第三章同步发电机的基本方程

2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程1第3章同步发电机的基本方程

3.1基本前提3.2同步发电机的原始方程3.3d、q、0坐标系的同步电机方程※

3.4同步电机的常用标幺制3.6同步电机的对称稳态运行※※2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程2本章内容提要在一定前提条件下，提出同步发电机的原始方程；通过派克变换，实现从a、b、c系统到d、q、0坐标系统的转换，得到发电机的基本方程形式；根据同步电机Park方程式，得到用相量表示的稳态电势方程式，等值电路，相量图；2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程4一、理想同步电机的假设忽略磁路饱和、磁滞、涡流影响，假设电机铁心部分导磁系数为常数。（即线性元件、叠加原理）电机转子在结构上对于纵轴（d）和横轴（q）分别对称。定子的a、b、c三相绕组的空间位置互差120°，完全对称而又相同的三个绕组，气隙中产生正弦分布的磁势。定子绕组沿定子均匀分布，电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的磁动势在定子绕组所感应的空载电势是时间的正弦函数。电机的定子和转子具有光滑的表面。（即不考虑定转子槽、通风沟等）3.1基本前提2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程5同步发电机各绕组轴线正方向示意图（凸极）n2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程6正方向确定的描述：定子三相绕组ax、by、cz中心轴线a、b、c彼此相差120°。c相滞后a相轴线120°，b相轴线滞后a相240°。转子极中心线用d表示，纵（直）轴；极间轴q横（交）轴。按转子旋转方向，q轴滞后d轴90°。励磁绕组ff轴线与d轴重合；阻尼绕组用相互正交短接线路表示；DD纵轴阻尼绕组轴线与d轴重合；QQ横轴阻尼绕组与q轴重合。隐极机转子涡流效应可用阻尼绕组等效，外形不同，凸极机特例。Ψ正方向——i正方向——轴线正方向2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程7二、假定正向的选取

定子回路定子电流的正方向——绕组中性点流向端点的方向各相感应电势的正方向与相电流的相同向负荷侧看，电压降落方向与相电流正向一致。转子各个绕组感应电势的正方向与本绕组电流的正方向相同向励磁绕组提供正向励磁电流的外加励磁电压是正的两个阻尼回路的外加电压为零2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程8同步发电机的回路图转子定子efeDeQeaeceb2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程93.2同步发电机的原始方程

一、电势方程和磁链方程

根据规定的正方向，定子和转子各回路的矩阵电势方程：v：各绕组端电压；i:各绕组电流；r:定子每相绕组电阻；ψ:各绕组的总磁链；:磁链对时间的导数。定转rs:定子电阻矩阵rR:转子电阻矩阵2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程10各绕组的磁链方程矩阵形式Laa:绕组a的自感系数Lab:绕组a和绕组b之间的互感系数2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程11二、电感系数

定子绕组自感系数LaaLbbLcc定子绕组间互感系数Lab=

LbaLbc=

LcbLca=

Lac转子绕组自感系数Lff=LfLDD=LDLQQ=LQ转子绕组间互感系数LfD=

LDfLfQ=

LQfLDQ=

LQD定转子绕组间互感系数Laf=

LfaLbf=

LfbLcf=

LfcLaD=

LDaLbD=

LDbLcD=

LDcLaQ=

LQaLbQ=

LQbLcQ=

LQc2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程12同步发电机的原始方程的矩阵形式Review：磁路欧姆定律2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程14二、电感系数

1．定子各相绕组的自感系数a相为例a绕组有电流iaFa＝ωaiaωa为a相绕组的等效匝数λad和λaq分别表示沿d轴和q轴方向气隙磁通路径的磁导Fad轴分量Facosαq轴分量Fasinα定子绕组漏磁通λsσ：漏磁通路径的磁导αω2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程15电流ia产生的与a相绕组交链的磁链

Laal0l22023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程16α＝0°、180°a相轴线和d轴重合，只有很小气隙，磁路磁阻最小，磁导最大→Laa最大α＝90°、270°a相轴线和d轴垂直，气隙最大，磁路磁阻最大，磁导最小→Laa最小Laa是转子位置角α的周期偶函数(T＝π)，Laa(α)＝

Laa(-α)Laa随α角的变化2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程17定子三相绕组对称，可得b、c相：注意：＝l02023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程182．定子绕组间的互感系数

a相电流产生交链于b相绕组的磁链2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程19ωa=ωb=ωm0m2LabLab随α角的变化2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程21同理注意：2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程223．转子上各绕组的自感系数和互感系数

