弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题

1弹性与塑性力学基础第四

章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法

温翠莲clwen@188050263602§4-1广义胡克定律

4.1.1应力与应变关系的提出

4.1.2胡克定律4.1.3泊松比4.1.4广义胡克定律§4-2基本方程

4.2.1弹性阶段本构关系

4.2.2平衡方程4.2.3几何方程4.2.4本构方程

§4-3边界条件4.3.1边界问题类型

4.3.2位移边界问题4.3.3应力边界问题4.3.4混合边界问题弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法3§4-4按位移求解弹性力学问题§4-5按应力求解弹性力学问题§4-6平面问题和应力函数§4-7圣维南原理§4-8叠加原理§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用§4-10简支梁受均匀分布载荷作用§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸§4-12位错引起的应力与弹性应变能4§4-1广义胡克定律

4.1.1问题的提出

弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量。

已学的基本方程－9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元体的力平衡）3个，几何方程（应变－位移关系）6个。

未知变量的个数（15）多于方程数（9）→必须研究受力物体的应力与应变之间的关系→物理方程。对于弹性问题，即广义胡克定律。弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法5§4-1广义胡克定律

4.1.2胡克定律

1、单向拉伸（压缩）：

材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹性的，两者之间满足胡克定律。其表达式如下：

拉伸或压缩方向：x

=·x

与拉伸或压缩垂直的方向：y=z=-μ·x

式中：－弹性模量，μ－泊松比

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法6§4-1广义胡克定律

2、平面应力状态:

对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下，正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的

叠加原理是适用的。

平面双向拉（压）应力纯剪应力状态

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法7§4-1广义胡克定律

2、平面应力状态:由于应力x的作用：x方向应变为

y方向应变为由于应力y的作用：y方向应变为x方向应变为

弹性与塑性力学基础同时有x和y作用在x方向及y方向的应变为

(4-3)平面应力时的胡克定律第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法8§4-1广义胡克定律

2、平面应力状态：在x和y作用下，z方向的应变

εz=-μ(x＋y)/E在剪应力作用下，X-Y平面内的剪应变与纯剪时相同，即：

式中，为剪切弹性模量

弹性与塑性力学基础纯剪应力状态第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法9§4-1广义胡克定律

4.1.3广义胡克定律用相同的方法，可以导出三维应力状态下的各向同性均匀材料的广义胡克定律，其形式为：

(4-4)

（各向同性均匀材料的含义，即材料内部各处的不同方向具有相同的

μ、E、G值）弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法10§4-1广义胡克定律

4.1.4广义胡克定律的不同形式

将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有如令则上式可写为或(4-5)(4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的球张量成正比，而与应力偏量无关。

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法11§4-1广义胡克定律

4.1.4

广义胡克定律的不同形式引入以上表达式后，广义胡克定律又可写为：

(4-6)

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法12§4-1广义胡克定律

4.1.4广义胡克定律的不同形式由式(4-6)及式(4-5)，可得即：

式中：ex=x-0为应变偏量分量，为应力偏量分量。用相同的方法，可得：

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法13§4-1广义胡克定律

4.1.4广义胡克定律的不同形式

因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：

(4-7)

弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：应力或应变球张量对应力主轴或应变主轴无影响）

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法14§4-1广义胡克定律

4.1.3广义胡克定律的不同形式

各向同性体的胡克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题时，有时需要用应变表示应力关系。将式(4-4)第一式作如下改变即得式(4-6)的第一式

利用式(4-5)将其代入式(4-6)

便可得

由上式可得弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法15§4-1广义胡克定律

4.1.3广义胡克定律的不同形式如引用=并注意到则有用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下

(4-8)

称为拉梅(Lamé)弹性常数。用体积应变表示应力时则有(4-9)如令，则式(4-9)可写成(K—体积弹性模量)(4-9')弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法16§4-2基本方程

4.2.1平衡方程（3个方程）

(4-10)或(4-10')弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法17§4-2基本方程

4.2.2几何方程（应变－位移关系，6个方程）

(4-11)或(4-11')

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法18§4-2基本方程

4.2.2几何方程

由应变位移关系导出的应变协调方程：(4-12)

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法19§4-2基本方程

4.2.3本构方程

弹性阶段本构关系为广义胡克定律

(4-13)或(4-13')弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法20§4-2基本方程

4.2.3本构方程

如用应变表示应力，则有

(4-14)或

(4-14')弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法21§4-3边界条件

解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对具体问题给出弹性体表面上的边界条件作为补充条件，方可求出定解。4.3.1边界问题类型

