大学物理波动

波动第二章（Wave）1§2.1机械波的形成和特征§2.2行波，简谐波△§2.4波动方程△§2.3物体的弹性变形§2.6惠更斯原理§2.5波的能量§2.7波的叠加，驻波△§2.8声波，*地震波，*水波§2.9多普勒效应*§2.10复波，群速度△*§2.11孤子本章目录2§2.1机械波的形成和特征一.机械波的形成····t=T/4·····················t=T/2································t=3T/4·······················t=T····················t=00481620············12·············243弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时，波动是振动状态的传播，不是媒质的传播。形成机械波的条件这就形成了波动—机械波（mechanicalwave）。

“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。

某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于“下游”某处出现。因媒质各部分间的弹性联系，会使振动传播开去，4二.波的几何描述波线（waveline）——表示波的传播方向的射线（波射线）波面（wavesurface）——媒质振动相位相同的点组成的面（同相面）波阵面（wavefront）——某时刻波到达的各点所构成的面（波前）球面波平面波波线波面5三.波的分类按波的性质机械波（mechanicalwave）电磁波（electromagneticwave）纵波（longitudinalwave）按波线与振动方向关系横波（transversewave）演示横波模型（KZ023）细弹簧纵波（KZ024）6水表面的波既非横波又非纵波。波速7按波面形状平面波（planewave）球面波（sphericalwave）柱面波（cylindricalwave）按复杂程度简谐波（simpleharmonicwave）复波（compoundwave）按持续时间连续波（continuedwave）脉冲波（pulsatingwave）按波形是否传播行波（travellingwave）驻波（standingwave）81.波速u：振动状态传播的速度它由媒质的性质决定与波源情况无关。2.周期（period）T：一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。它由波源决定（波源、观测者均不动时）频率（frequency）

角频率（angular

frequency）四.波的特征量93.波长（wavelength）

：波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。它由波源和媒质共同决定。波长是波的“空间周期”。xu10§2.2行波，简谐波设

为传播的物理量，它沿x轴传播，则为沿+x向传播的行波，u为波速。某种物理量的扰动的传播称为行波。ξxxx+Δxt+Δt时刻ξxxft

时刻一.行波（travellingwave）11∴具有沿+x向传播的性质。同理，具有沿-x向传播的性质。的函数形式称为波函数，称为行波的波函数。即是波传播时媒质质元的运动函数。它也就12二.简谐波（simpleharmonicwave）如果波传播的扰动是简谐振动的话，波称为简谐波（余弦波，单色波）这样的1.一维平面简谐波的波函数在x=0处质元振动方程为则应有：（因无吸收，故振幅A不变）——波函数以机械波的横波为例，设平面波沿x方向以速度u传播，媒质均匀、无限大，无吸收。13上面波函数式中的为波的相位。波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。——相速度（相速）设t时刻x处的相位经dt传到（x+dx）处，则应有于是得到即简谐波的波速就是相速。142.一维简谐波函数的另一种常用的表示∴0x沿波传播方向每增加的距离，相位落后2。说明：15例1反射波在S处相位改变。如图示，已知：y0=Acost，波长为，求：反射波函数y(x,t)解：全反射，A不变。全反射壁

(l-x)lxy0=Acosωt入反S0波由0经壁反射到x传播了距离l+(lx)=2lx，相位落后了(2lx)/，在壁处反射相位改变了

，“+”表示沿

x方向传播取+、均可163.波函数的意义（1）x一定，yt给出x点的振动方程。yTt0振动曲线x一定xy0波动曲线t一定（2）t一定，yx给出t时刻空间各点位移分布。17例2yx0已知：一个向右传播的波在x=0点的振动解：yt-TTA0A-A较0点相位落后/20yA0点初相位为-/2向+y方向运动t=0t>0试画出该波在曲线如图所示。t=0时的波形曲线。184.一维波函数的另几种常见的表示式——波数(wavenumber)空间因子振动因子（复振幅）（Re）（Re）19△§2.3物体的弹性变形着重搞清线变、切变和体变的概念，以及与三种变化相应的材料的弹性模量。（自学书第2.3节）20△§2.4波动方程（waveequation）一.一维波动方程（u是波速）书P63-66有其以棒中纵波为例的动力学推导。将代入可以验证。实际上，不光是简谐波函数是波动方程的解，都是波动方程的解。（可自己证明）任意一个以为变量的波函数21气体中液体中（体积模量）二.波速u与媒质性质的关系——比热比（公式不必记忆）体变ppppV+