1)转子各绕组的自感系数Lff、LDD和LQQ转子绕组电流产生的磁通(凸极机、隐极机)，由于磁路的磁导总是不变，因此转子各绕组的自感系数都是常数记为Lf、LD和LQ

以励磁绕组为例，对本绕组产生的磁链为：wf——等效匝数if——绕组电流λσf——励磁绕组漏磁磁导2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程232)转子各绕组间的互感系数为常数两个纵轴绕组（励磁绕组f和阻尼绕组D）之间的互感系数

LfD=LDf=常数转子的纵轴绕组f、D和横轴绕组Q的轴线互相垂直，它们之间的互感系数为零即LfQ=LQf=LDQ=LQD=02023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程244．定子绕组和转子绕组间的互感系数

（1）定子绕组与励磁绕组间的互感系数：以励磁绕组与定子a相绕组间的互感为例，当励磁绕组有电流if时，其对a相绕组产生的互感磁链。a相d轴α2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程25ax定子绕组和励磁绕组间互感2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程26α＝0°，d轴和a轴重合，磁导最大，正方向相同，交链磁通有最大的正值，互感最大。α＝90°、270°，d轴和a轴垂直，a相绕组和f绕组交链的磁链正交，互感为零。α＝180°，d轴和a轴反向重合，交链磁通有负的最大值，互感为负的最大值。2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程27（2）定子各相绕组与纵轴阻尼绕组间的互感系数

LaD＝LDa＝maDcosαLbD＝LDb＝maDcos(α-120°)LcD＝LDc＝maDcos(α+120°)

（3）转子横轴落后纵轴90°,定子绕组和横轴阻尼绕组间的互感系数为：

LaQ＝LQa＝maQsinαLbQ＝LQb＝maQsin(α-120°)LcQ＝LQc＝maQsin(α+120°)主要结论将磁链方程代入同步电机电势方程，将得到一组时变系数微分方程，不便于求解；磁链方程式中，同步电机许多电感系数随转子位置角发生周期性变化，是时变系数凸极机隐极机影响因素定子绕组自感系数时变常数转子dq轴向对称性定子绕组间互感系数时变常数转子dq轴向对称性转子绕组自感系数常数常数磁路恒定转子绕组间互感系数常数常数磁路恒定定转子绕组间互感系数时变时变定转子相对运动磁链方程式出现变系数的原因：（1）转子的旋转使定转子绕组间产生相对运动，致使定转子绕组间的互感系数发生相应的周期性变化；（2）转子在磁路上只是分别对d轴和q轴对称，而不是随意对称，由此导致定子各绕组的自感和互感发生周期性变化；2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程31美国工程师派克（park）于1929年提出了一种坐标变换的方法，将a、b、c坐标系的量转换为另一个坐标系统上的量，即派克变换，将变系数的微分方程变换成常系数微分方程，然后求解。2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程323.3d、q、0坐标系的同步电机方程一、派克变换和d、q、0系统磁链方程式中出现变系数（特别是凸极）转子绕组相对于定子绕组旋转；转子不对称，仅对d、q轴对称。造成定、转子绕组间互感，定子自、互感周期性变化。仅有转子绕组自感和转子绕组间互感为常数。电压、磁链原始方程很难求解。1.坐标变换与dq0坐标系（1）采用通用相量表示定子三相电流注：定子三相对称电流产生空间同步旋转的电枢磁势F，可以视为由通用相量I产生，两者同相位，数值成比例；定子三相对称电流可以用以同步转速旋转的通用相量I表示；1.坐标变换与dq0坐标系（2）通用相量的dq轴分量以同步转速旋转的通用相量I可以分解为两个同步旋转的分量id和iq；注：定子三相对称电流产生空间同步旋转的电枢磁势F，亦可以视为由通用相量I的分量id和iq产生；1.坐标变换与dq0坐标系—Park变换等效设想：将静止的abc三相定子绕组等效为随转子旋转的dd和qq绕组。等效绕组中的电流id和iq产生的磁势对转子相对静止，磁通磁路磁阻不变，因此电感系数为常数。1.坐标变换与dq0坐标系（3）用dq轴分量表示iabc计及三相不平衡，增加零轴分量1.坐标变换与dq0坐标系（3）Park变换—idq0---iabc计及三相不平衡，增加零轴分量1.坐标变换与dq0坐标系（3）Park变换—iabc-----idq0注：从旋转的dq0坐标系观察到的定子电流为：idq01.坐标变换与dq0坐标系Park变换的另一种推导方法2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程402023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程41P55例题3－1（请结合例题记下来）

a,b,c系统中的直流分量和倍频交流分量对应于d,q,0系统的基频分量，a,b,c系统中的基频交流分量对应于d,q,0系统的直流分量。定子三相对称电流ia，ib，ic旋转磁场ω′ω′=0ia，ib，ic直流ω′=2ωω′=ωia，ib，ic倍频交流ia，ib，ic基频交流id，iq基频交流Park变换Park变换id，iq直流1.坐标变换与dq0坐标系需要注意的是：Park变换本质上是数学变换，因此其矩阵形式不是唯一的。同理可对定子电压和磁链作同样的变换。2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程43二、d、q、0系统的电势方程

