精密仪器设计随机信号处理

关于精密仪器设计随机信号处理第一页，共五十五页，2022年，8月28日随机信号处理雷达、通信、自动控制、随机振动、地震信号处理、图像处理、气象预报、生物电子等第二页，共五十五页，2022年，8月28日

测量过程就是信号与噪声通过测量系统的过程。在实际应用中，不仅仅是噪声，就连信号也可能是随机的，因此对随机信号与随机噪声的分析是必须的。

随机过程：

定义：把随时间而变化的随机变量称为随机过程。

特点：1不可预知；2不能用时间函数描述；

随机信号处理第三页，共五十五页，2022年，8月28日如：某通信机，在相同的工作环境和测试条件下记录其的输出噪声波形，所得记录为如图无穷多个记录中的一个。随机信号处理第四页，共五十五页，2022年，8月28日

[概念一]：每一个波形称为某个记录（实现、或样本）。它们均以某一概率出现。这无穷多个记录的总和，构成了随机过程随机信号处理第五页，共五十五页，2022年，8月28日[概念二]：某一时刻t1的取值只能是 中的某一个值（不可预知），构成了一个随机变量；同理，亦是一个随机变量；这无穷多个随机变量 的集合，亦构成了随机过程；

随机信号处理第六页，共五十五页，2022年，8月28日[结论]：随机过程可视为：随机信号处理第七页，共五十五页，2022年，8月28日振动信号

随机信号处理第八页，共五十五页，2022年，8月28日可重复性，可以在同一条件下多次重复随机信号处理第九页，共五十五页，2022年，8月28日结果的可限定性，具有确定的结果范围随机信号处理第十页，共五十五页，2022年，8月28日

如果随机过程的统计规律不随时间而改变，则称为平稳随机过程，否则称为非平稳随机过程。若一个随机过程在某一时刻的所有样本的统计特征和单一样本在长时间内的统计特征一致，则称为各态历经（或各态遍历）的随机过程，否则是非各态历经的随机过程。随机信号处理第十一页，共五十五页，2022年，8月28日对于平稳的各态历经的随机过程，从总体各样本中所能获得的信息并不比从单个样本获得的信息多，因此在实际应用中，只要对一个样本进行分析计算，就可以得知随机过程的统计特征。随机信号处理第十二页，共五十五页，2022年，8月28日

主要内容均值、均方值、方差一

概率密度函数和概率分布函数二

相关函数和协方差三功率谱密度四白噪声和有色噪声信号五第十三页，共五十五页，2022年，8月28日一、均值、均方值、方差

对于各态历经连续随机信号x(t)的数学期望E[x(t)]，可以用一个样本的时间平均即均值求得，即

数学期望E[x(t)]也称随机信号的均值，描述了随机信号中的静态分量或称直流分量。由于不同时刻有不同的数学期望，所以是x(t)在各个时刻的摆动中心，故又称为一阶原点矩。第十四页，共五十五页，2022年，8月28日

描述随机信号随时间变化的量有均方值和方差。均方值表示为

均方值反映了随机信号x(t)的强度和功率，它也可看作是随机信号对零值波动的分量，因此也称为x(t)的二阶原点矩。均方值的正平方根称为均方根值，又称有效值，它也是信号平均能量的一种表达。一、均值、均方值、方差第十五页，共五十五页，2022年，8月28日

方差是随机信号x(t)相对均值波动的分量，表示为

方差反映了随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，方差又称为x(t)的二阶中心矩。方差越大，随机信号x(t)各样本值的分散程度也越大。一、均值、均方值、方差第十六页，共五十五页，2022年，8月28日

均值、均方值、方差之间有如下关系一、均值、均方值、方差第十七页，共五十五页，2022年，8月28日

对于各态历经平稳随机信号序列x(n)的均值、均方值和方差分别定义为一、均值、均方值、方差第十八页，共五十五页，2022年，8月28日

二、概率密度函数和概率分布函数

概率密度函数表示随机信号x(t)瞬时值落在x值附近Δx范围内的概率密度，若对某一随机信号x(t)进行观察，T为观察时间，Tx为T时间内x(t)落在(x，x+Δx)区间内的总时间，其幅值落在(x，x+Δx)区间内的慨率可以用Tx/T反映，当T→∞，其概率为

