第3章-图像变换

图像变换正交变换---傅里叶变换及其性质快速傅里叶变换其他正交变换统计变换----K-L变换（霍特林变换）目的：为方便图像处理，从空间域到变换域。分类：CH.3图像变换1图像变换目的是更有效、更快速进行图像处理和分析，图像变换是多种图像处理技术的基础。图像变换可分离变换统计变换傅里叶变换及性质快速FFT其他可分离变换霍特林变换2概述与分类傅里叶变换和性质快速傅里叶变换其他图像分离图像变换霍特林变换主要内容：3傅里叶变换和性质一维傅里叶变换4一维离散傅里叶变换设N个离散序列{f(0),f(1),……,f(N-1)},x为离散变量，u为频率，可将离散傅里叶变换表示为，5傅里叶变换是虚数，可以写为：这里F(u)的模又称为傅里叶谱P(u)功率谱62D傅里叶变换7傅里叶变换及其性质定义：正变换：反变换：可以证明傅里叶变换对总存在。8其中幅度函数称傅里叶频谱，相位称为相角。频谱的平方称为傅里叶功率谱或频谱密度。类似的可以定义二维傅里叶变换9功率谱和相位可以写为：傅里叶频谱举例1011121314傅里叶变换的性质：1,可分离性152，平移特性3，周期性和共扼对称特性4，旋转特性165，分配律（线性）不满足！卷积形式6，缩放律（比例尺度变化）177,平均值8,卷积189，相关1920抽样定理假设函数是有限带宽，且频域带宽为W，那么只要采样间隔满足：则可由函数的采样数据完全恢复原函数。2122空域采样和频域采样的关系：N采样个数23二维情况：24

离散卷积

25

2-D卷积

26快速傅里叶变换

算法原理 2-D2次1-D

傅里叶变换：乘法N次，加法N-1次 重复使用exp[–j2ux/N] 快速傅里叶变换： 乘法Nlog2N次 加法(N-1)

log2(N-1)次27快速傅里叶变换算法原理：28FFT:运算次数与Nlog2N成比例。

29沃尔什变换可分离变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核

30沃尔什变换2-D可分离变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核

31沃尔什变换可分离变换性质 可分离 对称

32沃尔什变换可分离变换矩阵表达

33沃尔什变换1-D沃尔什变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核

34沃尔什变换2-D沃尔什变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核

35哈达玛变换1-D哈达玛变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核

36哈达玛变换

阶（序） 列中符号变换的次数

37哈达玛变换2-D哈达玛变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核

38哈达玛变换

哈达玛矩阵的迭代39

离散余弦变换

1-D离散余弦变换40离散余弦变换

2-D离散余弦变换413.7*

小波变换

小波 实函数g(t)，其傅里叶变换满足

小波基函数（积分核）423.7*

小波变换

小波变换对

433.7*

小波变换

小波变换特点

时间-频率都局部化

小波分解多级分解 可递归进行

44霍特林变换

霍特林变换 基于图象统计特性 （特征值变换、主分量变换、离散KL变换）

把输入图象看作一组随机矢量 求取特征矢量进行变换 解除图象数据相关

45霍特林变换（K-L变换、主成分分析）基于图像统计特性的图像变换Hotelling变换连续域：Karhumen–Loeve变换特征值按从大到小排列，由特征矢量组成变换矩阵A46可以证明：变换后的协方差矩阵：Hotelling变换的主要应用：去相关图像压缩47第3章

要点3.1节 傅里叶变换的定义和变换公式及频谱显示3.2节 傅里叶变换的一些重要性质3.3节 快速傅里叶变换的算法原理3.4节 可分离变换的概念和沃尔什变换的特点3.5节 哈达玛变换的特点3.6节 离散余弦变换3.7节 小波变换3.8节 基于图象统计特性的霍特林变换48假定f（x,y）的傅里叶变换为F(u,v),计算下面