第4章 实体三铰拱课件

结构力学

第4章实体三铰拱

主要内容1拱结构基本概念2三铰拱的解析法3三铰拱的合理拱轴线4三铰刚架的计算§4.1基本概念拱结构指杆的轴线为曲线，且在竖向荷载的作用下能产生水平推力的结构。拱与梁的区别(1)拱的轴线为曲线，而梁一般为直线（有时也有曲线的）；(2)拱在竖向荷载的作用下能产生水平推力，而梁不能。例如：水平推力的存在，是拱结构区别于梁的一个重要标志。因此，通常又把拱结构称为推力结构。直梁曲梁拱工程中常见的拱结构形式有无铰拱在带拉杆的三铰拱中，拉杆的内力代替了支座的水平推力，因此，在竖向荷载的作用下支座只产生竖向反力，结构内部的受力与拱完全一样。三铰拱二铰拱带拉杆的三铰拱带拉杆的三铰拱拱的专业术语拱趾

拱两端支座称为拱趾；拱顶

拱中间的最高点称为拱顶；

矢高拱顶到两支座连线的竖向距离f称为矢高；矢跨比

矢高f与跨度l之比f/l，称为矢跨比。矢跨比是拱的基本参数，工程中大多数为f/l=（10.1）。

拱结构的优缺点:优点缺点需比梁更坚固基础或支承结构，外形比梁复杂，施工难度较大。(1)较为省材料，自重减轻，能跨越较大的空间；(2)由于有水平推力的存在，其各个截面上的弯矩比相应的曲梁或梁要小，因此可利用抗压性能好、抗拉性能差的材料（如砖、石、混凝土等）来建造。fl§4.2三铰拱的解析法曲梁部分在材料力学中已讲过，主要应注意截面选取应与曲梁的轴向相垂直。这里主要介绍三铰拱的有关计算。三铰拱为静定拱，下面以两拱趾在同一水平线上的平拱（两拱趾不在同一水平线上方法一样）为例介绍三铰拱的反力及内力计算。(1)支座反力的计算

如图所示三铰拱由∑X=0得AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHB由补充方程MC=0得(考虑左半部分拱)我们来分析与之相对应的简支梁对于简支梁易得比较可知AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHBVB0VA0ABFp1Fp2FpnCKK由上式可知，推力等于相应简支梁截面C的弯矩MC0除以矢高f，在一定荷载作用下，推力只与三个铰的位置有关，而与各铰间的拱轴曲线形式无关。(4-1)由于推力与矢高f成反比关系，因此，拱愈低推力愈大，当f0时，推力H。此时A、B、C三铰在同一直线上，成为瞬变体系。AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHBVB0VA0ABFp1Fp2FpnCKK(2)任一K的内力的计算用截面法可求出拱任一截面的内力。对于任一截面K取研究对象如图(b)所示。K拱的任一截面内力符号规定为：弯矩M，使拱内纤维受拉的为正；剪力FQ，对隔离体产生顺时针矩的为正（与梁相同），轴力FN，受压为正。

∵∴(4-2)MKyKxKVAHxyFp1FQKFNKKK图(b)VA0Fp1F0QKAClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHB∵∴(4-3)(3)三铰拱的内力图有了上述任意截面的内力方程，不难画出其内力图。与梁刚架类似，在集中力作用处，FNK和FQK图将突变，在集中力偶作用处，M图将突变。由于拱轴为曲线，可采用描点法来作内力图。下面举例说明。所有的力向FNK方向投影得所有的力向FQK方向投影得图(c)VA0Fp1F0QKMKyKxKVAHxyFp1FQKFNKKK例1

三铰拱及受载如图示，求支反力并作内力图。解

(1)求支座反力(2)求内力方程AC段：4mxAC4mB8m4mq=1kN/mFp=4kNDyHVBVAHABFpCqD相应简支梁VB0VA0CD段：DB段：上述各式中4mxAC4mB8m4mq=1kN/mFp=4kNDy利用上述方程可以求出任一截面的内力，为了方便绘图，通常列表求出有限个截面的内力数值，然后根据表中数据，采用描点法即可得到内力图（有限个截面选取时要注意，有些关键截面——内力突变截面不要漏掉）。若八等分，则计算结果如下表所示。截面几何参数截面内力

