第七章：静止电荷的电场

1电磁学2、电磁学的研究内容电磁场对实物的作用及所引起的各种效应；电荷和电流产生的电场和磁场的规律；电磁场对电荷和电流的作用；电场和磁场的相互联系。1、人类对电磁现象的认识过程麦克斯韦建立了统一的电磁场理论。雷电和天然磁石是对电磁的最早认识；由奥斯特电流的磁效应认识了电和磁之间的关系；法拉第发现电磁感应定律并提出场的观点，对电和磁的关系有了更深刻的认识；1、人类对电磁现象的认识过程麦克斯韦建立了统一的电磁场理论。雷电和天然磁石是对电磁的最早认识；由奥斯特电流的磁效应认识了电和磁之间的关系；法拉第发现电磁感应定律并提出场的观点，对电和磁的关系有了更深刻的认识；下面我们对整个电磁学做一个简单的介绍：即电磁学的发展历程关于电磁现象的观察记录，可追朔到公元前6世纪希腊学者泰勒斯，他观察到布摩擦过的琥珀能吸引轻微物体。在我国，最早是在公元前4世纪到3世纪战国时期《韩非子》有关“司南”和《吕氏春秋》中有关“磁石召铁”的记录。关于电磁现象的定量研究，最早可以从库仑1785年研究电荷之间的相互作用算起，后经泊松、高斯等人逐渐发展。但是最初电学和磁学是独立发展的。1820年，奥斯特发现了电流的磁效应，即导线中的电流会使磁针偏转。从而人们认识到了电和磁的关系。（十分有趣的是，这种电磁间的联系是奥斯特在为他的学生准备物理讲座的课堂演示实验时发现的）很快（一两年内），比奥、萨伐尔、安培等作了进一步的定量研究。1831年法拉第发现了有名的电磁感应现象，并提出了场和力线的概念，进一步揭示了电和磁的联系。在电磁学发展中，其中一位最优秀的学者：Faraday。他是一位具有物理直觉和想象才能的真正的天才实验家。一个事实证明了他的天赋：在他整理的实验室笔记本中连一个方程式也没有。也正是法拉第在数学理论上缺陷，使得电磁学基本理论的发现与之失之交臂，而落入另一位年轻的物理学家麦克斯韦手中19世纪中期，Maxwell采用了他自己的许多新概念将法拉第的构想发展成为数学形式，从而使电磁学建立在了坚固的理论基础之上，是电磁学的集大成者。§7.7利用高斯定律求静电场的分布第七章静止电荷的电场§7.1电荷§7.2库仑定律及叠加原理§7.3电场和电场强度§7.4静止的点电荷的电场及其叠加§7.5电场线和电通量§7.6高斯定律

静电学的研究方法贯穿于整个电磁学的研究过程中，它是电磁学的基础。§7.1电荷1、两种电荷：正电荷和负电荷电力：同号相斥、异号相吸电量：带电体所带电荷的多少；单位：C2、电荷的量子性：e=1.602×10-19库仑夸克模型——分数电荷：1913年，密立根用液滴法首先从实验上证明了微小粒子带电量的变化不连续，并测得电子电量。宏观带电体的带电量q>>e，准连续分布。§7.1电荷1、两种电荷：正电荷和负电荷2、电荷的量子性：e=1.602×10-19库仑夸克模型——分数电荷：1913年，密立根用液滴法首先从实验上证明了微小粒子带电量的变化不连续，并测得电子电量。宏观带电体的带电量q>>e，准连续分布。实验证明：任何带电体所带电量总是电子电量的整数倍，电荷的这种特性给一个现在时髦的叫法成为电荷的量子性。近代物理预言，基本粒子有若干种夸克或反夸克组成，每一个夸克或反夸克电量是分数电荷夸克反夸克然而至今单独存在的夸克尚未在实验室发现，（即使发现了，也不过把基本电荷的大小缩小到目前的1/3，电荷的量子性依然不变）此时可以用连续分布处理，即数学上可以用微积分处理73、电荷守恒定律：对于一个系统，如果没有净电荷出入其边界，则系统正负电荷的代数和保持不变。4、电荷的相对论不变性：在不同参考系中观察，同一带粒子电量不变，也即电量为洛伦兹变换的不变量，与电荷的运动状态无关。

电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律。H2He83、电荷守恒定律：对于一个系统，如果没有净电荷出入其边界，则系统正负电荷的代数和保持不变。4、电荷的相对论不变性：在不同参考系中观察，同一带粒子电量不变，也即电量为洛伦兹变换的不变量，与电荷的运动状态无关。