而随机信号x(t)的概率密度函数定义反映了信号幅值落在某一极小范围（Δx→0）内的概率，其表达式第十九页，共五十五页，2022年，8月28日

二、概率密度函数和概率分布函数第二十页，共五十五页，2022年，8月28日

二、概率密度函数和概率分布函数第二十一页，共五十五页，2022年，8月28日

概率分布函数是信号瞬时值小于或等于某指定值的概率，表示为

因此有二、概率密度函数和概率分布函数第二十二页，共五十五页，2022年，8月28日

在测试技术中，许多随机信号服从或近似服从正态分布，并且大量独立随机分量的叠加近似服从正态分布，正态分布是最常用的一种分布，其概率密度函数和概率分布函数分别为二、概率密度函数和概率分布函数第二十三页，共五十五页，2022年，8月28日

连续随机信号的均值、均方值、方差与概率密度之间存在如下关系（一阶原点矩） （二阶原点矩） （二阶中心矩） 二、概率密度函数和概率分布函数第二十四页，共五十五页，2022年，8月28日

对于离散随机信号序列的情况，如果信号序列x(n)在幅值上是量化了的，设量化单位为Q，是幅值落在到之间的序列点数，N是被观察序列的总长度，则概率密度函数为

在数字信号处理中，常用无因次表示概率密度，即为二、概率密度函数和概率分布函数第二十五页，共五十五页，2022年，8月28日

概率分布函数为

二、概率密度函数和概率分布函数第二十六页，共五十五页，2022年，8月28日

若被观察信号的长度N有限，则只能得到均值、均方值、方差、概率密度函数和概率分布函数在该序列长度内的估计值二、概率密度函数和概率分布函数第二十七页，共五十五页，2022年，8月28日

三、相关函数和协方差平稳随机信号x(t)的自相关函数定义为

自相关函数反映了x(t)的幅值在t和t+

两个不同时间点上瞬时值之间的关联性。在实际计算中，不可能对无限长信号进行积分计算，一般用有限长样本作其估计第二十八页，共五十五页，2022年，8月28日

三、相关函数和协方差

若将x(t)的均值扣除，则所得的自相关函数称为自协方差，表示为第二十九页，共五十五页，2022年，8月28日

三、相关函数和协方差第三十页，共五十五页，2022年，8月28日

三、相关函数和协方差

两个不同随机信号x(t)和y(t)之间的互相关联的特性用互相关函数和互协方差函数表示，互相关函数定义为

互协方差函数定义为第三十一页，共五十五页，2022年，8月28日

三、相关函数和协方差

由于信号x(t)和y(t)本身的取值大小导致计算相关函数结果取值的大小，因而在比较不同的两组随机信号相关程度时，仅视其相关函数值大小是不确切的。为了避免信号本身幅值对其相关性程度量的影响，就将相关函数作归一化处理，引入一个无量纲的函数：相关系数函数，其定义是若，说明x(t)与y(t)完全相关；

若，说明x(t)与y(t)完全不相关；若说明x(t)与y(t)部分相关。第三十二页，共五十五页，2022年，8月28日

三、相关函数和协方差随机信号序列x(n)的自相关函数定义为自协方差函数定义为随机信号序列x(n)和y(n)的互相关函数定义为第三十三页，共五十五页，2022年，8月28日三、相关函数和协方差互协方差函数定义为第三十四页，共五十五页，2022年，8月28日

四、功率谱密度

随机信号是在时间上无始无终地向正负方向无限延伸的、具有无限大能量的信号，它显然不满足狄里赫利条件，不存在傅里叶变换，因此不可能用频谱在频域上对随机信号进行分析处理，但可以认为它是一种功率信号，这与确定性周期信号相似，可以用信号的平均功率相对频率的分布情况，即功率谱密度来分析描述随机信号在频域上的特性。第三十五页，共五十五页，2022年，8月28日

