第3章流体动力学课件

第1章流体及其主要物理性质第2章流体静力学第3章流体动力学基础第4章流体运动阻力和能量损失第5章孔口、管嘴出流及有压管流第6章明渠恒定流第7章堰流流体力学FluidMechanics第8章渗流第9章第三章流体动力学

流体运动的描述

基本概念

恒定流动连续性方程

恒定流动的能量方程

恒定流动的动量方程

在流体静力学中，我们讨论了流体处于平衡状态下的一些力学规律，如压力分布规律，及流体对固体壁的作用力等。但实际上，流体的静止总是相对的，运动才是绝对的。流体最基本的特性就是它的流动性，因此，进一步研究流体的运动规律便更为重要。基本概念连续性方程柏努利方程动量方程

流体动力学主要是研究运动参数（速度、加速度等）随空间位置和时间的变化规律，以及运动与力的关系主要内容

静止流体（不论理想或实际流体）运动理想流体pP=-pnpP=-pnp：动压强

p：静压强

定义流体的动压强流场

——充满运动流体的空间称为流场§3—1研究流体运动的两种方法

流体只能在固体壁面所限制的空间内外进行运动；流场中流体质点的连续性决定表征流体质点运动和物性的参数（速度、加速度、压强、密度等）在流场中也是连续的。并且随时间和空间而变化。

离散

质点系刚体流体质点间的约束强无弱

一.描述流体运动的困难质点数N个无穷无穷拉格朗日法

欧拉法

着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性布哨跟踪

二.描述流体运动的方法拉格朗日法着重于流体质点跟踪个别流体质点研究其位移、速度、加速度等随时间的变化情况综合流场中所有流体质点的运动流场的运动拉格朗日法跟踪个别流体质点(a,b,c)质点从(a,b,c)运动到（x,y,z）t0时刻:t时刻:流场中全部质点都包含在（a,b,c）的变数中(a,b,c)

是拉格朗日变数，即

t=t0

时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。当（a,b,c）变化时，这就表示全部质点随时间的位置变动函数。当t变化时，便是质点（a,b,c）运动轨道的参数方程

自变量（a,b,c,t）称为拉格朗日变数流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：在使用拉格朗日法时必须找到x(a,b,c,t);y(a,b,c,t);z(a,b,c,t)等的函数形式，即跟踪每一个质点进行研究。由于流体具有易流动性，对每一个质点进行跟踪是十分困难的。因此，除了在一些特殊情况（波浪运动。水滴等的运动时），很少采用拉格朗日法。质点（a,b,c）的速度投影和加速度投影为：拉格朗日法的缺陷欧拉法着重于研究空间固定点的情况选定某一空间固定点记录其位移、速度、加速度等随时间的变化情况综合流场中许多空间点随时间的变化情况流场的运动欧拉法分析流动空间某固定位置处，流体运动要素（速度、加速度）随时间变化规律分析某一空间位置转移到另一位置，运动要素随位置变化的规律欧拉法并没有直接给定流体质点的运动轨迹同一流体质点在不同时刻经过空间不同点不同时刻不同的流体质点通过空间某一点欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：(x,y,z)

是空间点（场点）。流速u是在t

时刻占据(x,y,z)

的那个流体质点的速度矢量。流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：当t=t0=常数，它便表示流场中同一时刻各点的速度分布情况

当时间t变化时，流体质点将从某一点M0运动到另一点M，也就是说质点的空间坐标也会随时间发生变化。由此可见，x,y,z也是时间的函数，按复合函数求导原则，ux,uy,uz对时间t求全导数，得：=+质

点

加

速

度位变

加速度由流速不均匀性引起时变加速度由流速

不恒定

性引起如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显含时间t，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。

欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。3.2流体运动基本概念

迹线是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观点相对应的概念。拉格朗日法中位移表达式即为迹线的参数方程。t是变数，a,b,c是参数。3.2.1迹线和流线

