第十七章动力学普遍定理

工程力学第十七章§17–1动量定理§17–2动量矩定理§17–3动能定理§17–4动力学普遍定理的综合应用第十七章动力学普遍定理§17–1动量定理第十七章动力学普遍定理

在前面一章讨论的是质点动力学基本方程，而从本章起将讨论的是动力学普遍定理。它包括质点与质点系的动量定理、质心运动定理、质点与质点系的动量矩定理、质点与质点系的动能定理等。§17-1动量定理第十七章动力学普遍定理⒈质点动量定理的微分形式由质点动力学基本方程，有则（17－1）质点的质量m与速度v的乘积称为质点的动量，质点的动量对时间的一阶导数等于作用在该质点上的力。这就是微分形式的质点动量定理质点动量定理第十七章动力学普遍定理⒉质点动量定理的积分形式在t1与t2时刻，

（17－3）

写成微分形式

（17－2）

这是微分形式的质点动量定理

称之为冲量。

式中—质点动量；矢量，其大小等于质点的质量m与它在某瞬时速度v的乘积，其单位或。第十七章动力学普遍定理上式表明，在任一段时间内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同一段时间的冲量。这就是质点动量定理的积分形式，又称为质点的冲量定理。

（17－4）称为力（时间的函数）在时间间隔（）内的冲量。冲量是矢量，它的运算按矢量运算法则进行，亦即，在任一段时间内，合力的冲量等于各个分力的冲量的矢量和，单位。

（17－3）在直角坐标轴上的投影形式为

第十七章动力学普遍定理（17－5）

⒊质点动量守恒

1、若作用于质点上的力为零，，则有，则质点动量保持不变。2、若，则有。第十七章动力学普遍定理有几个质点组成的质点系，内力、外力。对i质点有将质点系中每个质点的动量定理相加有内力，故

质点系的动量定理第十七章动力学普遍定理各质点动量的矢量和，质点系的动量用K表示。（17－6）

于是有：

（17－7）

上式称为质点系动量定理的微分形式，即质点系的动量（主矢）对时间的导数，等于作用于该质点上所有力的主矢。

投影在直角坐标轴上：

第十七章动力学普遍定理（17－8）

将（17－7）改成

质点系动量的微分等于质点系所受外力系的动量的矢量和。

积分后有：

改写为：

（17－9）第十七章动力学普遍定理上述即为质点系动量定理的积分形式，又称冲量定理。即，质点系动量在某时间间隔内的改变量，等于各质点系所受全部外力在同一时间间隔内动量的矢量和。在坐标轴上投影有：

（17－10）上式表明：在某一时间间隔内，质点系动量在任一固定轴上投影的改变量，等于作用于质点系的外力动量在同轴上投影的代数和。

易用动量定理解决的问题有：流体流过弯曲管道、射流对障碍物表面的压力及碰撞问题等。第十七章动力学普遍定理【解】考虑小球，取坐标轴xoy根据投影的质点动量定理代入数值得：Sx、Sy正值，方向与所做一致例17质量为1kg的小球，以的速度与一固定水平面相碰，其方向与铅垂线成角。设小球弹跳的速度为，其方向与铅垂线成角，如图所示，试求作用于小球上的动量的大小和方向。(a)(b)其方向：第十七章动力学普遍定理例17机车的质量为，车辆的质量为，它们系通过相互撞击而挂钩的。若挂钩前，机车的速度为，车辆处于静止，如图（a）所示。求（1）挂钩后的共同速度；（2）在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。设挂钩时间为秒，轨道是光滑和水平的。（a）第十七章动力学普遍定理【解】

以机车和车辆为研究对象。它们在撞击过程中相互作用力是内力，作用在系统上的外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外，无其它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的动量在水平轴x方向是守恒的。（1）（a）第十七章动力学普遍定理（2）以机车为研究对象，如图（b）所示。

由此的动量S的大小为：

从而求得平均撞击力为：

（b）第十七章动力学普遍定理⒈质量中心组成质点系各质点的质量及其在空间位置是不同的，表征质点系的各质点的质量及其位置分布情况的一个几何点称为质量中心，简称质心。确定质心位置的方法与重心类似（同第四章）