设x(t)为平稳随机信号，则x(t)的自相关函数为

自相关函数的傅里叶变换为

其反变换为

当

=0时，由式（1）和（2）可得（1）（2）（3）（4）四、功率谱密度第三十六页，共五十五页，2022年，8月28日四、功率谱密度上式左边可理解为随机信号电压x(t)通过单位电阻时产生的平均功率，因此，由积分的意义，

可看成x(t)的平均功率相对频率的分布函数，所以称为双边自功率谱密度，简称功率谱密度。第三十七页，共五十五页，2022年，8月28日四、功率谱密度则

令，则

上式中的也是功率谱密度，它反映了x(t)在正频率轴上的功率分布状况，称之为单边功率谱密度。由于是实偶函数，有第三十八页，共五十五页，2022年，8月28日

四、功率谱密度第三十九页，共五十五页，2022年，8月28日四、功率谱密度

两个随机信号频域特性的相互关系用互功率谱密度来描述，互功率谱密度与互相关函数也是一对傅里叶变换对，为

同样为双边互功率谱密度，是单边功率谱密度。第四十页，共五十五页，2022年，8月28日四、功率谱密度

由于互相关函数不一定是偶函数，也不一定是奇函数，所以互功率谱密度具有复数形式上式中

称为共谱密度函数，称为重谱密度函数。第四十一页，共五十五页，2022年，8月28日四、功率谱密度

对于离散随机信号序列的自功率谱密度

与自相关函数为

其中Ω=ωTs，Ts为采样周期。第四十二页，共五十五页，2022年，8月28日四、功率谱密度

为实偶函数，从而有

同样地，互功率谱密度与互相关函数也是一对傅里叶变换对

第四十三页，共五十五页，2022年，8月28日

五、白噪声和有色噪声信号

在测试系统中，除有用信号外的一切不需要的信号和干扰都可称为噪声。但通常，噪声是指随机产生的各种干扰。如某些电气设备在工作时发出的电磁干扰，自然界的雷电干扰，以及电子元器件中由于电子等的无规则运动而产生的起伏噪声等。各种噪声按其不同的发生机制而有不同的特性。这里主要讨论测试系统中最常见的噪声信号即白噪声和有色噪声。第四十四页，共五十五页，2022年，8月28日

五、白噪声和有色噪声信号

理想的白噪声是指对所有的频率其功率谱密度都是一非零常数的随机过程，即

其自相关函数为第四十五页，共五十五页，2022年，8月28日

五、白噪声和有色噪声信号

白噪声信号的自相关函数和功率谱密度如图所示。白噪声在τ=0时，其自相关函数为无穷大，在τ≠0时，Rx(τ)=0，即表明白噪声x(t)在t1≠t2（t2=t1+τ）时，x(t1)与x(t2)是不相关的。白噪声信号的自相关函数和功率谱密度第四十六页，共五十五页，2022年，8月28日

五、白噪声和有色噪声信号

如果噪声不是白噪声，功率谱为有限带宽，通常称为有色噪声，有色噪声的情况有多种多样，若设某类有色噪声的自相关函数为

对Rn(τ)作傅里叶变换，可得该有色噪声的功率谱为第四十七页，共五十五页，2022年，8月28日

五、白噪声和有色噪声信号

该有色噪声的功率谱和自相关函数如图所示。利用相关函数的特性从背景噪声中提取周期信号。如一个周期信号，其相关函数也是周期的，而白噪声的自相关函数是非周期的。有色噪声的功率谱和自相关函数第四十八页，共五十五页，2022年，8月28日

五、白噪声和有色噪声信号

设信号是由周期信号p(t)和白噪声n(t)所构成，为且信号p(t)和白噪声n(t)相互统计独立，从而有当τ≠0时，则有所以，可以通过测算Rx(τ)，就能确定周期信号p(t)是否存在。第四十九页，共五十五页，2022年，8月28日五、白噪声和有色噪声信号

若信号

是随机相位正弦波，则其自相关函数为若信号p(t)和有色噪声n(t)相互统计独立，则第五十页，共五十五页，2022年，8月28日五、白噪声和有色噪声信号

上式运算所得的自相关函数表示成如图所示。由图和上式可知，τ增加到足够大时，信号x(t)的自相关函数只取决于周期信号p(t)的自相关函数，可以利用这一结果的特征判断周期信号是否存在