对不同的质点，迹线的形状可能不同；对一确定的质点，其轨迹线的形状不随时间变化。

流线是同一时刻流场中连续各点的速度方向线。流线微分方程u21uu2133u6545u46u流线在非定常流情况下，流线一般会随时间变化。在定常流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在定常流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。根据流线的定义，可以推断：除非流速为零或无穷大处，流线不能相交，也不能转折。v1v2s1s2交点v1v2折点s流线的应用流线可以用来表现流场；通过作流线可使流场中的流动情形更为明白；对于不可压缩流体，流线还能定性地反映出速度的大小。3.2.2定常流和非定常流若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为恒定流。否则，为非恒定流。恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空间位置坐标的函数，时变导数为零。恒定流的时变加速度为零，但位变加速度可以不为零。非定常流动流动参量随时间变化的流动。特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与时间有关。流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关,因此是相对的概念。流管、元流和总流流线在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲线L，在同一时刻过

L上每一点作流线，由这些流线围成的管状曲面称为流管。与流线一样，流管是瞬时概念。根据流管的定义易知，在对应瞬时，流体不可能通过流管表面流出或流入。L流管3.2.3流体运动的几个基本概念与流动方向正交的流管的横断面过水断面为面积微元的流管叫元流管，其中的流动称为元流。过水断面为有限面积的流管中的流动叫总流。总流可看作无数个元流的集合。总流的过水断面一般为曲面。dA1dA2u1u2

过水断面有压流——边界全部是固体特点：流动主要依靠压力推动；如供水管道；液压管路无压流——边界部分是固体，部分是液体特点：流体的流动是靠重力实现的；如河流、明渠射流——边界不与固体接触特点：靠消耗自身动能来实现流动；如水枪总流总流过流断面可能是平面，可能是曲面流速、流量点流速流场中任一空间位置处的质点所具有的速度平均流速同一过水断面上，点流速对面积的算术平均值单位时间内通过过水断面的流体的质量称为质量流量，记为Qm，单位为kg/s.流量计算公式中，曲面A的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。单位时间内穿过过水断面的流体体积，称为流量，也称为体积流量，单位为m3/s.流量元流：总流：平均速度：湿周水力半径湿周在有效截面上，流体同固体边界接触部分的周长水力半径R=2R=AB+BC+CDABCD=ABCABC有效截面积与湿周之比称为水力半径一维流动二维流动三维流动平面流动轴对称流动任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。3.2.4一元流动、二元流动与三元流动流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动在实际问题中，常把总流简化为一维流动。s

一维流动其流场为s—空间曲线坐标元流是严格的一维流动，空间曲线坐标s

沿着流线。直角系中的平面流动：流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。xyoxyzou0u0大展弦比机翼绕流

二维流动3.2.5均匀流与非均匀流位变加速度=0？均匀流非均匀流均匀流、非均匀流；渐变流、急变流均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。

判别：

均匀流当流线为相互平行的直线时，该流动称为均匀流；或过水断面的形状、大小、方向沿程都不发生变化的流动。特性①过流断面为平面，且形状、尺寸沿流程不变。

②均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而各过流断面上的流速分布相同，断面平均速度相等。③均匀流过水断面上的压强分布规律符合水静力学基本规律，即：证明分析微元体的受力：取一底面积为dA,高为dh的微元柱体，其轴线n-n与流线正交，并与铅垂线成α角。各参数如图：表面力：

侧面压力及粘性力与轴线正交，在轴线上无投影。端面压力：

质量力：

又：特性③的理解

如图1，2断面：

但：在同一过水断面上不同位置点的测压管液面高程相同；即：在不同过水断面上不同位置点的测压管液面高程不相同。均匀流的过水断面上粘性力的分量为零，只有压差力与重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。均匀流的过水断面上测压管水头是常数只能在同一过水断面上应用上述结论，因为x

方向的运动方程里有粘性力项，所以沿着流动方向动水压强分布不同于静水压强，导致不同过水断面上测压管水头可能是不同的常数。************^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^在实际流动中，经常会见到均匀流，如等截面的长直管道内的流动、断面形状不变，且水深不变的长直渠道内的流动等。