（17－11）

c质心运动定理第十七章动力学普遍定理而其坐标公式：

（17－12）质心和重心是两个不同的概念，质心是质点系质量中心，质心只取决于质量的分布情况，与质点系所受力无关。质心和重心只有在重力场中才重合为一个点。

第十七章动力学普遍定理质点系的动量：质点系的动量等于质点系中所有各质点的动量的矢量和。iivmp=Mvå=由质心位置公式：则（质量不随时间变化）即：质点系的动量等于质点系的质量与其质心速度的乘积：dtrdvii=dtrdmvmpiiiiåå==

rmrm

Cii=åCiirmdtdrmdtdp=å=∴CCvmdtrdmp==（17－13）投影在直角坐标轴上：

例17图示质点系的动量。

c（a）oc（b）R（c）Rc（d）（a）

（b）

（c）

（d）

第十七章动力学普遍定理⒉质心运动定理

对式（17－13）求导数：

（17－13）（17－14）

又由质点系动量定理，式（17－7）：则：（17－15）第十七章动力学普遍定理或（17－16）

上式称为质心运动定理。即，质点系的总质量与质心加速度的乘积等于质点所受外力的矢量和。对于刚体或刚体系统，由于刚体的质心位置难以确定，故用比较方便。投影形式：（17－17）第十七章动力学普遍定理或

（17－18）质心运动定理表明：质心的运动只取决于外力，而与内力无关，也与外力是否作用在质心无关。⒊质心运动守恒定理由

，若，则，常矢量。第十七章动力学普遍定理即，若作用于质点系的外力系主矢恒等于零，则质心作惯性运动，若质心的初始速度也等于零，，则常矢量。即质心位置静止。若，则，常数，即质心在x轴上守恒，又若v0在x轴上投影也为零，则常数，质心在x轴方向静止。上述的质心运动守恒和质心位置守恒，通常称为：质心运动守恒定理。第十七章动力学普遍定理[例]asblm1gm1gm2gm2gx已知：a、b、l、m1、

m2、求：船的位移s。解：[例]匀质杆长为l,质量为m,当细绳被突然剪断时，杆子的角加速度为α，角速度为零，求支座A处的反力。ABlαmgFAxFAy解：[例]θACBD已知：轮子A的质量为m1，物块B的质量为m2，三角块D放置在光滑面上，三角块D和轮子C的质量不计，物块B以加速度a

上升，求地面凸出处给三角块的水平作用力。m2gm1gFxFy解：aaxy

解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。

练习：

浮动起重船,船的重量为P1=200kN,起重杆的重量为P2=10kN,长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN。设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60º,水的阻力不计,求起重杆OA与铅直位置成角2

=30º时船的位移。受力分析如图示，，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。船的位移x１，杆的位移重物的位移计算结果为负值，表明船的位移水平向左。§17–2动量矩定理第十七章动力学普遍定理引言均质轮受外力作用而绕其质心O作定轴转动，它有角速度和角加速度，但对于轮的动量为：外力的矢量和为：这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动是的运动。第十七章动力学普遍定理oθ一、质点的动量矩动量矩：动量对某点（轴）之矩。1、质点对某点之矩：质点在某瞬时的动量对O点之矩定义为质点在某瞬时对点O的动量矩。A一、质点的动量矩定理质点A对点O的动量矩：第十七章动力学普遍定理质点A对点O的动量矩：质点A对Z轴的动量矩：

方向：是代数量，它的正负可以通过右手定则判断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。单位：大小：第十七章动力学普遍定理动量矩定理二、质点的动量矩定理设有质点A，受外力作用，由牛顿第二定律：o且在等式两边同时叉乘矢径第十七章动力学普遍定理左式：其中：其中：第十七章动力学普遍定理o－－质点对点的动量矩定理即：质点对任一点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该点之矩。第十七章动力学普遍定理上式向坐标轴投影后得：即：质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该轴之矩。－－质点对轴的动量矩定理第十七章动力学普遍定理一、质点系动量矩1、对点的动量矩：2、对轴的动量矩（即上式在各轴上的投影）：3、刚体的动量矩（1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。对点的：对轴的：二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理质点系中某质点对固定点的动量矩定理为：质点系对固定点的动量矩定理为：其中：第十七章动力学普遍定理－－质点系对固定点的动量矩定理即：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于质点系的外力对该点之矩的矢量和。上式向轴投影后的：－－质点系对固定轴的动量矩定理即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于质点系的外力对该轴之矩的矢量和。第十七章动力学普遍定理三、动量矩守恒定理若：则（常量）若：则（常矢量）第十七章动力学普遍定理运动分析：由动量矩定理：解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。单摆，已知m，l，t=0时=0，从静止开始释放。求单摆的运动规律。[例]即：注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：

