求直线AB方程;2若椭圆的短轴长为8,并且,求椭圆C的方程;3椭圆C上是否存在点P,由P向圆O所引两条切线互相垂直?若存在,请求出存在的条件;若不存在,请说明理由。解:1设Ax1,y1,Bx2,y2切线PA:,PB:∵P点在切线PA、PB上,∴∴直线AB的方程为2在直线AB方程中,令y0,则M,0;令x0,则N0,∴①∵2b8∴b4代入①得a225,b216∴椭圆C方程:3假设存在点Px0,y0满足PA⊥PB,连接OA、OB由|PA||PB|知,四边形PAOB为正方形,|OP||OA|∴①又∵P点在椭圆C上∴②由①②知x∵ab0∴a2-b201当a2-2b20,即ab时,椭圆C上存在点,由P点向圆所引两切线互相垂直;2当a2-2b20,即bab时,椭圆C上不存在满足条件的P点【例】已知点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足(1)求点P的轨迹C对应的方程;(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD⊥AE,判断:直线DE是否过定点?试证明你的结论。(3)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2满足k1?k22。求证:直线DE过定点,并求出这个定点。解:(1)设【例】已知曲线,直线l过A(a,0)、B(0,-b)两点,原点O到l的距离是(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)过点B作直线m交双曲线于M、N两点,若,求直线m的方程。解:(Ⅰ)依题意,由原点O到l的距离为,得又。故所求双曲线方程为(Ⅱ)显然直线m不与x轴垂直,设m方程为ykx-1,则点M、N坐标()、()是方程组的解消去y,得①依设,由根与系数关系,知∴-23,k±。当k±时,方程①有两个不等的实数根故直线l方程为【例】已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值,且的最小值为.(1)求动点的轨迹方程;(2)若已知,、在动点的轨迹上且,求实数的取值范围.解:(1)由已知可得:,∴∴所求的椭圆方程为。2方法一:由题知点D、M、N共线,设为直线m,当直线m的斜率存在时,设为k,则直线m的方程为ykx+3代入前面的椭圆方程得4+9k2x2+54k+450①由判别式,得。再设Mx1,y1,Nx2,y2,则一方面有,得另一方面有,②将代入②式并消去x2可得,由前面知,∴,解得。又当直线m的斜率不存在时,不难验证:,所以为所求。方法二:同上得设点M3cosα,2sinα,N3cosβ,2sinβ则有由上式消去α并整理得,由于∴,解得为所求。方法三:设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大值为5,最小值为1。进而推得的取值范围为。【例】如图所示,抛物线y24x的顶点为O,点A的坐标为5,0,倾斜角为的直线l与线段OA相交不经过点O或点A且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积。解:由题意,可设l的方程为yx+m,-5<m<0。由方程组,消去y,得x2+2m-4x+m20……………①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ2m-42-4m2161-m>0,解得m<1,又-5<m<0,∴m的范围为-5,0设Mx1,y1,Nx2,y2则x1+x24-2m,x1?x2m2,∴|MN|4。点A到直线l的距离为d。∴S△25+m,从而S△241-m5+m222-2m?5+m5+m≤23128。∴S△≤8,当且仅当2-2m5+m,即m-1时取等号。故直线l的方程为yx-1,△AMN的最大面积为8。【例】已知双曲线C:2x2-y22与点P1,2。1求过P1,2点的直线l的斜率取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点。2若Q1,1,试判断以Q为中点的弦是否存在。解:1当直线l的斜率不存在时,l的方程为x1,与曲线C有一个交点。当l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2kx-1,代入C的方程,并整理得2-k2x2+2k2-2kx-k2+4k-60………………*?当2-k20,即k±时,方程*有一个根,l与C有一个交点?当2-k2≠0,即k≠±时Δ[2k2-2k]2-42-k2-k2+4k-6163-2k①当Δ0,即3-2k0,k时,方程*有一个实根,l与C有一个交点。②当Δ>0,即k<,又k≠±,故当k<-或-<k<或<k<时,方程*有两不等实根,l与C有两个交点。③当Δ<0,即k>时,方程*无解,l与C无交点。综上知:当k±,或k,或k不存在时,l与C只有一个交点;当<k<,或-<k<,或k<-时,l与C有两个交点;当k>时,l与C没有交点。2假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且Ax1,y1,Bx2,y2,则2x12-y122,2x22-y222两式相减得:2x1-x2x1+x2y1-y2y1+y2又∵x1+x22,y1+y22∴2x1-x2y1-y1即kAB2但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在。【例】已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆相切.过点作斜率为的直线,使得和交于两点,和轴交于点,并且点在线段上,又满足.(1)求双曲线的渐近线的方程;(2)求双曲线的方程;(3)椭圆的中心在原点,它的短轴是的实轴.如果中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是的渐近线截在内的部分,求椭圆的方程.解:(1)设双曲线的渐近线的方程为:,则由渐近线与圆相切可得:.所以,.双曲线的渐近线的方程为:.(2)由(1)可设双曲线的方程为:.把直线的方程代入双曲线方程,整理得.则(*)∵,共线且在线段上,∴,即:,整理得:将(*)代入上式可解得:.所以,双曲线的方程为.(3)由题可设椭圆的方程为:.下面我们来求出中垂直于的平行弦中点的轨迹.设弦的两个端点分别为,的中点为,则.两式作差得:由于,所以,,所以,垂直于的平行弦中点的轨迹为直线截在椭圆S内的部分.又由题,这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分,所以,.所以,,椭圆S的方程为:.点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为横坐标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用到“设而不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具).【例】已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。解:Ⅰ设椭圆长半轴长及半焦距分别为,由已知得,所以椭圆的标准方程为(Ⅱ)设,其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得,其中。(i)时。化简得所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段。(ii)时,方程变形为,其中当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分;当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆;【例】已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点,当L的斜率为1时,坐标原点O到L的距离为。Ⅰ求a,b的值;ⅡC上是否存在点P,使得当L绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与L的方程;若不存在,说明理由考点:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理。解:(Ⅰ)设当的斜率为1时,其方程为到的距离为。故,由,得,(Ⅱ)C上存在点,使得当绕转到某一位置时,有