定常均匀流的时变加速度和位变加速度都为零，即流体质点的惯性力为零，将作匀速直线运动。若总流为均匀流，其过水断面是平面。这些均匀流的运动学特性，将给以后处理相关的动力学问题带来便利，因此在分析流动时，特别关注流动是否为均匀流的判别。非均匀流当流线不平行时，该流动称为非均匀流；或过水断面的形状、大小、方向沿程有一个发生变化的流动。是否接近均匀流？渐变流流线虽不平行，但夹角较小；

流线虽有弯曲，但曲率较小。急变流流线间夹角较大；

流线弯曲的曲率较大。渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况来判定是否图均匀流、缓变流、急变流渐变流过流断面上测压管水头是常数31OO123223z1z3z2OO1急变流过流断面上测压管水头不是常数离心力方向静水压强分布动水压强分布静水压强分布动水压强分布动压和静压的差提供向心力流体在弯管中的流动流体通过水箱上的孔口的流动。孔口面的压强水头线三大守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程恒定总流三大方程动力学三大方程§3—3恒定流动的连续性方程由于流体的连续性，运动流体总是充满它所占据的空间，并不出现任何形式的空间或裂隙，满足这一连续性条件的等式称为连续性方程。连续性方程——质量守恒定律对流体运动的一个基本约束一.推导在恒定总流中，任取一段总流12。先分析其中任一元流：根据质量守恒定律：在dt时段内从断面11流入的流体质量与从断面22流出的流体质量相等即可压缩恒定元流的连续性方程不可压缩恒定元流的连续性方程可压缩恒定总流的连续性方程不可压缩恒定总流的连续性方程

——当沿程有流量的流进和流出时二、连续性方程的推广

连续流体恒定流动不可压缩流体三、连续性方程的应用条件连续性微分方程在运动的液体中取出一控制体平行六面微元体xyzOAdydxdz设形心点坐标为

A=A(x,y,z)边长为dx,dy,dz

xyzOAdydxdzA点：密度ρ，流速ux,uy,uz

xyzOAdydxdz

流速

侧面中心点

xyzOAdydxdz左侧面

面积右侧面

密度y方向：流出和流入的液体质量为xyzOAdydxdzx方向：流出和流入的液体的质量为xyzOAdydxdzxyzOAdydxdzz方向：流出和流入的液体的质量为三个方向：dt时段内，流出与流入的液体质量变化：六面体内液体质量变化：根据质量守恒定律，则水流连续方程不可压缩流体§3-4恒定元流的伯努利方程(能量方程)一.无粘性流体恒定元流的能量方程的推导理论基础是机械能守恒定律即：外力对系统做功=系统机械能量的增加dt时段内总流12运动至1'2'端面压力作功侧面压力作功：0势能增加动能增加外力对系统做功=系统机械能量的增加单位重量理想流体沿元流的能量方程式(P573-39)能量方程伯努利方程表示能量的平衡关系。能量方程的物理意义****************单位重量流体所具有的位置势能（简称单位位置势能）单位重量流体所具有的压强势能（简称单位压强势能）单位重量流体所具有的总势能（简称单位总势能）****************能量方程单位重量流体所具有的动能（简称单位动能）单位重量流体所具有的总机械能（简称单位总机械能）****************在理想流体的恒定流动中，位于元流上任意两个流体质点的单位总机械能相等。欧拉观点位置水头压强水头测压管水头速度水头总水头伯努利方程的几何意义伯努利积分各项都具有长度量纲，几何上可用某个高度来表示，常称作水头。****************伯努利积分将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。水头线测压管水头线总水头线位置水头线oo水平基准线理想流体恒定元流的总水头线是水平的。总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。理想流体的运动微分方程

在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图所示。由于是理想流体，没有粘性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为图推导欧拉运动微分方程用图X、Y和Z，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在轴方向的分量为Xρdxdydz又流体微团的加速度在x轴上的投影为，则根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程将上式各项除以流体微团的流体质量ρdxdydz，化简后得：

