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文档简介
2023年高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB,且,若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.2.在中,角、、所对的边分别为、、,若,则()A. B. C. D.3.是正四面体的面内一动点,为棱中点,记与平面成角为定值,若点的轨迹为一段抛物线,则()A. B. C. D.4.如图,中,点D在BC上,,将沿AD旋转得到三棱锥,分别记,与平面ADC所成角为,,则,的大小关系是()A. B.C.,两种情况都存在 D.存在某一位置使得5.已知为抛物线的焦点,点在上,若直线与的另一个交点为,则()A. B. C. D.6.已知定义在上的奇函数满足,且当时,,则()A.1 B.-1 C.2 D.-27.已知集合的所有三个元素的子集记为.记为集合中的最大元素,则()A. B. C. D.8.在正项等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=()A.2 B.4 C. D.89.已知复数在复平面内对应的点的坐标为,则下列结论正确的是()A. B.复数的共轭复数是C. D.10.复数(为虚数单位),则等于()A.3 B.C.2 D.11.大衍数列,米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则大衍数列中奇数项的通项公式为()A. B. C. D.12.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,,且,则最小值为__________.14.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺,术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率的取值为________.15.已知是偶函数,则的最小值为___________.16.已知向量,且,则___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)11月,2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲乙两人在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分,设甲每次投球命中的概率为,乙每次投球命中的概率为,且各次投球互不影响.(1)经过1轮投球,记甲的得分为,求的分布列;(2)若经过轮投球,用表示经过第轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求;②规定,经过计算机计算可估计得,请根据①中的值分别写出a,c关于b的表达式,并由此求出数列的通项公式.18.(12分)已知函数,其中.(1)讨论函数的零点个数;(2)求证:.19.(12分)已知椭圆:(),与轴负半轴交于,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设直线:与椭圆交于,两点,连接,并延长交直线于,两点,已知,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.20.(12分)已知矩形纸片中,,将矩形纸片的右下角沿线段折叠,使矩形的顶点B落在矩形的边上,记该点为E,且折痕的两端点M,N分别在边上.设,的面积为S.(1)将l表示成θ的函数,并确定θ的取值范围;(2)求l的最小值及此时的值;(3)问当θ为何值时,的面积S取得最小值?并求出这个最小值.21.(12分)已知函数,.(1)若函数在上单调递减,且函数在上单调递增,求实数的值;(2)求证:(,且).22.(10分)若函数在处有极值,且,则称为函数的“F点”.(1)设函数().①当时,求函数的极值;②若函数存在“F点”,求k的值;(2)已知函数(a,b,,)存在两个不相等的“F点”,,且,求a的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴,得,再结合关系求解即可【详解】因为,所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,所以,即,则,故.故选:C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题.2.D【解析】
利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得:,整理可得:,.故选:.【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用,属于基础题.3.B【解析】
设正四面体的棱长为,建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,求出面的法向量,设的坐标,求出向量,求出线面所成角的正弦值,再由角的范围,结合为定值,得出为定值,且的轨迹为一段抛物线,所以求出坐标的关系,进而求出正切值.【详解】由题意设四面体的棱长为,设为的中点,以为坐标原点,以为轴,以为轴,过垂直于面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则可得,,取的三等分点、如图,则,,,,所以、、、、,由题意设,,和都是等边三角形,为的中点,,,,平面,为平面的一个法向量,因为与平面所成角为定值,则,由题意可得,因为的轨迹为一段抛物线且为定值,则也为定值,,可得,此时,则,.故选:B.【点睛】考查线面所成的角的求法,及正切值为定值时的情况,属于中等题.4.A【解析】
根据题意作出垂线段,表示出所要求得、角,分别表示出其正弦值进行比较大小,从而判断出角的大小,即可得答案.【详解】由题可得过点作交于点,过作的垂线,垂足为,则易得,.设,则有,,,可得,.,,;,;,,,.综上可得,.故选:.【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系,考查三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.C【解析】
求得点坐标,由此求得直线的方程,联立直线的方程和抛物线的方程,求得点坐标,进而求得【详解】抛物线焦点为,令,,解得,不妨设,则直线的方程为,由,解得,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法,属于基础题.6.B【解析】
根据f(x)是R上的奇函数,并且f(x+1)=f(1-x),便可推出f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,而由x∈[0,1]时,f(x)=2x-m及f(x)是奇函数,即可得出f(0)=1-m=0,从而求得m=1,这样便可得出f(2019)=f(-1)=-f(1)=-1.【详解】∵是定义在R上的奇函数,且;∴;∴;∴的周期为4;∵时,;∴由奇函数性质可得;∴;∴时,;∴.故选:B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值,此类问题一般根据条件先推导出周期,利用函数的周期变换来求解,考查理解能力和计算能力,属于中等题.7.B【解析】
分类讨论,分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数,即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素为的集合有个;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;所以.故选:.【点睛】此题考查集合相关的新定义问题,其本质在于弄清计数原理,分类讨论,分别求解.8.B【解析】
