《向量的数量积》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

平面向量及其应用

向量的数量积1．能够从代数和几何两个角度描述向量数量积的概念，能初步运用向量数量积的定义解决简单问题．2．通过对数量积及其几何意义的探究，体验类比学习的研究方法，体会数形结合、一般与特殊等数学思想方法．3．能够认识运算是中学教学的一条主线，进一步感受数学和其他学科之间的联系及相互促进的作用，透过向量这扇窗领略数学知识的优美的结构体系．平面向量数量积的定义及其几何意义．平面向量数量积的定义及其几何意义的探究和理解过程．回顾之前的内容，我们已经学习了向量的加法和减法，请你归纳一下它们的结果有什么共同的特点？我们从物理学中的矢量合成得出了向量加法的平行四边形法则（力的合成模型）和三角形法则（位移的合成模型），向量的减法为向量加法的逆运用或者认为是一个向量与另一个向量的相反向量的和．所以它们的结果都遵循矢量加减法则．向量的加法向量的减法ABaABaABaDbCa+bCbDba+bCa-ba-b类比数和式的运算，我们自然会提出这样的问题：向量和向量之间有没有“乘法”呢？那么，在物理学中有没有关于向量乘法的“原型”呢？答案：有．一个物体在力的作用下产生位移，力对物体做的功．

1.零向量有没有数量积呢？应该如何定义？

两个向量的数量积的结果不再是向量，而是数量；向量的数乘结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数．物理学中“求力做的功”是两个矢量间的运算结果，在数学上，矢量不考虑作用点就是向量，如果是两个向量，你能根据物理实例来类比推出这种新的运算吗？思考后完成下表并归纳总结．两个矢量F和s两个非零向量a和b？？

OABabb

2.向量数量积有哪些注意点？根据前面学习向量运算的经验，我们可以从哪些角度认识向量的数量积？

向量的数量积是一个数量，那么这个数何时为正、何时为负呢？分步

答案：向量数量积的符号由两个向量夹角的余弦值决定．

数量积的运算律有哪些？

数量积的运算律满足交换律吗？分类讨论数量积满足与数乘的结合律吗？交换律与数乘的结合律数量积满足加法分配律吗？关于加法的分配律

第1步，做图如下，

=a，

=b，

=a+b，

=c，过点A作直线OC的垂线，垂足为点D，过点B直线OC的垂线，垂足为点E．

OCEDcBAba

试着用所学的内容推导数量积的性质．若e是单位向量，如何表示向量a与向量e的数量积？

数量积的性质：

如何求两个非零向量a和b夹角得余弦值？

结合上述两个定义，说说平面向量数量积与投影向量和投影数量的关系．

平面向量数量积运算律和性质的概括0105040203性质

010203运算律

与数乘的结合律：关于加法的分配律：

判断正误并说明理由？向量积的运算法则数量积的性质．判断依据零向量与任一向量的数量积为0．

利用运算律直接求出数量积，作图表示出投影数量再利用几何关系求解．

（2）做图如下，作

，

，过点B作直线OA的垂线。垂足为B1，则

．所以向量b在a方向上的投影数量为

．

运用投影数量的运算律直接计算．解：

故选D．D

故选B．B

故选A．A

故选C．C

1.从向量角度看，数量积是向量与向量之间的一种新运算，数量积运算既有数量关系的表达式，又有明显的几何意义；2.从知识间联系的观点看，数量积的表达式中有向量、向量的模、向量的夹角，融合了以前的所有运算；3.从解决问题角度看，在一定条件下，可以运用向量的数量积，用代数运算的方法求向量的模的大小、向量夹角的大小，进而可以解决几何问题中的有关平行、垂直的证明或求角度等问题．课堂小结定义和意义

运算律和性质向量的数量积