同理（3.26）

这就是理想流体的运动微分方程，早在1755年就为。对于静止的流体u=v=w=0，则由上式可以直接得出流体平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程式。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分方程写成如下形式

(a)

在一般情况下，作用在流体上的质量力X、Y和Z是已知的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下，式（a）中有四个未知数u、v、w和p，而式（a）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程，就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。理想流体恒定元流的伯努利方程

1.公式推导

理想流体的运动微分方程（a)只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的恒定流动；(2)沿元流（也就是沿流线）积分；(3)质量力只有重力。即可求得理想流体恒定元流的伯努利方程。假定流体是恒定流动，则有，因此式(a)可写成

(b)

假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式（b）的第一式、第二式和第三式，则可得到

(c)由流线微分方程有udy=vdxvdz=wdy(d)wdx=udz将式（d）代入式（c）中的对应项，则得

(e)将式（e）的三个方程相加，得到

(f)由于式（f）中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。

式（f)中的

假设质量力只有重力，X=0，Y=0，Z=-g，即z轴垂直向上，oxy为水平面。则式(F)可写成

又假设为不可压缩均质流体，即ρ=常数，积分后得

或

(g)

式（g）称为理想流体恒定元流的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。

该方程的适用范围是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（g）也可写成

(h)在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(h)可以得到静力学基本方程

如图所示，在D=150mm的水管中，装一附有水银压差计的毕托管，用以测量管轴心处的流速。如果1、2两点相距很近且毕托管加工良好，水流经过时没有干扰；管中水流平均速度为管轴处流速的0.84倍。问此时水管中的流量为多少？水银D12由于实际流体具有粘性，在流动过程中机械能会沿程逐渐减少；令表示元流单位重量流体从断面1-1移至2-2所损失的机械能，称为元流的水头损失。单位重量实际流体沿元流的能量方程式§3-5粘性流体的伯努利积分单位重量流体相对于某基准面所具有的位能

元流过流断面上某点相对于某基准面的位置高度/位置水头

能量意义

几何意义

单位重量流体所具有的压能

压强水头单位重量流体所具有的总势能

测压管水头单位重量流体所具有的动能

速度水头单位重量流体所具有的总机械能

总水头单位重量流体的能量损失损失水头恒定元流能量方程的物理意义毕

托

管

测

速元流能量方程的应用举例1hⅡ管2Ⅰ管u代入伯努利方程假设

Ⅰ、Ⅱ管的存在不扰动原流场。△毕托管利用两管测得总水头和测压管水头之差——速度水头，来测定流场中某点流速。实际使用中，在测得△h，计算流速u

时，还要加上毕托管修正系数φ，即Ⅰ管——测压管，开口方向与流速垂直。Ⅱ管——总压管，开口方向迎着流速。********************************思考为什么？实用的毕托管常将测压管和总压管结合在一起。动能势能相互转换位置势能压强势能例子不胜枚举解：要求流量，先求流速。假设在过水断面上1-1及2-2上压强按静压规律分布，即：§3-6恒定总流的伯努利方程一.理想流体恒定总流的伯努利方程的推导由恒定元流推出将沿流线的伯努利方程表达为一元总流的伯努利方程为把总流能量方程的表达一维化，将测压管水头与流速水头的积分分开考虑。总流是无数元流的累加理想流体恒定总流各过水断面上的能量流量相等理想流体恒定元流各过水断面上的能量流量相等****************解决测压管

水头的积分寻求平均

测压管水头考察均匀流的过水断面上

测压管水头的分布情况均匀流的过水断面上测压管水头是常数渐变流过水断面上测压管水头的积分急变流中同一过水断面上的测压管水头不是常数，因为急变流中，位变加速度不等于零，过水断面上有压差力、重力和惯性力的分量，不再是仅有压差力和重力相平衡的情况，惯性力也参与进来了，造成断面测压管水头不等于常数。急变流不能作为能量方程的计算断面

