第5章 静定平面桁架课件

结构力学

第5章静定平面桁架

主要内容1基本概念桁架分析的结点法桁架分析的截面法结点法与截面法联合应用各类平面梁式桁架比较组合结构的计算静定结构的静力特性5.1基本概念桁架1桁架的计算简图

平面桁架的基本假设:(1)各杆两端用绝对光滑无摩擦的理想圆柱铰相互联结；(2)各杆均为直杆，且在同一平面内；(3)荷载在同一平面内,且均作用于结点上。

在此假设下，各杆均为二力杆，这样的桁架称为理想平面桁架。在实际工程中，对于在结点荷载作用下的各杆主要承受轴力的结构，经常采用理想桁架作为其计算简图。由若杆根直杆在其两端铰接而成的结构。25.5m56m北京体育馆主体桁架的一片

162m九江长江大桥主桁梁在桁架结构中，由于杆件主要承受轴力，杆上应力分布均匀，能够充分利用材料，与梁相比，用料省、自重轻，因此，大跨度的结构多采用桁架结构。如各种铁路桥梁，大跨度的屋顶结构等采用桁架结构比较适宜。应当注意，实际工程中的桁架与上述理想桁架有一定的区别，主要表现为(1)杆的连接方式有差异：在刚结构中，结点通常是铆接或焊接的；在钢筋混凝土结构中，各杆端通常是整体浇注在一起的；

在木结构中，各杆通常是榫接或螺栓联接。(2)杆的几何性质有差异：实际工程中的直杆无法保证绝对平直，结点上各杆的轴线也很难保证交于一点。(3)结构上的荷载有差异：工程中桁架必然有自重，即使荷载是作用于结点上，在自重的作用下，各杆必然产生弯曲变形，产生弯曲应力，并不象理想桁架那样只有均布的轴力。在工程设计中，通常把按照理想桁架情况计算出的杆轴力称为“主内力”，把由于不满足理想假设而产生的附加内力称为“次内力”（主要是弯矩，称为“次弯矩”）。与主内力相应的正应力称为主应力（即主要应力），由次内力所产生的应力称为次应力。按照次应力产生的原因，桁架的次应力主要分为(1)因结点刚性而产生的次应力；(2)因各杆的轴线不能完全通过铰心而产生的次应力；(3)因非结点荷载而产生的次应力。上述诸因素中，第一项的次应力是其主要的部分，关于次应力分析有兴趣的同学可查阅有关的书籍，如钱令希著《超静定结构学》，本章中只讨论理想桁架的分析，即主内力的计算。1桁架杆件的术语

弦杆：指桁架上下外围的杆件；上弦杆节间长度下弦杆斜杆竖杆上弦杆：桁架上边缘的杆件；下弦杆：桁架下边缘的杆件。腹杆：桁架中上下弦杆之间的杆;竖杆：杆的轴线为竖向的腹杆；斜杆：杆的轴线为倾斜的腹杆。节间：弦杆上两相邻结点之间的区间；节间长度：节间的距离称为节间长度。2桁架的分类

根据不同的特征，桁架有不同的分类按桁架的外形:桁架(a)平行弦桁架(b)折弦桁架(c)三角形桁架按支座反力的特点：

桁架(a)无推力（或梁式）桁架（如图a、b、c)(b)有推力（或拱式）桁架图（a）图（b）图（c）图（d）按桁架的几何组成特点：

桁架(a)简单桁架(b)联合桁架(c)复杂桁架联合桁架：由几个简单桁架按照两刚片或三刚片法则所组成的桁架；简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，依次添加二元体所组成的桁架;复杂桁架：不按简单组成规则方式所组成的其它形式的桁架。图（d）图（e）图（a）图（b）图（c）§5.2结点法1结点法的原理