截面x/my/m

/

M/kN.mFQ/kNFN/kN1004500.719.19221.7536.871.50.47.80343.0026.57206.70463.7514.041.5-0.496.06581000-1.006.006103.75-14.04-0.50.496.067123.00-26.572左：1.79左：5.81右：-1.79右：7.608141.75-36.87-0.5-0.47.89160-4500.77.78123456789M图（kN.m）1.521.50.520.5FQ图（kN）0.710.40.491.00.491.791.790.40.70⊕⊕FN图（kN）9.197.86.76.066.06.065.817.67.87.78注意：在FQ=0处，M图有极值;在集中力作用处，FQ图和FN图均发生突变。§4.3三铰拱的合理拱轴线合理拱轴线在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态时的拱轴线，称为合理拱轴线。

因此，若拱轴为合理拱轴线，根据定义，则任一截面有即(4-4)这就是合理拱轴线应满足的方程。下面举例说明如何确定合理拱轴线。xy例2

对称三铰拱受载如图示，求其合理拱轴线。解

建立如图所示坐标系相应简支梁任一截面的弯矩方程为∵∴代入（4-4）式即得合理拱轴线为(4-4)qACBlf例3

求图示对称三铰拱的合理拱轴线。其上所受的分布荷载为q=qd+.y（为填料的容重）。解由于荷载q也与拱轴的形状有关，故此时无法直接应用（4-4）式。∵∴注意：也与拱轴形状有关，即也是x的函数，这里仅是近似处理，形状的微小改变，对水平推力的影响较小，忽略不计。∵∴(a)(4-4)fACBlxyqqdq=qd+.y(x)整理可得(b)式的解可由双曲函数表示为(b)其中

(c)或(d)边界条件为：由边界条件得：代回(d)式得上式表明，三铰拱在填土重量的作用下，合理拱轴线为一悬链线。例4

图示三铰拱沿拱轴的法向受均布压力，试证明合理拱轴线为圆弧线。证明因为q不是竖向荷载，不能直接应用（4-4）式。设拱轴的曲率半径为，取出为段ds为研究对象。如图示FNFQMFN+dFNFQ+dFQM+dMoxyd由∑X=0得∵d很小∴(a)因此(a)式整理可得(b)(4-4)ACqB由∑Y=0得(c)上式整理可得(d)由得(e)上式整理可得(f)分析：当拱轴为合理轴线时，有M=0，由(f)式知，FQ=0；将其代回(d)式知，FN=常数；由(b)式知，=FN/q=常数。故当拱轴为合理轴线时，其曲率半径为常数。证毕(b)FNFQMFN+dFNFQ+dFQM+dMoxyd§4.4三铰刚架的计算三铰刚架是杆轴线为折线形式的推力结构。它的支座反力计算与三铰拱一样，而内力的计算与刚架相同。下面举例说明。例5

如图示对称刚架，作M图。解法一：可把此结构视为由虚铰A和B实铰C相连的三铰刚架。利用所求虚铰的约束反力，可求出虚铰中各链杆的内力。BVA

AfHHVB

FE11ABCDGH33331q=1kN/m(长度单位m)图(a)VA

0VB

0图(b)VA

AHVAFNDE图(c)由图(c)得BHVB

VBFNDF图(d)由图(d)得这样可求得刚架的受力如图(e)所示。ABCEFGq=1kN/mVAVBFNDEFNDE图(e)H杆端弯矩：作弯矩图：如图(f)所示。5.7

4.2

解法二：求约束反力时，也可取AC、BC两刚片分别作为研究对象如图(g)所示。考虑图(g)左半部分,由∑MA´=0得考虑图(g)右半部分,由∑MB´=0得(a)(b)联立(a)和(b)解得M图(kN.m)

图(f)1×12/8=0.125

1×32/8=1.125

ABCEFGq=1kN/mVAVBFNDEFNDE图(g)HCVCVCHCHCA´B´M图(kN.m)

图(f)5.7

4.2

11×12/8=0.125

1×32/8=1.125

杆端弯矩