α称为动能修正系数。它是一个大于1.0的数，其大小取决于断面上的流速分布。流速分布越均匀，越接近于1.0；流速分布越不均匀，α的数值越大。在一般的渐变流中的α值为1.05-1.10.为简单起见，也常近似地取α=1.0.用断面平均流速v

代替u，并不能作为的平均值设为速度水头

的平均值解决速度

水头的积分*****************************

理想不可压流体恒定总流，流动中无机械能损耗，通过各过水断面的能量流量相同，而由连续方程决定了重量流量

沿程不变，所以在任意两个分别位于总流的渐变流段中的过水断面A1和A2有

总流通过渐变流段中过水断面的能量通量为断面单位重量流体的总机械能（即总水头）为理想不可压缩流体恒定总流的伯努利方程即A1A2*******完成了对恒定总流伯努利方程的一维化表达在总流伯努利方程的上述表达式中断面平均流速v

、动能修正系数α

和测压管水头的取值都是由

断面唯一确定的，条件是过水断面应处于渐变流段中。断面A1是上游断面，断面A2是下游断面，hl1-2为总流在断面A1和A2之间平均每单位重量流体所损耗的机械能，称为水头损失。水头损失如何确定，将在后面叙述。采取补上流体在流动过程中机械能损耗的方法，将理想流体的伯努利方程推广到实际流体。实际流体恒定总流

的伯努利方程分析流体力学问题最常用也是最重要的方程式总流水头线的画法和元流水头线是相仿的，其中位置水头线一般为总流断面中心线。二、恒定总流伯努利方程的几何表示——水头线与元流一样，恒定总流伯努利方程的各项也都是长度量纲，所以可将它们几何表示出来，画成水头线，使沿流能量的转换和变化情况更直观、更形象。水平基准线位置水头线测压管水头线总水头线oo***********水力坡度称为水力坡度。水力坡度表示单位重量流体在单位长度流程上损失的平均水头。实际流体的流动总是有水头损失的，所以总水头线肯定会沿程下降，将水头线的斜率冠以负号测压管水头线可能在位置水头线以下，表示当地压强是负值。

测压管坡度测压管水头线沿流程可升可降可保持不变。若为均匀流，沿流程流速不变，则总水头线平行于测压管水头线，ip=i。三、恒定总流伯努利方程的应用条件（1）流动必须是恒定流，并且流体是不可压缩的。（2）作用于流体上的质量力只有重力。（3）所取的上下游两个断面应在渐变流段中，以符合断面上测压管水头等于常数这一条件。但在两个断面之间流动可以不是渐变流。断面应选在已知条件较多的位置。在渐变流断面上取任何一点的测压管水头值都可作为整个断面的平均值，为简便通常取管道中心点或渠道水面点。（4）两断面之间没有分流和汇流，流量保持不变。①基准面可以任意选取，但必须是水平面；②所选取的两个计算过流断面除了应符合渐变流或均匀流条件外，应力求使未知数最少；③在计算过流断面的测压管水头（）时，可任意选取过流断面上的点作为计算点，并不要求是同一条流线上的点，具体选哪一点，以计算方便，未知量少为标准；一般无压流选自由表面上的点（P=0），有压流取断面形心；④对液体，方程中的P可以是相对压强也可以是绝对压强，但等式两边应一致；⑤严格意义上，，但在实际中，可令。四、应用恒定总流伯努利方程的注意事项①选基准面基准面的选取，最好能使能量方程中计算点的位置高度一个

为0，一个为正。②选过流断面和计算点过流断面应取在均匀流或渐变流断面上，它与计算点的选取共同使其中一个断面的已知量最多，另一个含待求量。③列能量方程式，结合连续性方程求解。五、应用恒定总流伯努利方程的解题步骤先看一个跌水的例子。取顶上水深处为1-1断面，平均流速为v1，取水流跌落高度处为断面2-2，平均流速为v2，认为该两断面均取在渐变流段中。基准面通过断面2-2的中心点。

六.伯努利方程的应用举例恒定总流伯努利方程表明三种机械能相互转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具体流动的边界条件求解实际总流问题。1122oahv1v2o%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%=a

