名师课件：高中数学人教B版 必修 第二册 对数运算

4.2.1对数运算激趣诱思知识点拨某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…….问题:依次类推,那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?分裂多少次得到细胞个数为8个,256个呢?如果已知细胞分裂后的个数N,如何求分裂次数呢?激趣诱思知识点拨知识点一、对数的概念1.对数的定义:在表达式ab=N(a>0,且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数.2.两种特殊的对数:名称定义常用对数将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lgN.自然对数e是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.把以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记作lnN.激趣诱思知识点拨名师点析1.“log”同+,-,×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.2.在对数符号logaN中,为什么规定a>0,a≠1,N>0呢?这是因为:(1)若a<0,则b取某些数值时,N不存在;(2)若a=0,则当N≠0时,logaN不存在,当N=0时,logaN有无数个值,与函数定义不符;(3)若a=1,则当N≠1时,log1N不存在,当N=1时,log11有无数个值,与函数定义不符.依据对数定义,N是指数幂,故N>0.激趣诱思知识点拨微思考任何一个指数式都可以化为对数式吗?提示:不是,如(-3)2=9,不能写成log(-3)9=2.激趣诱思知识点拨微练习

答案:(1)B

(2)D激趣诱思知识点拨知识点二、对数的基本性质1.对数与指数的关系(a>0,且a≠1,N>0)指数表达式ab=N与对数表达式b=logaN实际上表示的是同一数量关系,如果把对数表达式中的b代入指数表达式,则可得

=N;类似地,如果把指数表达式中的N代入对数表达式,则有logaab=b.2.对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)对于任意的a>0且a≠1,都有激趣诱思知识点拨名师点析1.=N(a>0,且a≠1,N>0)的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数.2.loga1=0(a>0,且a≠1),logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.激趣诱思知识点拨微练习

(2)若log3(log2x)=0,则x=

.

解析:(2)由已知得log2x=1,故x=2.答案:(1)D

(2)2探究一探究二探究三当堂检测对数式与指数式的互化例1将下列指数式与对数式互化:分析:利用当a>0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.logaN=b与ab=N(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图:2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1将下列指数式与对数式互化:探究一探究二探究三当堂检测利用对数式与指数式的关系求值例2求下列各式中x的值:(1)4x=5·3x;(2)log7(x+2)=2;(3)lne2=x;(4)logx27=;(5)lg0.01=x.分析:利用指数式与对数式之间的关系求解.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟指数式ax=N与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个量时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个量.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2求下列各式中的x值:(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.探究一探究二探究三当堂检测利用对数的基本性质求值例3求下列各式中x的值:(1)ln(log2x)=0;(2)log2(lgx)=1;分析:利用对数基本性质求值.解:(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.(2)∵log2(lg

x)=1,∴lg

x=2,∴x=102=100.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0,a≠1);(3)logaa=1(a>0,a≠1);(4)=N(a>0,且a≠1,N>0)进行对数的化简与求值.探究一探究二探究三当堂检测变式训练3求下列各式中x的值;探究一探究二探究三当堂检测1.对数式log(a-2)(5-a)中实数a的取值范围是(

)A.(-∞,5) B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞)解析:要使对数式b=log(a-2)(5-a)有意义,解得a∈(2,3)∪(3,5),