《利用数量积计算长度和角度》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

平面向量及其应用

利用数量积计算长度和角度1．进一步熟悉向量数量积的定义及其坐标表示；2．会利用向量数量积解决有关的长度与夹角等综合问题．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．能运用向量数量积的坐标表达式表示向量的模与夹角，会判断两个向量的垂直关系．回顾一下平面向量的数量积、模、夹角、平行、垂直的坐标表示．数量积

2.向量夹角4.向量平行1.向量的模和两点间的距离3.向量垂直

．

设a=(x，y)，则

．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，．我们知道，向量的数量积是研究几何图形度量和位置关系问题的有力工具，根据已学知识，向量数量积可以表示垂直、平行，那么我们还可以运用向量的数量积运算解决平面几何中的什么问题呢？利用向量数量积解决长度问题．利用数量积解决两向量夹角的问题．．

数量积的用途判断正误并说明理由？数量积的坐标运算法则和性质数量积坐标表示的实际运用．判断依据

公式的满足条件是

，所以向量a和向量b必须是非零向量才满足此夹角公式．

因为在直角三角形ABC中，若B为直角，则

，否则等式不成立．

依题意有

，又，

解：用向量方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

第2步，由图可得，．因此．同理．

所以．即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．第1步，做图如下，已知：四边形ABCD为平行四边形，求证

．

解：

如图，已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试用向量的方法判断ABC的形状．依题可得，，于是．所以，，即ABC是直角三角形．

解：

已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a=e1+e2，b=e2-2e1的夹角．所以向量a和向量b的夹角为120°．利用向量夹角的定义式进行求解，要注意两个向量的夹角的范围是

．

解：因为，所以

，

，，于是，又．

构造函数法建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，再应用向量的数量积公式转化为有关量的函数，结合自变量的取值范围求函数的值域．利用数量积计算长度和角度的方法1234坐标法建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，若a=(x，y)，则

．

公式法设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，利用夹角定义式或者坐标公式

求解两个向量的夹角．

故选C．C

故选A．A

所以．

解：由题意可得a=(1，0)，

，所以．

所以．

故选D．D

同一平面上三个单位向量a，b，c两两夹角都是120°，则a-b与a+c的夹角是().A.

60°

B.15°C.120°D.30°解：由题意可得

，，

．所以

，．所以．由向量夹角公式可得．又，所以a-b与a+c的夹角为30°．

yxAOC解：设D(t，0)

，又．所以，所以．所以当时，取得最小值．利用向量方法解决平面几何中的长度、夹角等问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立平面直角坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.课堂小结计算长度的方法计算角度

的方法利用数量积计算长度和角度结构框图构造函数法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，再应用向量的数量积公式转化为有关量的函数，结合自变量的取值范围求函数的值域．

坐标法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，若a=(x，y)，则