名师课件：高中数学人教B版 必修 第三册 两角和与差的余弦

8.2.1两角和与差的余弦课标阐释

1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,掌握用向量证明问题的方法,进一步体会向量法的作用.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题.思维脉络

激趣诱思知识点拨某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A,测得A,C两点间的距离约为60米,从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°,求这座电视发射塔的高度.设电视发射塔的高度CD=x,则AB=AC·cos15°=60cos15°,BC=ACsin15°=60sin15°,BD=AB·tan60°=60·cos15°·tan60°=60cos15°,∴x=BD-BC=60cos15°-60sin15°.如果能求出cos15°,sin15°的值,就可求出电视发射塔的高度.问题:1.30°=60°-30°,那么cos30°=cos60°-cos30°成立吗?类似的15°=45°-30°,那么cos15°=cos45°-cos30°成立吗?∀α,β∈R,cos(α-β)=cosα-cosβ成立吗?2.如何用α,β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢?激趣诱思知识点拨知识点:两角和与差的余弦公式

名

称公

式简记两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβCα+β两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβCα-β激趣诱思知识点拨名师点析

两角和与差的余弦公式的常见变形应用

激趣诱思知识点拨微练习cos15°=

.

微判断(1)cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)(2)cos(α+β)=cosα+cosβ.(

)(3)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ对任意α,β都成立.(

)答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√探究一探究二探究三素养形成当堂检测两角和与差的余弦公式的简单应用

分析(1)先把615°转化为两个特殊角的差,再进一步转化利用两角和的余弦公式求解.(2)先利用诱导公式对角进行转化,再逆用两角差的余弦公式求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案(1)D

(2)B反思感悟

利用两角和与差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路(1)先把非特殊角转化为特殊角的和或差,再用公式直接求值;(2)充分利用诱导公式,构造两角和与差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测给值求值问题

分析将β转化为(α+β)-α,再利用公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

给值求值问题的两个主要技巧一个是已知角的某一三角函数值,求该角的另一三角函数值时,应注意角的终边所在的象限,从而确定三角函数值的正负.二是注意变角,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式:探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测给值求角问题分析利用两角和的余弦公式求α+β的余弦值,并结合角α+β的范围进行求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

解决给值求角问题的策略求角时,先根据已知条件求出角的余弦值,然后根据已知条件求出角的范围,从而确定角的大小.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测角的变换技巧的应用角的变换是三角恒等变换的首选方法.在进行三角恒等变换时,对角与角之间的关系必须进行认真的分析.(1)分析角之间的和、差、倍、分关系,例如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),(2)在非特殊值角的三角函数式化简中,要特别注意能否产生特殊角.(3)熟悉两角互余、互补的各种形式,如α+β=,α+β=π,正确掌握诱导公式的正用、逆用、变形用.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛

三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换,而角的变换主要体现了拆角与凑角的方法.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.在△ABC中,已知cosAcosB>sinAsinB,则△ABC一定是(

)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形解析由cos

Acos

B>sin

Asin

B得cos