定子的电势方程为：全式左乘P，便得：由于上式求导：得到用d、q、0轴分量表示的电势方程式：原始方程：2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程44或者展开写成式中（3-31）2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程451、dd和qq绕组中的电势包含的两个分量变压器电势：磁链对时间的导数发电机电势：磁链同转速的乘积d、q轴电压方程多了ωψ项——静止abc变到旋转dq轴第三个方程是独立的。2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程46三、d、q、0系统的磁链方程和电感系数（3-32）（3-33）式（3-32）左乘以P，并利用关系式（3-26），得：通过矩阵演算可得：（3-37）2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程47变换到d、q、0坐标系的磁链方程：

将上述表达式代入（3-34）和（3-35），将其合写为

（3-37）2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程48磁链方程的解释1.方程中各项电感系数都变为常数。L－自感m－互感2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程49定子、转子磁链方程展开原三相定子绕组用三个假想绕组来代替。其中零序绕组，在转子空间的合成磁场为零——两个旋转绕组代替原固定三相绕组。2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程50Ld：包含定子一相绕组的漏自感；两相绕组间的漏互感；穿过气隙的电感系数为一相绕组单独作用时的3/2倍。Lq：为三相电流共同作用下的一种解耦后的一相等值电感系数L0：为一相等值的零轴电感系数，只与漏自感及漏互感有关。纵轴同步电感横轴同步电感零轴电感进一步分析定子磁链方程中的电感2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程512.定转子绕组间的互感系数不可逆，磁链方程变得不对称。转子绕组产生的磁链，对等效定子绕组dd、qq的互感系数等效定子绕组dd、qq的电流id、iq产生的磁链对转子绕组的互感系数2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程52不对称的原因：由等效定子绕组电流id、iq产生的磁链对转子绕组的互感磁链等于定子三相电流产生的合成旋转磁势对转子绕组的互感磁链。mfa、mDa

、mQa——定子一相绕组电流对转子互感系数。定子三相合成磁势F，定子一相磁势Fm：F＝(3/2)Fm。磁链守恒，必须将等效绕组dd、qq对转子绕组的互感系数扩大3/2。2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程53习惯上常将d、q、0系统中的电势方程和磁链方程合称为同步电机的基本方程，亦称派克方程。2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程54定子、转子各物理量都用标幺值表示的同步电机的基本方程为：3.4同步电机的常用标幺制

2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程553.6同步电机的对称稳态运行一、基本方程的实用化假定：（1）转子转速不变并等于额定转速。（2）电机纵轴向三个绕组只有一个公共磁通，不存在只同两个绕组交链的漏磁通。（3）略去定子电势方程中的变压器电势，即（4）定子回路的电阻只在计算定子电流非周期分量衰减时予以计及，而在其他计算中则略去不计。2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程56q轴d轴图3-10各变量实用正向的选取对定子某些变量的正方向作适当的调整改选转子d轴的负方向作为定子电压、电流的d轴分量的正方向，而其余各量的正方向不变。调整后的各变量的正方向称为实用正向。d轴反方向2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程57（3-63）（3-64）2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程58二、稳态运行的电势方程式、相量图和等值电路id=－Icos(α－θ)=－Icos(α0－θ0)iq

=Isin(α－θ)=Isin(α0－θ0)（3-65）θ＝θ0+ωt——电流相量Ì与定子a相轴线的夹角；α＝α0+ωt——转子d轴与定子a相轴线的夹角；id和iq都是常数。2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程59同步电机对称稳态运行时，1）均为直流常数；2）3）4）定子r＝05）if=vf/rf2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程60相量形式（3-67）q轴d轴ReIm2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程61相量形式（3-67）q轴d轴ReIm2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程62隐极机xd=xqjxq2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程63xd≠xq有：定义：凸极机qdjxq2023/1/14电力系统分析第三章同步发电机的基本方程64同步电