根据题意得到,,解得答案.【详解】,,解得或(舍去).故.故选:.【点睛】本题考查了等比数列的计算,意在考查学生的计算能力.9.D【解析】
首先求得,然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】由题意知复数,则,所以A选项不正确;复数的共轭复数是,所以B选项不正确;,所以C选项不正确;,所以D选项正确.故选:D【点睛】本小题考查复数的几何意义,共轭复数,复数的模,复数的乘法和除法运算等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想.10.D【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,从而求得,然后直接利用复数模的公式求解.【详解】,所以,,故选:D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的乘除运算,复数的共轭复数,复数的模,属于基础题目.11.B【解析】
直接代入检验,排除其中三个即可.【详解】由题意,排除D,,排除A,C.同时B也满足,,,故选:B.【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式,解题时可代入检验,利用排除法求解.12.A【解析】
根据题意,,求出,所以,根据三角函数图像平移伸缩,即可求出的取值范围.【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点,则,,,,,若函数图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,则,所以当时,,在有且仅有5个零点,,.故选:A.【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题,考查转化思想和计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
首先整理所给的代数式,然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】,结合可知原式,且,当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.14.3【解析】
根据圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),可得,进而可求出的值【详解】解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知,解得.故答案为:3.【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果.15.2【解析】
由偶函数性质可得,解得,再结合基本不等式即可求解【详解】令得,所以,当且仅当时取等号.故答案为:2【点睛】考查函数的奇偶性、基本不等式,属于基础题16.【解析】
由向量平行的坐标表示得出,求解即可得出答案.【详解】因为,所以,解得.故答案为:【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)分布列见解析;(2)①;②,.【解析】
(1)经过1轮投球,甲的得分的取值为,记一轮投球,甲投中为事件,乙投中为事件,相互独立,计算概率后可得分布列;(2)由(1)得,由两轮的得分可计算出,计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列(的取值为),然后结合的分布列和的分布可计算,由,代入,得两个方程,解得,从而得到数列的递推式,变形后得是等比数列,由等比数列通项公式得,然后用累加法可求得.【详解】(1)记一轮投球,甲命中为事件,乙命中为事件,相互独立,由题意,,甲的得分的取值为,,,,∴的分布列为:-101(2)由(1),,同理,经过2轮投球,甲的得分取值:记,,,则,,,,由此得甲的得分的分布列为:-2-1012∴,∵,,∴,,∴,代入得:,∴,∴数列是等比数列,公比为,首项为,∴.∴.【点睛】本题考查随机变量的概率分布列,考查相互独立事件同时发生的概率,考查由数列的递推式求通项公式,考查学生的转化与化归思想,本题难点在于求概率分布列,特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列,这里可用列举法写出各种可能,然后由独立事件的概率公式计算出概率.18.(1)时,有一个零点;当且时,有两个零点;(2)见解析【解析】
(1)利用的导函数,求得的最大值的表达式,对进行分类讨论,由此判断出的零点的个数.(2)由,得到和,构造函数,利用导数证得,即有,从而证得,即.【详解】(1),∴当时,,当时,在上递增,在上递减,.令在上递减,在上递增,,当且仅当时取等号.①时,有一个零点;②时,,此时有两个零点;③时,,令在上递增,,此时有两个零点;综上:时,有一个零点;当且时,有两个零点;(2)由(1)可知:,令在上递增,.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.19.(1)(2)证明见解析;定点坐标为【解析】
(1)由条件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【详解】(1)由题有,.∴,∴.∴椭圆方程为.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此时满足∴∴直线恒过定点【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.20.(1)(2),的最小值为.(3)时,面积取最小值为【解析】
(1),利用三角函数定义分别表示,且,即可得到关于的解析式;,,则,即可得到的范围;(2)由(1),若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,设为,令,则,即可设,利用导函数判断函数的单调性,即可求得的最大值,进而求解;(3)由题,,则,设,,利用导函数求得的最大值,即可求得的最小值.【详解】解:(1),故.因为,所以,,所以,又,,则,所以,所以(2)记,则,设,,则,记,则,令,则,当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,故当时取最小值,此时,的最小值为.(3)的面积,所以,设,则,设,则,令,,所以当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,故当,即时,面积取最小值为【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.21.(1)1;(2)见解析【解析】
(1)分别求得与的导函数,由导函数与单调性关系即可求得的值;(2)由(1)可知当时,,当时,,因而,构造,由对数运算及不等式放缩可证明,从而不等式可证明.【详解】(1)∵函数在上单调递减,∴,即在上恒成立,∴,又∵函数在上单调递增,∴,即在上恒成立,,∴综上可知,.(2)证明:由(1)知,当时,函数在上为减函数,在上为增函数,而,∴当时,,当时,.∴∴即,∴.【点睛】本题考查了导数与函数单调性关系,放缩法在证明不等式中的应用,属于难题.22.(1)①极小值为1,无极大值.②实数k的值为1.(2)【解析】
(1)①将代入可得,求导讨论函数单调性,即得极值;②设是函数的一个“F点”()
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