V22固体中（切变模量）（杨氏模量）书表2.2：（地震波传播，沙漠蝎子捕食）弹性绳上的横波l—绳的线密度F—绳的初始张力，横波F切变FSll

FF线变纵波切应力切应变应力线应变23§2.5波的能量（energyofwave）一.波的能量振动有能量，它的传播将导致能量的传播。这里要搞清：①媒质质元能量是如何变化的？②能量传播的规律如何？以弹性棒中的简谐横波为例来分析：24yx0yx

y=Acos(

t-x/u)0uxx+xyxFFyS“质元”形变势能ΔWp，振动动能ΔWk切变模量25∴又26∴质元总能量振动系统：系统与外界无能量交换。波动质元：每个质元都与周围媒质交换能量。能量密度（energydensity）：（特征）27适用于各种弹性波0Awxywu处，，处，，能量“一堆一堆”地传播28二.能流密度（energyfluxdensity）→能流波的传播→能量传播能流密度S——单位时间内通过垂直于波线波的强度Iu单位面积xuw由图示有—媒质“特性阻抗”方向单位面积波的能量。（平均能流密度）29利用和能量守恒，可以证明，对无吸收媒质，有：平面波球面波柱面波

r——场点到波源的距离30*三.波的吸收（absorptionofwave）波通过媒质时，一部分能量要被媒质吸收。机械能→热运动能（不可逆）；造成吸收的因素：疏部、密部有温差，发生热交换，非弹性碰撞使分子规则振动能机械能→热运动能（不可逆）；→分子内部无规则的转、振能（不可逆）。①内摩擦：②热传导：③分子碰撞：31定义吸收系数对平面波：x+dxx0A0AA+dAx设=const.则∵32空气：钢：▲空气中低频波可传得很远

▲很大时（超声）

超声波探伤：探测器钢件超声波若33§2.6惠更斯原理（Huygensprinciple）前面讨论了波动的基本概念，其传播方向、惠更斯原理给出的方法（惠更斯作图法）现在讨论与波的传播特性有关的现象、原理和规律。是一种处理波传播方向的普遍方法。频率和振幅都有可能改变。由于某些原因，波在传播中，34发射子波（次级波）的波源（点源），就是波在该时刻的新的波面。的任一时刻，一.惠更斯原理（1690）1.原理的叙述媒质中任意波面上的各点，都可看作是其后这些子波面的包络面（包迹）2.原理的应用已知t时刻的波面t+t时刻的波面，从而可进一步给出波的传播方向。35t+t时刻波面·····ut波传播方向t时刻波面平面波t+t球面波例如，均匀各向同性媒质内波的传播：u···············t36二.波的衍射（wavediffraction）衍射：波传播过程中，当遇到障碍物时，能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。·入射波衍射波障碍物···入射波衍射波障碍物a障碍物的线度越大衍射现象越不明显，障碍物的线度越小衍射现象越明显。例如：相对于波长而言，37水波通过窄缝时的衍射38广播和电视哪个更容易收到?更容易听到男的还是女的说话的声音？障碍物（声音强度相同的情况下）39三.波的反射和折射（reflection&refraction）

△1.波的反射（书P74）2.波的折射：用惠更斯作图法导出折射定律u2t媒质1、折射率n1媒质2、折射率n2i法线B入射波A··E·Cu1u1t··FDu2折射波传播方向r——折射定律光波得到40光密媒质光疏媒质时，折射角r>入射角

i。全反射的一个重要应用是光导纤维（光纤），irn1(大)n2(小)i=iC

r=90n1(大)n2(小)当入射i>临界角iC

时，将无折射光—全反射。iC

—临界角它是现代光通信技术的重要器件。41光导纤维42光缆电缆图中的细光缆和粗电缆的通信容量相同我国电信的主干线可达300公里。也只有几十公里。而且损耗小。光纤通信容量大，在不加中继站的情况下，光缆传输距离而同轴电缆只几公里，微波早已全部为光缆。43近10年发展起来的导管

X光学也应用了全反射现象。对X光来说，玻璃对真空的折射率<1：故X光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射。X光以大于临界角入射到内表面光滑的玻璃就可以沿着弯曲的导管传播。管内，n玻璃