+h=0=0在水面点取值四周通大气，取断面形心处的位置水头忽略空气阻力写出总流伯努利方程如已知a，h，v1，即可求出v2近似地取整股水流的水面都与大气相通，属于无压流动，因此在流动过程中我们仅看到位置势能和动能之间的转换。%%%%%%%%%*******例题如图所示，用d=150mm的水管从水箱中引水，若水箱中水位保持恒定，H=6m，总水头损失为3.5mH20,求水管中的流量Q为多少？水流通过如图所示管路系统流入大气，已知U形管中水银柱高差hp=0.25m，水柱高h1=0.92m，管径d1=0.1m，管道出口直径d2=0.05m，不计损失，求管中通过的流量？解：①选基准面以管道出口断面形心的水平面为基准面②选过流断面选安装U形管的管道断面为1-1断面；以管道出口断面为2-2断面③选计算点计算点均取在管轴中心上④列1-1，2-2断面的间能量方程其中：解得：另一个例子是文丘里管中的流动。文丘里管是一种常用的量测管道流量的装置，它包括“收缩段”、“喉道”和“扩散段”三部分，安装在需要测定流量的管道上。在收缩段进口断面1-1和喉道断面2-2上接测压管，通过量测两个断面的测压管水头差，就可计算管道的理论流量Q

，再经修正得到实际流量。d11d2221Qh1h2@@@@

@@@

@@@@

@@@

d11d2221Qh1h2水流从1-1断面到达2-2断面，由于过水断面的收缩，流速增大，根据恒定总流能量方程，若不考虑水头损失，速度水头的增加等于测压管水头的减小，所以

根据恒定总流连续方程又有即

当管中流过实际液体时，由于两断面测管水头差中还包括了因粘性造成的水头损失，流量应修正为：

其中，称为文透里管的流量系数。以上，由能量方程和连续方程得到了v1和v2间的两个关系式，联立求解，得

理论流量为：式中^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^**********2d22Qd111斜置思考

文透里管可否斜置?如图：已知某倾斜管路直径d1，喉管直径d2，实测两根测压管水头差Δh（或水银压差计的水银面高差Δhp）,反映实际流量与不计能量损失的理论流量之比的流量系数为μ，试求管道的实际流量。解：列1-1，2-2断面的能量方程：则：μ—流量系数。μ<1;μ=0.95~0.98.此时管道通过的实际流量：如果两断面的压差过大，读数不便时可直接安装水银压差计：思考：当喉管管径过细时会出现什么情况？如图大气压强为97kN/m2。收缩段的直径应当限制在什么数值以上，才能保证不出现空化。已知水温为40oC，γ=9.73kN/m3,ρ=992.2kg/m3,汽化压强p’=7.38kN/m2。

解：列水面和收缩断面的能量方程时，为了不出现空化，可以以汽化压强作为最小压强值，求出相应的收缩段直径dmin,当喉管直径大于dmin时，就可避免空化。解：水面和收缩断面的能量方程如下：水面和出口断面的能量方程如下：根据连续性方程：

