第4章6节 高斯求积公式

§6高斯求积公式1

1.一般理论

求积公式含有个待定参数当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次.2为具有一般性，研究带权积分这里为权函数，求积公式为为不依赖于的求积系数.为求积节点，适当选取使其具有最高次代数精度3

定理n+1个节点的插值型求积公式的代数精度不超过2n+1.证：令g(x)=(x-x0)2…(x-xn)24

定义若n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精度达到2n+1次，则称此n+1个互异节点为高斯点，此求积公式为高斯型求积公式。5根据定义要使求积公式具有次代数精度，只要对当给定权函数，求出右端积分，则可解得令精确成立，6

例5

解令公式(5.3)对于准确成立，试构造下列积分的高斯求积公式：得7

由此解出从而8这样，高斯公式是由于非线性方程组较复杂，通常就很难求解.故一般不通过解方程求，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.9

定理5是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过的多项式带权正交，

证明即插值型求积公式的节点必要性.设则10是高斯点，因此，如果因即有故成立.精确成立，则求积公式对于充分性.用除，记商为余式为即,其中.对于

11由于求积公式是插值型的，它对于是精确的，即再注意到知从而有12可见求积公式对一切次数不超过的多项式均精确成立.因此，为高斯点.定理表明在上带权的次正交多项式的零点就是求积公式的高斯点.有了求积节点，再利用对成立，解此方程则得的线性方程.则得到一组关于求积系数13下面讨论高斯求积公式的余项.利用在节点的埃尔米特插值于是也可直接由的插值多项式求出求积系数即14两端乘，并由到积分，则得其中右端第一项积分对次多项式精确成立，故由于由积分中值定理得为关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有15

定理6

证明它是次多项式，因而是次多项式，注意到高斯求积公式的求积系数全是正的.考察故高斯求积公式对于它能准确成立，即有上式右端实际上即等于从而有16由本定理及定理2，则得下列推论.

推论

定理7定理得证.高斯求积公式是稳定的.即设则高斯求积公式收敛，17

2高斯-勒让德求积公式

在高斯求积公式中，由于勒让德多项式是区间上的正交多项式，因此，勒让德多项式的零点就是求积公式的高斯点.此类高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.区间为则得公式若取权函数18令它对准确成立，即可定出这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式是中矩形公式.若取的零点作为节点构造求积公式再取的两个零点构造求积公式19令它对都准确成立，有由此解出三点高斯-勒让德公式的形式是表4-7列出了高斯-勒让德求积公式的节点和系数.从而得到两点高斯-勒让德求积公式2021这里是最高项系数为1的勒让德多项式.

余项22得当时，有它比区间上辛普森公式的余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值.当积分区间不是，而是一般的区间时，只要做变换23可将化为,对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.这时24

例6用4点()的高斯-勒让德求积公式计算

解先将区间化为，根据表4-7中的节点及系数值可求得有25

3高斯-切比雪夫求积公式若且取权函数则所建立的高斯公式为称为高斯-切比雪夫求积公式.26由于区间上关于权函数的正交多项式是切比雪夫多式，因此求积公式的高斯点是次切比雪夫多项式的零点，即为的系数使用时将个节点公式改为个节点，于