（1）在质点受有心力的作用时。（2）质点绕某心（轴）转动的问题。摆动周期：微幅摆动时，并令，则解微分方程：则运动方程为：代入初始条件A=0，B=0OθM[例]

卷扬机，鼓轮半径为R，质量m1，转动惯量J，作用力偶M，小车质量m2，不计绳重和摩擦，求小车的加速度a。解：运动分析和受力分析ωPnvPrFNP1P2FxFy刚体的转动惯量刚体对某轴的转动惯量：刚体内各质点质量与各质点到轴的矢径大小平方的乘积之和。单位：一、简单形状刚体的转动惯量1、均质杆对质心轴的转动惯量单位长度的质量为：2、均质薄圆环对过圆心轴的转动惯量单位弧长的质量为：取微弧长为：Z3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量可将圆盘分割成无数小的圆环，则各圆环质量为：第十七章动力学普遍定理另外：二、平行移轴定理计算复杂形状刚体转动惯量平行移轴定理：即：刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对过其质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。第十七章动力学普遍定理例1：求均质细直杆对过其端点O的轴的转动惯量。解：第十七章动力学普遍定理定轴转动刚体对转动轴的动量矩：定轴转动刚体对z轴的转动惯量平面运动刚体的动量矩平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一固定轴的动量矩为：即：其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时对该轴的动量矩之和。第十七章动力学普遍定理圆盘对过其质心轴的转动惯量：杆对过点对过点O的轴的转动惯量，用平行移轴定理求得：例2：求钟摆对过点O的轴的转动惯量。解：杆对过点对过点O的轴的转动惯量：刚体的运动微分方程对转动轴的动量矩为：动量矩定理：且－－刚体定轴转动时的运动微分方程一、定轴转动刚体的运动微分方程第十七章动力学普遍定理二、平面运动刚体的运动微分方程刚体相对质心轴的动量矩定理为刚体质心运动的运动微分方程为－－－－（2）－－－－（1）（1）、（2）式共同成为刚体平面运动的运动微分方程为第十七章动力学普遍定理例12-1已知：,小车不计摩擦.求小车的加速度.解:由,，得第十七章动力学普遍定理[例]rxCMαaCFNmgF均质圆轮半径为r，质量为m，沿水平直线滚动，轮的惯性半径为ρC，作用于圆轮的力偶矩为M。（1）求轮心的加速度。（2）如果圆轮对地面的静滑动摩擦系数为fs，问M应满足什么条件使圆轮只滚不滑。解：（1）运动分析和受力分析。（1）（2）（3）α和M均以顺时针为正。（1）（2）（3）（2）只滚不滑的条件：

动量定理和动量矩定理是用矢量方法，根据质点系的运动量与质点系所受外力的关系，研究动力学问题。动能定理则是用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传递的规律。17–3动能定理57力的功是代数量:时,正功；时,功为零；时,负功。质点作直线运动，路程为S,(M1→M2)，力在位移方向上的投影为Fcos

，力F在路程S中所作的功为：(一)．常力的功一、力的功58元功：θ∵∴设质点M在变力F的作用下作曲线运动。将曲线分成无限多个微小段ds，力F在微段上可视为常力，所作的微小的功称为元功：(二)．变力的功（ds的方向在曲线的切线方向，与dr同向，）59力在全路程中作功为θ自然形式表达式矢量式直角坐标表达式(三)．合力的功质点M受n个力作用,合力为则合力的功

即

在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。61(四)．常见力的功质点系：

质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。质点：重力在三轴上的投影：与运动轨迹无关式中：zc1、zc2为质点系的质心坐标1．重力的功62F的方向指向弹簧自然位置。当弹簧长度增加d时，弹性力的元功：l0FdMk—弹簧的刚度系数，2．弹性力的功质点M与弹簧联接，弹簧自然长l0，现伸长δ，弹簧作用于质点的弹性力的大小与弹簧的变形量δ成正比，即：63

弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。当质点的运动轨迹为曲线时也成立：64

3．定轴转动刚体上作用力的功·力偶的功元功：当F是常力时，得※定轴转动刚体上作用力的功等于：力对转轴的矩乘以转过的角度。质点的轨迹为圆，圆的切线方向为。设刚体绕z轴转动，在M点作用有力，计算刚体转过一角度

时力所作的功。作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。65若M=常量,则如果作用力偶M,且力偶的作用面垂直转轴注意：功的正负号的确定。ωrimizM4．万有引力的功万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3)滚动摩擦阻力偶m的功

(1)动滑动摩擦力的功N=常量时,W=–f´NS,与质点的路径有关。若m=常量则5．摩擦力的功67（二）．质点系的动能动能是瞬时量,是与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲，单位也是J。二、质点和质点系的动能

物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。（一）．质点的动能682．定轴转动刚体三．刚体的动能rivimiz1．平移刚体vi=vCvi=ri69（P为速度瞬心）3．平面运动刚体CvCPd即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。——柯希尼定理；上面结论也适用于刚体的任意运动。70[例1]图示系统中,均质圆盘A、B质量均为m，半径均为R,重物D质量为m1，下降速度为v。求重物D、圆盘A、B的动能。解：重物D：圆盘A：m1gmgmgvC71圆盘B：m1gmgmgvCvvC721．质点的动能定理：动能定理的微分形式将上式沿路径积分，动能定理的积分形式两边点乘以，三、动能定理73对质点系中的一质点：将上式沿路径积分，可得质点系动能定理的积分形式对整个质点系，有：2．质点系的动能定理

质点系动能定理的微分形式∴3.质点系内力的功

只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。刚体内力的功刚体上任意两点间的距离保持不变，沿着两点连线的位移必定相等，故这一对内力所作功的和等于零。于是：刚体所有内力作功的和等于零。75重物A质量为m1，轮C作纯滚动，轮C和轮B的总质量为m2，对O轴的回转半径为，求重物A的加速度。轮D和绳子的质量不计。[题]

ADCROrBvOvA解：研究对象：整体，初始静止，m1g76ADCROrBvOvAvB两边对t求导得：77图示系统中,均质圆盘A、B质量均为m，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D质量为m1。求下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)[例2]解：取系统为研究对象m1gmgmgvCa78∴∵m1gmgmgvCa79将（1）式两边对t求导得：(1)m1gmgmgvCa

动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。§12-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理动量定理动量矩动量动能定理动量方法能量方法82质点系的动量定理：质心运动定理质点系的动量矩定理刚体平面运动微分方程质点系动能定理83

[例]

基本量计算(动量，动量矩，动能)84

动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一、是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二、是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。

动力学两类问题与分析程序主动力质点系运动质点系运动动约束力非自由质点系一般分析程序：先避开未知约束力，求解运动量；然后再现在合适的定理，确定动约束力。86

两根均质杆AC和BC质量均为m，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。

[例6]

87解：研究对象：整体受力分析：代入动能定理：mg初始静止，所以水平方向质心位置守恒。mgmgFNFNvCvAvB运动分析：88均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚达到地面时的角速度和地面约束力。[例]AC解：(1)利用动能定理求角速度vCθvAP89ACvCθvAP当θ=0时解出：能否求出加速度？90AC由运动学：(2)利用刚体平面运动微分方程求地面约束力。aCmgFN在铅直方向投影：ACaCaAaCAtaCA

nACaCaA(a)(b)代入(a)联立(b),得：91(2)另一解法：ACFN(1)(2)利用刚体平面运动微分方程θ当θ=0时，aCymg92AOC物块和两均质轮的质量皆为m，轮半径皆为R，弹簧刚度为k，C轮作纯滚动。现于弹簧的原长处释放重物，求重物下降h时的速度、加速度以及C轮与地面间的摩擦力。[例]

93AOC解:(1)取整体为研究对象，利用动能定理∵94AOC由动能定理：（1）解得速度：将（1）式两端对时间求一次导数：解得加速度：95AOC（2）取C轮为研究对象：C96（2）取C轮为研究对象：应用对质心的动量矩定理：∴地面摩擦力：∵C97质量为m1=15kg的均质圆盘与质量为m2=6kg、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求AB杆经过最低位置B点时圆盘质心的速度及支座A的约