三类：位移边界问题；应力边界问题；混合边界问题

1、位移边界问题

物体在全部边界上位移分量已知。如平面问题位移边界条件为：

其中，us和vs是位移的边界值，和在边界上是坐标的已知函数

2、应力边界问题物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是坐标已知函数。把面力已知的条件转换成为应力方面的已知条件，即为应力边界条件。

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法22§4-3边界条件

2、应力边界问题（平面问题）

由平衡微分方程采用的正平行六面体，到物体的边界上，将成为三角形或三棱柱(它的斜面AB与物体的边界重合).平面问题如图所示，用N代表边界面AB的外法线方向，并令N的方向余弦为几何尺寸：设边界面AB的长度为dS，则有：PA＝ldS，

PB＝mdS。垂直于XOY面方向的尺寸仍取一个单位弹性与塑性力学基础受力平衡图

第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法23§4-3边界条件

2、应力边界问题（平面问题）

由平衡条件FX=0得除以dS，略去含dS2的高阶微量项，得

其中(X)s和(yx)s是应力分量边界值,由FY=0，可得另一相似方程。边界各点应力分量与面力分量关系

(4-16)

(4-16)式即为平面问题应力边界条件弹性与塑性力学基础受力平衡图

第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法24§4-3边界条件

2、应力边界问题（平面问题）考虑第三个平衡条件M=0，有

特例：垂直于x轴的边界上，

l=1，m＝0，应力边界条件简化为

垂直于y轴的边界上，

l=0，m=1，应力边界条件简化为即：应力分量边界值等于对应面力分量弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法受力平衡图

25§4-3边界条件

2、应力边界问题

注意:(1)垂直于x轴边界上应力边界条件中并没有y

(2)垂直于y轴边界上应力边界条件中并没有x

由此可见，平行于边界的正应力，其边界值与面力分量并不直接相关。

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法受力平衡图

26§4-3边界条件

3、混合边界问题部分边界具有位移边界条件，部分边界则具有应力边界条件.混合边界条件：同时存在位移边界条件和应力边界条件弹性与塑性力学基础混合边界问题实例：

(a)连杆支承边(⊥x轴)(b)齿槽边界(⊥x轴)

第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法27§4-3边界条件

垂直于x轴的边界（l=1,m=0）是连杆支承边(图a)

x方向：位移边界条件：y方向：应力边界条件：

垂直于x轴边界是齿槽边(图b)x方向：应力边界条件：

y方向：位移边界条件：弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法28§4-4按位移求解弹性力学问题

弹性力学问题的求解方法：(a)位移法；(b)应力法。

位移法：取位移分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件，求解弹性力学问题。

应力法：取应力分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件，

求解弹性力学问题。

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位移法求解弹性力学问题的基本步骤

①利用几何方程用位移表示应变②代入本构方程，得到用位移表示的应力分量

③代入平衡微分方程，得出关于位移的方程式④利用边界条件，求解关于位移分量的方程组，得出位移分量

⑤代入几何方程，求出应变分量⑥代入本构方程，求出应力分量。

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法29§4-4按位移求解弹性力学问题

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位移法求解弹性力学问题的基本过程（即用位移表示的应力分量）

①用位移表示应变的几何方程：

②用应变表示应力的本构方程：

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法30§4-4按位移求解弹性力学问题

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位移法求解弹性力学问题的基本过程

①代入②，得：（A，4-17）

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法用位移表示的应力分量31§4-4按位移求解弹性力学问题

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位移法求解弹性力学问题的基本过程

将(A)式表示的各应力分量代入平衡微分方程，

由第1式，得：

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法32§4-4按位移求解弹性力学问题

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位移法求解弹性力学问题的基本过程因为，所以，上式可变为：

(B-1)

(B-1)式中：▽2称为拉普拉斯算子，

θ为体积应变，

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法33§4-4按位移求解弹性力学问题

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位移法求解弹性力学问题的基本过程用同样的方法，可得另外两相似的表达式。因此，有：

(B1)

(B2)（4-18）(B3)

至此，15个基本方程均已被利用1次，得到了关于位移分量的3个方程式(B1-B3)。再利用边界条件，即可由求解出位移分量u,v,w。

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法用位移表示的平衡微分方程，即拉梅位移方程34§4-4按位移求解弹性力学问题

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位移法求解弹性力学问题的基本过程边界条件的应用：1、若边界条件为位移边界条件，即已知物体表面的位移，则由方程B1-B3和直接应用边界条件，即可求解出u,v,w。

2、若在物体表面给定的是面力条件，即为应力边界条件时，则必须进行适当变换，即利用胡克定律(应变表示应力的形式)和应力边界条件表达式，将物体表面的面力条件与位移分量的边界值联系起来。由：①胡克定律②应力边界条件①③几何方程