结点法：在求桁架内力时，以桁架的结点为隔离体，利用结点的平衡条件来计算各杆内力的方法，称为结点法。一般而言，结点法适用于确定桁架中所有杆件内力时的计算，如桁架结构的安全设计时。在采用结点法分析桁架时，通常先假定各杆的受力均为拉力，若所得结果为负时，则实际为压力。在建立结点的平衡方程时，经常将斜杆的内力分解为水平分力和竖向分力FNFNlxlylXFNY利用三角形相似关系，易得下面举例说明。例1如图示一施工托架的计算简图，求各杆的内力。解(1)求约束反力

利用对称性易得(2)求内力

(a)结点1（先从仅有两杆的边界结点开始分析）

由∑Y=0得所以由∑X=0得8kN1FN12FN113图(a)V171.5m1.5m0.75m0.75m0.5m8kN8kN8kN8kN6kN123456V7V1(c)结点3由∑Y=0得所以由∑X=0得利用对称性，可知其它杆的内力，结果如图(d)所示

(3)校核

如图(e)所示显然满足∑X=0∑Y=046kN-33kN-33kN-5.4kN-5.4kN图(e)(b)结点2由∑Y=0得由∑X=0得2FN128kNFN24FN23图(b)FN23FN13FN35FN34图(c)371.5m1.5m0.75m0.75m0.5m8kN8kN8kN8kN6kN123456-8-8-33-33-33-3334.837.5-5.4-5.434.8图(d)FN(kN)2结点平衡的特殊情况

应用结点法分析桁架时，利用结点平衡的特殊情况，可简化计算。

特例1：在不共线的两杆结点上，无荷载作用时，则该两杆内力为零;FN1FN2特例1FN1=FN2=0特例2：在有两杆共线的三杆结点上，无荷载作用时，则第三根杆（称为零杆）的内力为零。FN1FN2特例2FN3FN3=0特例3：在两两共线的四杆结点上，无荷载作用时，则在同一直线上的两杆内力相等。FN1FN2特例3FN3FN1=FN1；FN3=FN4FN4上述三种情况，利用结点平衡条件不难证明。例2如图示两结构找出零杆。-Fp相等FpFp/2Fp/2(a)Fp(b)结束语作业：

§5.3截面法本节介绍计算桁架内力的另一种方法——截面法。该方法是通过选取一适当截面，将结构一分为二，任取其中之一为隔离体，根据平衡条件，求出指定杆件的内力。这种方法一般适用于计算桁架中指定（小数）杆件的内力计算。如校核计算结果时，可采用此方法。

注意：由于作用于隔离体上全部的力组成了一个平面一般力系，因此隔离体上未知力数目不应多于3，否则无法求出全部的未知力，但有时可求出部分未知力。如：即可求出FNaABaVACFNa例3

如图示桁架，求a、b杆的内力。VAVB解：这是一个简单桁架。(1)求约束反力(利用对称性)(2)截面法求指定杆反力

如图(b)所示由∑Y=0得如图(c)所示VAFNbAFpFp图(c)VAFpAFNa图(b)由∑Y=0得ABFpFpFpFpFpba图(a)由∑MA(F)=0得例4

如图示桁架，求1、2杆的内力。解：这是一个联合桁架（两刚片由三根链杆相联）。(1)求约束反力（整体分析）同理可得(2)求内力如图(b)所示由∑MA(F)=0得由∑X=0得因此VAVBEF2AB1图(a)FpFpFpCDaaaaa2B图(b)VBFNEFFpFN1FNACA由∑MA(F)=0得例5

如图示桁架，求1杆的内力。VEVF解：分析：这是一个联合桁架（三刚片由三铰相联），1号杆位于上部刚片内，若已知三个铰处的相互作用力，三个刚片内各杆的内力容易确定，因为每一个刚片为简单桁架。(1)求约束反力，利用对称性易得(2)求B铰处的相互作用力，如图(b)所示ABFpFp图(b)VBHBaaaaaaaaaaFpFp图(a)ABCEF1由∑MC(F)=0得如图(c)所示图(c)VFVBHBVCHCBC(3)求1号杆的内力，如图(d)所示4545BVBHBFN1x图(d)由∑X=0得aaaaaaaaaaFpFp图(a)ABCEF1§5.4结点法与截面法联合应用由∑MB(F)=0得对于某一杆件内力，如果只用一个结点平衡条件或只做一次截面无法得到解答时，可把结点法与截面法联合起来应用，如例5。下面继续举例说明结点法与截面法联合应用。例6