电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律。H2He在相对论中，时间空间测量都是随着参考系的不同而不同的，因此很多物理量，如质量、能量都与物体的运动状态有关，即与参考系的选择有关，但是电量具有相对论不变性典型例子是，氢分子和氦原子，而这都由两个电子，两个质子组成，都呈现电中性。他们的两个核外电子的运动状态相差不大，但是，他们的质子的运动状态差别很大。氢分子：两质子距离远，能量小；而氦原子：两质子构成一个原子核，紧密地束缚在一起，距离很近，能量大得多（一百万倍的数量级），所以氢分子和氦原子中的两个质子运动状态有很大的不同，但是他们的电量都是相等的，否则不可能二者同时呈现电中性r1、点电荷可以简化为点电荷的条件:§7.2库仑定律与叠加原理是一种理想模型。符合d＜＜rd观察点P●2、库仑定律：q在真空中，两个静止点电荷之间的相互作用力，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，异号相吸。1785年，库仑r1、点电荷可以简化为点电荷的条件:是一种理想模型。符合d＜＜rd观察点P●2、库仑定律：q在真空中，两个静止点电荷之间的相互作用力，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，异号相吸。1785年，库仑两个点电荷间存在相互作用力：1785年，库仑通过实验总结出两点电荷之间的相互作用力的规律当带电体的大小、形状与带电体间的距离相比可以忽略时,就可把带电体视为一个带电的几何点。这是我们在中学都已经学过的表达式，那么在大学我们知道力具有矢量性，那么如何用矢量式表达库仑定律呢？电荷间存在相互作用力，电荷间的相互作用力的大小遵循库仑定律，下面学习1.2节，首先介绍一个该概念：点电荷q1q23、电力的叠加原理：q1q0q2q1q2反过来我们也可以表示第一个点电荷对第二个点电荷的作用力讨论：(1)库仑定律适用于真空中的点电荷；(2)库仑力满足牛顿第三定律；(3)一般3、电力的叠加原理：和所有的作用力一样，电力也具有叠加性真空电容率§7.3、4电场和电场强度及叠加

两种观点{相对于观察者静止的电荷在周围空间激发的电场。试验（检验）电荷q0{是点电荷(尺寸小)。q0足够小，对待测电场影响小场：是物质存在的一种形式。超距作用电荷1电荷2作用作用电场电场1电场2电荷1电荷2产生作用产生作用1、静电场：

两种观点{超距作用电荷1电荷2作用作用电场电场1电场2电荷1电荷2产生作用产生作用我们知道电荷之间存在着相互作用力，这个作用力与我们生活中常见的作用力有所区别，我们常见的力，受力物体和施力物体都是相互接触的，如弹力、摩擦力、拉力。而电荷间作用力不需要相互接触就能产生，与此类同的还有万有引力或中立，那么这种之间的相互作用是如何实现的呢？历史上曾存在两派之争作用力是直接给以的，这种作用不需要中间物质传递的，也不需要时间，而是有一个电荷立即到达另一个电荷法拉第根据大量物理现象研究，提出了近距作用学说，他认为电荷周围存在某种特殊的“状态”，并用电力线描述这种状态，电荷之间的相互总用时通过“以太”这种介质传递的，当然，“以太”实际上是不存在的，但法拉第的力线思想无疑是场概念的先声。近代物理的理论和实验证实了场的观点是正确的，任何电荷在他周围都会产生电场，电场的作用力是通过电场以有限的速度即光速传递的。场是客观存在的一种物质，它和分子、原子所组成的实物一样，具有质量、动量、能量等物质的基本属性，但又不同于一般的实物、譬如某一实物所占据的空间不能同时为另一实物所占据，而几个电场，电场与磁场等却可以同时占有一个空间，因此，场和实物是物质存在的两种不同形式，或者说，场是一种特殊的物质。相对于观察者静止的电荷产生的电场，叫做静电场，如果只讨论静止电荷的作用力，场的观点和超距作用的观点是等效的。但是在电荷运动特别是电荷迅变得情况下，超距总用的结果与实验不符，场的观点及近距作用观点才是正确的15日常生活中的许多实际例子告诉我们，作用必须借助于物质来传递，并且作用的传递需要一定的时间，也就是说作用是以一定的速度传递的。两个带电体在真空中并未直接接触，那么它们之间的相互作用是如何实现的呢？

对于这个问题，在很长时间内，人们误认为带电体之间的作用是一种“超距作用”。直到上世纪，人们才从电、磁现象的实践和电磁波的发现中逐渐形成了另一种观点，即认为带电体之间的相互作用同样是通过物质间的直接接触而实现的。也就是说，任何带电体的周围空间内都存在着一种特殊的物质，这种特殊物质叫做由该带电体所激发的电场；当另一个带电体处于该带电体所激发的电场之中时，它就要受到所在处的电场力作用。换句话说，电荷与电荷之间是通过电场这种特殊物质而相互作用的。