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法35§4-4按位移求解弹性力学问题

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位移法求解弹性力学问题的基本过程

②

③

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法36§4-4按位移求解弹性力学问题

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位移法求解弹性力学问题的基本过程可得：

（4-20）

由上述边界条件和方程B1-B3，即可求解出u,v,w,

求出6个应变分量求出6个应力分量。

弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法37弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法例：设有半空间体（如图所示），单位体积的质量为ρ，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量，并假设在z=h处w=0。解：由于载荷和弹性体对z轴对称，并且是半空间体，可以假设u=0，v=0，w=w(z)，因此体积应变为38弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法将以上各式代入拉梅位移方程（即式4-18）得到，

Kx=0；Ky=0；将Kz=ρg代入上式，得到积分上式，则得(II)在边界上，l=m=0，n=-1，Sx=Sy=0，Sz=q，将其代入式（4-20）可知，前两式为恒等式，第三式为(I)39弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法上式化简后得到：对式(II)中w求导，当z=0时，其值应与上式相等，得到由此得到将给定条件(w)z=h=0，代入(I)中得到，将常数A、B代入式(II)中，得到位移分量为(III)40弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法将式(III)代入式（4-17），得到应力分量为(IV)41§4-5按应力求解弹性力学问题

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应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础

①利用广义胡克定律，得到用应力分量表示的协调条件；

②将平衡微分方程代入协调条件，化简方程组，得出满足平衡微分方程的协调条件；③利用边界条件，求解关于应力分量的方程组，得出各应力量；④利用广义胡克定律，求各应变分量；

⑤代入几何方程，求位移变分量；第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法42§4-5按应力求解弹性力学问题

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应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础①利用广义胡克定律，消去协调条件中的应变分量：用应变分量表示的协调条件第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法43§4-5按应力求解弹性力学问题

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应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础用应力分量表示的协调条件（4-21）第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法44§4-5按应力求解弹性力学问题

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应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础②将（4-21）中的第一式与第三式相加，利用平衡微分方程，可得：即：第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法45§4-5按应力求解弹性力学问题

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应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础用同样的方法，可得：即有：（4-22）第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法46§4-5按应力求解弹性力学问题

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应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础将（4-22）中三式相加，得：（4-23）再将（4-23）中的代入（4-22），可得：用同样的方法，可得另外两个类似的方程：（4-24）-A第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法47§4-5按应力求解弹性力学问题

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应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础利用平衡微分方程，将（4-21）中的第四式变为如下形式：整理化简后，得：用同样的方法，可得另外两个类似的方程。（4-24）-B第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法48§4-5按应力求解弹性力学问题

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应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础因此，利用平衡微分方程，可将用应力分量表示的变形协调条件变为：（4-24）第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法相容方程49弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法当体积力为零或常量时，则方程式(4-24)可以化简为（4-25）拜尔特拉米-密乞尔方程(Beltrami-Michell)50弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法根据式（4-23）可知，在体积力为零或常数时，所以，应力第一不变量Θ是调和函数51§4-5按应力求解弹性力学问题

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应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础③利用边界条件，求解方程组(4-24)，得出各应力量；④利用广义胡克定律，求各应变分量；⑤利用几何方程，求位移变分量；第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法52弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法按应力求解弹性力学问题时，除了满足上述条件外，还必须注意位移单值性问题。单连体：只具有一个连续边界的物体（内部无洞的物体）。或者，该物体内任意一条简单闭曲线可以收缩到一点，而不越出物体所在区域。在满足相容方程和应力边界条件时，其应力分量就可完全确定。多连体：内部有洞的物体。除了满足单连体的所有方程外，还要满足位移的单值性条件，才可完全确定应力分量。解题时，可用一剖面将多连体变为单连体，并要求剖面两边同一点位移相同。53§4-6平面问题和应力函数

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平面应力问题弹性与塑性力学基础（4-28）第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法54§4-6平面问题和应力函数

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平面应变问题弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法

(4-29)根据几何方程可知，由胡克定律可知，因此，55弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法（4-30）§4-6平面问题和应力函数

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平面应变问题56弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-6平面问题和应力函数对于平面问题，在无体积力存在时，其平衡微分方程为：

(4-31)如果假定

(4-32)则(4-31)将自然成立，而各个应力分量可以用一函数Φ(x,y)来表示，这样的函数称为艾里(Airy)应力函数。57弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法对于平面应力问题，考虑到式(4-28)，则式(4-4)（广义胡克定律）可改写为（4-33）58弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法对于平面应变问题，考虑到式(4-29)和(4-30)，则式(4-4)可改写为（4-34）由于