如图示桁架，求1、2杆的内力。VAVB解：这是一个简单桁架

(1)求约束反力

同理可得(2)分析K结点，如图(b)所示图(b)FN1FN3K由∑X=0得Fp3m2AB64m3m1K图(a)3由∑MC(F)=0得∴(3)求1、2杆内力，如图(c)所示由∑Y=0得即因此3m2FpAB64m3m1K3VA图(c)AKFN3FN1FN2C例7

如图示桁架，求1杆的内力。解：这是一个复杂桁架，内部少一根链杆，具有一个自由度（绕A点转动）内部是几何可变体系，但外部支承有四根链杆，因而自由度仍为零，为几何不变体系。其几何组成分析如图(d)所示，也可采用零载法分析.4m4mBACD4m4m8m8m8m8mFp12图(a)FpBACD图(d)IIIIII(1)求约束反力整体由∑MA(F)=0得(a)(2)分析B结点，如图(b)所示VBFN1FN2图(b)由∑X=0得因此由∑Y=0得或(b)(3)截面法，如图(c)所示VCDFN1图(c)由∑MD(F)=0得(c)联立(a)、(b)、(c)易得同时可得4m4mBACD4m4m8m8m8m8mFp12图(a)FpVCVAVB图(e)BACDEFFpFp该题也可采用所谓的“约束替代法”来进行分析，其基本思路为(1)

首先在原体系中撤去某个或某些约束，代之一相应的约束力X1，将这些撤去的约束添加在该体系的另外位置上，从而形成一个简单的体系——几何组成较简单的静定结构。这一新体系称为替代结构，这些添加进去的约束，称为替代约束。图(e)BACDEFFpFpVAVB=X1(a)上式中S1.X1表示单独由被撤换约束力作用引起的替代约束的内力，S1为当时，替代约束中的内力系数；S0为单独由荷载作用引起的替代约束的内力。(2)然后，令替代桁架等效于原桁架，即令在被撤换杆约束力X1和原荷载共同作用下替代桁架各杆的内力与原桁架的相等，其中，替代约束杆的内力S——如该题中的FNEF——应为零。这一条件可以表达为图(e)BACDEFFpFpVAVB=X1(3)由(a)式可求出被撤杆的未知力X1，利用叠加原理可求出任一杆i的内力FNi：(b)上式中，Si1、Si0分别为和原荷载单独作用于替代桁架时，任一杆i的内力。下面我们采用约束替代法解此题。(a)图(e)BACDEFFpFpVAVB=X1BACD1图(e)EFVAVBFpFp解：先求单独荷载作用时EF杆内力BACD1图(f)EFFpFpVAF由图(f)易得利用I-I截面，取左半部分为隔离体I

I

由∑MD(F)=0得再求单独X1(X1=VB)作用时EF杆内力BACD1图(g)EFVBVCX由图(g)易得利用Ⅱ

-Ⅱ截面，取右半部分为隔离体,由∑MD(F)=0得Ⅱ

Ⅱ因为，当时，1号杆的内力为当荷载单独作用于替代桁架上时，1号杆的内力为由(b)式得与前面的结论相同将S1X1和S0代入(a)式得（与前面的结论相同）(a)图(e)BACDEFFpFpVAVB=X11结束语作业：