例如，两个电荷

、

间的相互作用，是由于电荷

(作为场源电荷)在周围空间激发的电场对电荷

有力的作用；同时，电荷

(作为场源电荷)在周围空间激发的电场对电荷

也有力的作用。这种相互作用可表示为：

16近代的科学实验充分肯定了场的观点，而且还证实了电场和一切由分子、原子组成的物质一样，也具有能量、动量和质量等重要特征。因此，电场也是一种物质。但是要注意，电场这种物质与我们平常所理解的由分子、原子等微粒所构成的物质，在表现的形态上是不相同的。

如上所述，当有带电体存在时，其周围就伴随有一个电场。如果带电体相对于观察者所在的惯性参考系(例如地球等)是静止的，那么，在这带电体周围存在的电场称为静电场。静电场虽然不能象一般实物那样直接看得见，摸得着，但是可以从它的对外表现来发现它的存在。静电场的重要对外表现

(1)引入静电场中的任何带电体都要受到电场所施加的力的作用，库仑力实际上就是这种电场力。

(2)当引入静电场中的带电体在电场中移动时，电场力就对它作功。

静止的带电体既然是通过其周围所存在的静电场对其他带电体施加作用的，那么，我们必须对静电场所具有的性质和规律有较详尽的认识，才有可能进一步来研究许多电学上的问题。定义:q0q0

电场中某点的电场强度等于静止的单位正电荷在该点所受的电场力。2、电场强度方向：静止的正电荷所受电力的方向。场源电荷3、电场叠加原理qiq2q1p

一组点电荷在某点的激发的电场，等于每个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和，成为场强的电结原理181）点电荷的电场q场源场点4、电场强度的计算2）点电荷系的电场n个点电荷产生的电场中某点的电场强度，等于每个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。qiq2q1p193）连续带电体的电场电荷面分布电荷体分布电荷线分布电荷元：计算时将上式在坐标系中进行分解，化为分量式进行计算。dqP.矢量积分！20场源电荷连续分布：1)电荷线分布电荷的线密度，dx线元2)电荷面分布电荷的面密度，ds

面元3)电荷体分布电荷的体密度，dV体积元场源为点电荷：场源为点电荷系：21-q+q0xzE+E-E+E-PrBr例1.

求远离电偶极子在极轴延长线的一点P（r»l）中垂线Q点的场强。22电偶极矩（电矩）电偶极子：+例1.7计算电偶极子在外电场中所受的力矩力矩的作用总是使电偶极子转向电场E的方向+(1)力偶矩最大力偶矩为零

(电偶极子处于稳定平衡)(2)(3)力偶矩为零(电偶极子处于非稳定平衡)讨论例1.4求一长为L，电荷线密度为λ的均匀带电直线中垂线上一点a处的电场强度。建立直角坐标系

取线元dx解：将dE分解在x、y方向上由于对称性yxP●θ

代入上式得：yxP●θP点场强的方向垂直于带电直线而指向远离直线的方向。呈对称性分布。yxP●θ2)当即无限长均匀带电直线的场强：场强分布呈轴对称性。空间每一点都可看做在带电直线的中垂线上。讨论:1)当a＞＞L时，即在远离带电直线的区域内直导线相当于点电荷。解：

例1.5一均匀带电细圆环，半径为R，所带总电量为q(q＞0），求圆环轴线上任一点处的场强。建立直角坐标系

取线元其带电量为dqxr由于对称性

所有线元的E组成一圆锥面。p●R●ppRxrx＞＞R时，带电圆环相当于点电荷。x=0时，E=0带电圆环圆心场强为零。讨论:例均匀带电圆盘,半径为R，面电荷密度为σ，求圆面轴线上任一点的场强。解：取一细圆环，半径为r，宽为dr。其面积为RxrdrxP得：RxrdrxP由上题，均匀带电圆环轴线上一点的电场无限大均匀带电平面的场强是匀强电场。可视为点电荷的电场。1)当x<<R时2)当x>>R时讨论:33一、电场线用一族空间曲线形象描述场强分布

电场线(electricfieldline)或电力线

1.规定

方向：力线上每一点的切线方向；

大小：定性定量疏密垂直面积电场线条数ds为了形象地描绘电场在空间的分布，法拉第引入了电场34一、电场线用一族空间曲线形象描述场强分布

电场线(electricfieldline)或电力线

1.规定

方向：力线上每一点的切线方向；

大小：定性定量疏密垂直面积电场线条数7.5.电场线(电力线)和电通量ds通过单位垂直面积的电力线条数等于该区域的电场强度；及电场中某点的电场强度的大小等于该点处的电场线线密度35点电荷的电场线正电荷负电荷+36一对等量异号电荷的电场线+37一对等量正点电荷的电场线++382qq一对异号不等量点电荷的电场线39+++++++++无限长平板40带电平行板电容器的电场