，引入记号，则上式可写为：（4-35）59弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法对比式(4-33)和(4-35)可知，不论是平面应力还是平面应变问题，都具有相同形式的应力-应变关系，只是对于平面应变问题用μ’去代替μ。将式(4-32)中的应力表达式代入式(4-33)后，则有(4-36)60弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法以上的应变应该满足变形协调条件中的第一式，其余5个条件对于平面问题已自然满足。将式(4-36)代入上式后，则可得到用应力函数表示的协调条件为(4-37)上式也可写为因此，平面问题就归结为求解满足双调和方程和给定边界条件的函数Φ(x,y)。61弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法此时，边界条件可以改写为：(4-38)如果将代入E和G之间的表达式，则可得到62弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法因此，今后遇到平面应变问题，只需把平面应力问题的有关公式用代换E，用代换μ，即可得到平面应变问题的有关表达式。由于Φ(x,y)是双调和函数，所以可根据数学上成熟的有关双调和函数的知识去解决许多平面问题。§4-6平面问题和应力函数63弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-7圣维南原理在求解弹性力学问题时，存在的困难应力分量、应变分量、位移分量可完全满足基本方程，但边界条件要得到完全满足很难。在物体的一小部分边界上，仅仅知道物体所受的面力的合力，而这个面力的分布方式并不明确，无从考虑这部分边界上的应力边界条件。问题的提出64弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。65弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-7圣维南原理圣维南原理：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会是得近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。设有无限大平面，其中有一半径为a的圆孔，当孔边受到均匀应力q作用时，无限大平面内任意一点的应力与该点至圆心的距离的平方成反比。66弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法PP当用钳子夹一根铁丝时，作用在铁丝端部的力是一对大小相等，方向相反的平衡力。这对力只在端部附近产生应力，对距离端部较远的地方只有极小的影响。§4-7圣维南原理67弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-8叠加原理设某一弹性体在面力和体力分别为Ti、Ki作用下的应力分量为σij，在同一弹性体内由另一组面力Ti’、Ki’所引起的另一组应力分量为σij’，则σij+σij’就一定是由于面力Ti+Ti’和体力Ki+Ki’的共同作用所引起的应力。以上两式相加，可得到(4-39)由平衡微分方程(4-10)，可知68弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法(4-40)由于故在边界上有同样，协调方程也可以合并。叠加原理：弹性体在数个载荷共同作用下所产生的力学响应（内力、应力及位移等）等于每个载荷单独作用时产生的力学响应的总和。叠加原理的成立条件：小变形、线性弹性本构方程。69弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用

假设σy仅是y的函数，即于是有，则有（4-41a）f1(y)和f2(y)是y的任意函数。70弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用

由于应力函数Φ必须满足双调和方程，所以将它代入该方程式后，得到f(y)、f1(y)和f2(y)必须满足的条件为：上式为x的二次方程，但它有无穷多个根，因此方程的系数和自由项应等于零，即71由前面两个方程，可得出弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用

(4-41b)由第三个方程，可得积分后，(4-41c)72弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用

将式(4-41b)和(4-41c)代入式(4-41a)，得到应力分量为(4-41d)73弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用

本问题的边界条件为（4-41e）（4-41f）（4-41g）74弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用

由(4-41g)第三式可知，E=F=G=0由式(4-41e)、(4-41f)有解之，可得75弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用

将A,B,……,G的已知值代入式(4-41d)，得(4-41h)由边界条件(4-41g)的前两个条件得76弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用

代入式(4-41h)，并令，最后得到（4-41）77弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用

根据材料力学知识可以求出，应力为：（4-42a）但应该抛弃材料力学中认为σy=0的假定，因为在梁的上表面，由图可知78弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用

根据式(4-42a)选取应力函数的普遍形式于是有由式(4-42b)的第一式积分，得到(4-42b)(4-42c)79弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用

将式(4-42c)代入式(4-42b)的第二式，则有由此得，这里的E为积分常数，代入式(42-2c)，可得(4-42d)可上式不满足双调和方程，为该函数添加一个任意函数ψ(x,y)，并以满足调和方程为目标来选择函数ψ(x,y)。(4-42e)80弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用

将式(42-2e)代入双调和方程，则ψ(x,y)所必须满足的方程为F+2K+H=-4B(4-42h)H=-4B-F（4-42f）这个方程的解为（4-42g）将它代入式(4-42f)，可得由于在函数(42-2e)中已有了x2y3项，所以(4-42h)可以写成81弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用

由上面的式子可得到，对应的应力分量为(4-42i)82弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的