有能量输入或输出的伯努利方程1、2断面之间单位重量流体从水力机械获得（取+号，如水泵）或给出（取-号，如水轮机）的能量1122ooz水泵管路系统==000z水泵水泵轴功率单位时间水流获得总能量分子水泵效率分母扬程扬程提水高度引水渠压力钢管水轮机122ooz1水轮机管路系统=z0=00水轮机功率单位时间水流输出总能量水轮机效率扬程水轮机作用水头不包括水轮机系统内的损失根据能量守恒定理和连续性方程：可得：即得：两断面间有分流和汇流的情况对液体，能量方程左右两边的压强既可用绝对压强也可用相对压强，对气体则只能用绝对压强，因为气体的密度与外界空气的密度相差不大，如想用相对压强，则需考虑外部大气压在不同高程的差值。大气压强随高度的变化规律如下：因此：上式就是以相对压强表示的气流的能量方程式如气流的密度远远大于空气的密度或两断面高差不大时，上式可写成：气流的伯努利方程例题：如图抽水机管路，已知抽水量Q=0.06米3/秒；管径D=0.2米；高位水池水面高于吸水池水面30米，问抽水机供给的总比能H为若干？解：选取吸水池水面为基准面O-O及过水断面1-1，并以高位水池水面为2-2，自1-1，2-2列出柏努利方程：由于断面1-1，2-2较大，可近似v1=v2=0230BAO(1)O(1)2C水泵的扬程例题：如图离心水泵量Q=20米3/h；安装高度hs=5.5m，吸水管内径d2=100mm.求水泵进水口2-2处的真空度？解：选取吸水池水面为基准面1-1及过水断面2-2，设2-2处的真空度为hmmHg自1-1，2-2列出柏努利方程1122d2Hs例题：如图为轴流式风机的吸入管，已知其内径D=0.3米，=12.6牛/米3，由装在管壁下边的U形测压管（内装水）测得h=0.25米。问此风机的风量Q为若干？解：选取基准面O-O，过水断面1-1，2-2，并假定单位重量流体自A点流向B点。则：自1-1，2-2列出柏努利方程由于断面1-1较大，可近似V1=01ooB221Av1C气水hD风机的全压在图示的虹吸管中，已知H1=2m，H2=6m，D=15mm，如不计损失，问S处的压强应为多大时此管才能吸水？此时v2及Q为若干。（B端并未接触水面）

虹吸现象解：选取过水断面1-1、2-2及水平基准面O-O列能量方程：选取水平基准面O’—O’,列过水断面2-2及3-3的能量方程：将（B）代入（A）式得：§3-7恒定总流的动量方程一.恒定总流动量方程的推导根据动量守恒定理推出单位时间内，物体动量的增量等于作用于该物体上所有的外力的合力。即：在恒定总流中，任取一段总流12。先分析其中任一元流：即dt时段内总流12运动至1'2'，从而动量发生变化单位时间一段总流管内流体动量的增加单位时间净流入这段总流管的动量这段总流管内流体所受合力=0==按照欧拉观点表述动量守恒定律令则两边同除dt：不可压缩流体定常流动总流的动量方程二.方程的讨论动量修正系数恒定总流动量方程建立了流出与流进分析体的动量流量之差与控制体内流体所受外力之间的关系，避开了这段流动内部的细节。对于有些水力学问题，能量损失事先难以确定，用动量方程来进行分析常常是方便的。恒定总流动量方程是矢量方程，实际使用时一般都要写成分量形式上游水流作用于断面A1上的动水压力P1，下游水流作用于断面A2上的动水压力P2，重力G和总流侧壁边界对这段水流的总作用力R’。其中只有重力是质量力，其它都是表面力。恒定总流动量方程GA1A2P1P2R’u1u2*******水流对侧壁的作用力R是R’的反作用力应用条件：恒定流动过流断面是均匀流或渐变流断面不可压缩流体三.方程的推广及应用推广：对于流场中任意选取的封闭隔离体作用：解决急变流动中，流体与边界之间的相互作用力问题。注意点：动量方程中的压强只能用相对压强。因为对所选的隔离体，周界上均作用了大小相等的大气压强，而任何一个大小相等的应力分布对任何封闭体的合力为0。

隔离体应包括动量发生的全部流段，即应对总流取隔离体；隔离体的两端断面要紧接所要分析的流段；隔离体的边界一般沿流向由固体边壁、自由液面组成，垂直于流向则由过流断面组成

动量方程的右端是流出的动量减去流入的动量，不可颠倒四.方程的应用步骤选取适当的过流断面与隔离体建立适当的坐标系投影轴可任意选取，以计算方便为宜分析隔离体的受力情况注意不要遗漏，并以正负号表明力的方向分析隔离体流入、流出的动量，列动量方程结合使用连续性方程和柏努利方程求解1.液流对弯管壁的作用力如图一段弯管，液体以速度v1流入1-1面，以速度v2