100可见光X射线反常色散区（吸收带）色散曲线44应用毛细的X管束可制成X光透镜。聚焦提高光束功率密度将发散光变为平行光X光透镜已用于：▲X光荧光分析▲

深亚微米X射线光刻▲

X光天文望远镜▲X光衍射分析▲

医疗诊断45§2.7波的叠加驻波一.波的叠加原理

(superpositionprincipleofwaves)波传播的独立性：两不同形状的正脉冲大小形状一样的正负脉冲?46

（仍可辨出不同乐器的音色、旋律）▲红、绿光束空间交叉相遇（红仍是红、绿仍是绿）（仍能分别接收不同的电台广播）▲听乐队演奏▲空中无线电波很多波的叠加原理：在它们相遇处，质元的位移为各波单独在该处几列波可以保持各自的特点（方向、振幅、波长、频率）同时通过同一媒质，产生位移的合成。（亦称波传播的独立性）现象：47叠加原理由波动方程的线性所决定，★

对于电磁波的情形：其解同样满足叠加原理。*麦克斯韦方程组的各个方程都是线性的，如果D=E和B=H也是线性关系，则E或H的每个分量的波动方程也是线性方程。过大时，媒质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理也就不再成立了。当波强度48*光波在媒质中传播时：▲弱光情形，媒质可看作线性媒质。弱光：光波电场强度的幅值<<原子内部电媒质非线性，子受到的电场强度（～1010V/m）。波的叠加原理不成立。非线性光学现象：混频效应光致透明和光学双稳态倍频效应

▲强光情形（激光E的幅值可超过109V/m），普通光源的光属弱光(E的幅值～103V/m)。49二.波的干涉现象波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布叫波的干涉。水波盘中水波的干涉50

相干条件：①频率相同；②振动方向相同；③有固定的相位差。两列波干涉的一般规律留待在后面光的干涉中再去分析。下面研究一种特殊的、常见的干涉现象——驻波51三.驻波（standingwave）就形成驻波，设两列行波分别沿x轴的正向和反向传播，能够传播的波叫行波（travellingwave）。1.驻波的描述两列相干的行波沿相反方向传播而叠加时，它是一种常见的重要干涉现象。在x=0处两波的初相均为0：52yA合A2A1令如图∴相位中无x其绝对值为振幅——不具备传播的特征各点都做简谐振动，振幅随位置不同而不同。532At=0y0x0t=T/8xx0t=T/20xt=T/4波节波腹/4-/4x02A-2A振动范围/2xt=3T/8054各处不等大，出现了波腹（振幅最大处）和波节（振幅最小处）。测波节间距可得行波波长。相邻波节间距/2，没有x坐标，在波节两侧变号x=/2

波腹x=0

波腹

x=3/4,波节x=/4,波节(-)(-)(+)(+)（1）振幅：（2）相位：故没有了相位的传播。驻波是分段的振动。两相邻波节间为一段，2.驻波的特点：同一段振动相位相同；相邻段振动相位相反：55合能流密度为但各质元间仍有能量的交换。（3）能量：平均说来没有能量的传播，能量由两端向中间传，瞬时位移为0，能量由中间向两端传，势能→动能。动能最大。势能为0，动能→势能。563.的情形：设典型的驻波行波此时仍可称“驻波”，不过波节处有振动。演示马达激励绳索弦驻波（KZ029）波动投影模型（KZ026）气体火焰驻波（KZ030）TV驻波（注1）则有57二.波在界面的反射和透射，“半波损失”0透射波y2反射波y1入射波y1z2z1x—特性阻抗z大—波密媒质z小—波疏媒质相对而言入射波反射波透射波58②界面两侧应力相等（牛顿第三定律）①界面两侧质元位移相同（接触）[y1+y1]x=0=[y2]x=0（纵波）机械波⊥入射时，有界面关系：

将y表达式代入界面关系，考虑E=u2得：59透射波：（2）若z1<z2，

则1=1

（1）若z1>z2，

则1=1反射波：1.相位关系反射波和入射波同相即波密波疏，反射波有相位突变即波疏波密，——半波损失均有2=1不论z1>z2，还是z1<z2，即透射波总是与入射波同相60若忽略透射波，则入射和反射波的波形如下：波腹相位不变波疏媒质波密媒质x驻波波节驻波相位突变波疏媒质波密媒质x61反射比透射比R+T=1(能量守恒)2.振幅关系：▲z1

、z2互换，R、T不变。R

1，T

0，全反射。▲z1>>z2或z1<<z2时，

▲z1

z2时，R

0（无反射），T

1，全透射。62以保证声阻抗的“匹配”。∴要使声波进入钢，不能有气隙。涂一层油(保持“声接触”的过渡层)，以增加透射率。实际的波发射和接收装置都需要设置过渡层，通常在钢表面空气（标准状况）420空气→水0.1%水