电场线并不是真实存在的，也不是正电荷在场中运动的轨迹。+++++++++2、电场线性质:1）起自正电荷，终止于负电荷，而不会在没有电荷的地方中断；2）不能形成闭合曲线；3）不会相交；41将上式推广至一般面元2、若面积元不垂直电场强度由图可知:通过和电力线条数相同匀强电场1、通过垂直于电场强度的平面的电通量二、电通量通过任意面积的电场线条数叫通过该面的电通量引入面积元矢量匀强电场电通量的基本定义式42通过任意面积元的电通量3、通过任意曲面的电通量：把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场43物理上有意义的是求通过闭合面的电通量1)有正有负若取如实蓝箭头所示的法线方向，则若取如虚红箭头所示的法线方向，则正负取决于面元的法线方向的选取>0<0讨论:44规定：面元方向S<0电力线穿入电力线穿出----由闭合面内指向面外2)通过闭合面的电通量简称外法线方向>0几何含义：通过闭合曲面的电力线的净条数45§7.6高斯定律

真空中，静电场通过任意封闭曲面的电通量，等于该封闭面所包围的电荷的电量的代数和的1/ε0倍。一、高斯定律库仑定律+叠加原理思路：先证明点电荷的场然后推广至一般电荷分布的场高斯定理的证明——46高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。他有“数学王子”、“数学家之王”的美称、被认为是人类有史以来“最伟大的三位（或四位）数学家之一”（阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉）。人们还称赞高斯是“人类的骄傲”。天才、早熟、高产、创造力不衰、……，人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过份。

高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。

高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

47证明:如图,以点电荷的中心作半径为r的球面+q1.包围点电荷q的球面S，点电荷在球心r二、高斯定律的证明结论:1）电通量与球面半径r无关！说明对以点电荷q为中心的任意球面而言，通过它们的电通量都一样。对两个无限接近的球面，通过它们的电通量都相同。2）电场线在无电荷处连续482.包围点电荷q的任意闭合曲面因为：电场线在无电荷处连续SS'取S'球面包围任意S闭合曲面q通过S和S'

的电场线数量相同所以结论:

e

与曲面的形状及

q

在曲面内的位置无关。3.不包围点电荷任意闭曲面S的电通量为零。qS电场线在无电荷处连续进入与穿出S面的电场线数量相同494、对于有多个质点组成的质点系q1q2qiqi+1qn

是所有电荷产生的，e

只与内部电荷有关。结论:P50*静电场高斯定理的微分形式电荷连续分布情况下,高斯定理可写为:可得:据:奥—高公式称为的散度高斯定理说明静电场是有源场。其源头就是其中的电荷。51讨论:1）高斯定律源于库仑定律，高于库仑定律库仑定律：只适应于静止的点电荷；高斯定律：不仅适应于点电荷，还适应于带电体；

不仅适应于静电场，还适应于迅变的电磁场。2）高斯定律是静电场性质的基本方程——有源场可证明电场线的连续性；源：正电荷：发出电场线负电荷：汇聚电场线3）注意：E是所有电荷产生的，e只与内部电荷有关。52当场源分布具有高度对称性时求场强分布步骤：１.对称性分析，确定的大小、方向分布特征２.作高斯面，计算电通量及３.利用高斯定理求解7.7利用高斯定律求静电场的分布53

对称性分析

具有球对称

作高斯面球面通量通量电量电量用高斯定理求解

求均匀带电球面的场强分布已知R、q>0解:例1．球面54++++++++++++++++qR●r电场分布应具有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为r的球面为高斯面.分析：P●dq′●●dq与带电球面同心的球面上各点的场强大小都相等。P●

对称性分析

具有球对称具体分析：任意场点P点的场强，是所有场源电荷在此点的电场强度的矢量叠加，如一电荷元dq在P点的场强，必有一关于OP对称的对称电荷元dq’在P点的场强在垂直于径向方向的场强相互抵消，所以合场强方向沿径向；由于整个带电体都是关于OP对称的，所有垂直径向方向都抵消，所以P点的场强一定是沿径向方向的。同样到O点距离相同的Q点的情况，与P点完全相同，也是沿径向的，且大小相同。

作高斯面球面55r0EE—r曲线R2）当rR时与电荷集中于球心形成的点电荷产生的电场一样。球面电场：r均匀带球面内场强为零。1）当rR时P●++++++++++++++++qR●rP●结果讨论:1）画电场线2）画E-r图电场线密度为零即无电场线分布即电场线呈辐射状分布56

常见的电量分布的对称性：

球对称柱对称面对称均匀带电的球体球面(点电荷)无限长柱体柱面带电线无限大平板平面由上面的例题，可以看到通过高斯定律我们可以很容易求解具有高度对称