§5.5各类平面梁式桁架比较设计桁架时，应根据不同的情况和要求，选择适当的桁架形式。要做到这样，就必须明确桁架的形式对其内力分布和构造的影响，了解各类桁架的应用范围。下图为最为常见的三种桁架：三角形桁架、平行弦桁架和抛物线形桁架，在相同的均布荷载(作用于下弦杆上)各杆的内力如图所示。-15.81010kN-79.110kN10kN10kN10kN图(a)三角形桁架-63.4-47.47575751530-18.0a(c)抛物线形桁架10kN10kN10kN10kN10kN454545-51.5-47.5-45.310101000aaaaaaa10kN10kN10kN10kN10kN图(b)平行弦桁架0-2535.4-1521.2-57.125400a-45-40-25(1)三角形桁架其弦杆的内力近支座处最大，若各杆采用等截面，则会造成材料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。但该种桁架因为具有两面斜坡的外形，符合普通黏土瓦屋面的要求，所以在跨度较小的、坡度较大的屋盖结构中，多采用该类桁架。内力分布不均匀-15.81010kN-79.110kN10kN10kN10kN图(a)三角形桁架-63.4-47.47575751530-18.0a(2)平行弦桁架其弦杆的内力向跨中增大，若各杆采用等截面，则会造成材料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。但该种桁架具有许多构造上的优点：结点构造单一化，腹杆标准化等，因而仍得到广泛的应用，不过多限于轻型桁架，如厂房中多用于12m以上的吊车梁，桥梁中多用于50m以下跨度的梁。内力分布不均匀10kN10kN10kN10kN10kN图(b)平行弦桁架0-2535.4-1521.2-57.125400a-45-40-25(3)抛物线形桁架在材料使用上最经济。但其上弦杆在每一个节间的倾角都不同，结点构造复杂，施工不便。

该类桁架多用于在大跨度的结构中，例如100—150m的桥梁，18—30m的屋架时，节约材料的意义很大，常被采用。该三种桁架各有利弊，在实际应用时，应根据不同的需要，综合考虑，做到最优化或比较优化。内力分布均匀(c)抛物线形桁架10kN10kN10kN10kN10kN454545-51.5-47.5-45.310101000aaaaaaa§5.6组合结构的计算组合结构由只承受轴力的二力杆（桁式杆）和梁式杆（承受弯矩、剪力及轴力）混合组成的结构。该类结构主要用于房屋建筑中的屋架、吊车梁及桥梁中的承重结构等。如上弦杆由钢筋混凝土制成，主要承受弯矩及剪力悬索锚索吊杆对于组合结构应正确区分桁式杆与梁式杆，桁式杆仅承受轴力，梁式杆承受弯矩、剪力和轴力。计算时，在确定了约束反力后，先分析桁式杆，再分析梁式杆。

图(a)三铰屋架

图(b)下撑式五角形屋架图(c)悬吊式桥梁下弦杆及腹杆由型钢制成，主要承受轴力加劲梁例8

如图示下撑式五角组合屋架，作内力图。VAVB解：(1)求约束反力由图(a)分析利用对称性易得(2)求链杆内力如图(b)所示由∑MC(F)=0得由∑X=0得由∑Y=0得BEVCVBHCFNDE图(b)CGA3m3m3m3mBCDEFGq=1kN/mf2=0.7mf1=0.5m图(a)EFNDEFNGEFNBE图(c)对于E结点如图(c)所示由∑X=0得则由∑Y=0得各桁式杆轴力如图(d)所示。

-15.4-3.5-3.515-15.4图(d)FN(kN)A3m3m3m3mBCDEFGq=1kN/mf2=0.7mf1=0.5m图(a)(3)梁式杆内力图

如图(b)所示由∑MG(F)=0得弯矩图如图(e)所示轴力如图(f)所示

剪力如图(g)所示

BEVCVBHCFNDE图(b)CG0.750.750.75M图(kN.m)图(e)14.9515.2014.9115.15图(f)FN图(kN)1.251.251.741.74FQ图(kN)⊕图(g)14.9515.2014.9115.15图(f)FN图(kN)1.251.251.741.74FQ图(kN)⊕图(g)0.750.750.75M图(kN.m)图(e)讨论：对于不同的f1、f2值弯矩图如右图所示f1=0,f2=1.2mf1=0.5mf2=0.7mf1=1.2mf2=0从上图可以看出

(1)下弦杆的轴力变化幅度不大，但上弦杆的弯矩变化幅度很大。4.5kN.m-6kN15kN16.16kN图(h)0.75kN.m0.750.7515kN15.4kN-3.5kN图(i)4.5k