空气→钢0.004%钢（按纵波算）水→钢12%T63解：1）余弦波沿x方向传播，1）1区入射波函数y1；2）S1面上反射波y1，4）使两列反射波在1区干涉相消的Dmin=？3）S2面上反射回1区的求：r1u1<r2u2>r3u3。a点振动为r2u2r1u1dDlS1S2012axx33r3u3yy1y1y1如图示，（设其振幅为A1）；波（振幅例643）2）r2u2r1u1dDlS1S2012axx33r3u3yy1y1y1654）如何使和产生相消干涉：y相长干涉：相消干涉：（k=0，1，2）令令其振66若要和产生相消干涉，（k=0,1,2,）媒质2可作为隐形涂层。应有：67三.简正模式

（normalmode）波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。如两端固定的弦，L或——系统的固有频率F——弦中的张力l

——弦的线密度波速形成驻波必须满足以下条件：68基频n=1二次谐频n=2三次谐频n=3每种可能的稳定振动方式称作系统的一个简正模式。69n=1,3…LL=nn=1,3…L=nL三次谐频n=3n=3

三次谐频n=1

基频基频n=1边界情况不同，简正模式也不同：70末端封闭的笛中的驻波末端开放的笛中的驻波71一频率为248.5Hz的音叉放在盛水的细管口，求：声波在空气中的声速u连续调节水面高度，当空气柱的高度相继为L1=0.34m和L2=1.03m时发生共鸣。L1L2解：发生共鸣时形成驻波，管口为波腹，水面为波节。空气柱长满足条件：例72故声速因得n=0L1L273△§2.8声波，*地震波，*水波对声波（soundwave）要求搞清如下概念：声压（可正、可负）声压振幅：声强标准声强：（在1000Hz下，这个声强人能够勉强听到）的数量级为102Hz时，标准声强振幅∼10-10m（自学书2.8、2.9、2.10节）74声强级正常说话~60dB，噪声>70dB，炮声~120dB。每条曲线描绘的是相同响度下，不同频率的声强级。听觉界限频率HzdB声强级声响曲线75dBHz声阈频率语音范围疼痛界限音乐范围听觉界限声强级声音范围76超声波胎儿的超声波影象（假彩色）>20000Hz的声波要了解其应用演示超声喷泉（KZ032）77而使观测的频率不同于波源频率的现象。§2.9多普勒效应(Dopplereffect)

多普勒效应：一.机械波的多普勒效应设运动在波源S和观测者R的连线方向上，以二者相向运动的方向为速度的正方向。由于波源和观察者的运动，uvS

>0vR>0SR(波的频率)（对媒质）（对媒质）（波源频率）（观测频率）(书2.11节)78此时，uS·vS=0·RvR·vR

>0(R接近S)，vR

<0(R远离S)，（1）vS

=0，vR≠0，79此时，vS

S···R测=

vSTS·0SvSuTS·RuS运动的前方波长缩短（2）vR

=0，vS≠0，80水波的多普勒效应（波源向左运动）81此时，注意：1.S动R不动R动S不动波对R速度不是u本质不同2.vR、

vS

是对媒质而言，且以相向为正。（3）vR

≠

0，vS≠0，当vR

=-vS

时（无相对运动），82电磁波不同于机械波，不需要媒质。二.电磁波的多普勒效应v(对R)ScR当时，仍有——横向多普勒效应由相对论可导出：演示多普勒效应（KZ031）83三.激波

uΔt·SvS····vSΔt时，（冲击波）（shockwave）—后发出的波面将超越先发出的波面，形成锥形波阵面——冲击波带——马赫数对超音速飞机的最小飞行高度要有一定限制。马赫锥（Machnumber）84超音速的子弹在空气中形成的激波（马赫数为2）85作起始脉冲和截止脉冲。高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中的速度时，将发生锥形的电磁波—切连柯夫辐射。可用来探测高能带电粒子。脉冲重叠，也可用来四.多普勒效应的应用：▲测速（固、液、气）▲多普勒红移（“大爆炸”宇宙论）▲卫星跟踪（书P9596）不易引起电磁激波—切连柯夫辐射(Cerenkovradiation)：它发光持续时间短（数量级10-10s），86警察用多普勒测速仪测速超声多普勒效应测血流速87已知：如图，当汽车C经过O时，求：v30OCB电视信号x汽车C经过O时的车速v=？解：为什么B处会接收到强度起伏的电视信号？C作为接收者在动，C作为发射者在动，C反射的频率。分析：—的频率，反射亦为

。使它接收B处监测到电视信号(=6108Hz)有每秒20次的强度起伏。使B接收反射波和直接入射波叠加形成“拍”。在B处，例88这就造成了信号强度的起伏。拍频SvC30S