李雅普诺夫稳定性理论

第一讲

李雅普诺夫稳定性理论目录非线性系统相关基本概念李雅普诺夫关于稳定性的定义

及李雅普诺夫第一，第二方法拉塞尔不变集理论Barbalat引理类李雅普诺夫引理稳定性分析方法概述一致最终有界1.1非线性系统相关基本概念非线性系统的定义：含有非线性元件的系统，称之为非线性系统。非线性系统的分类：非本质非线性能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。本质非线性用小偏差线性化方法不能解决的非线性。非线性系统的稳定性（1）非线性系统的稳定性，则除了与系统的结构、参数有关外，很重要的一点是与系统起始偏离的大小密切相连。（2）不能笼统地泛指某个非线性系统稳定与否，而必须明确是在什么条件、什么范围下的稳定性。1.1非线性系统相关基本概念非线性系统的运动形式（1）非线性系统在小偏离时单调变化，大偏离时很可能就出现振荡。（2）非线性系统的动态响应不服从叠加原理。1.1非线性系统相关基本概念非线性系统的自振非线性系统的自振却在一定范围内能够长期存在，不会由于参数的一些变化而消失。1.1非线性系统相关基本概念几种典型的非线性特性1.1非线性系统相关基本概念不灵敏区（死区）特性表示输入

表示输出△表示不灵敏区，也常称死区。1.1非线性系统相关基本概念当系统前向通道中串有死区特性的元件时，最主要的影响是增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。不灵敏区（死区）特性的影响1.1非线性系统相关基本概念饱和特性，等效增益为常值，即线性段斜率；而，输出饱和，等效增益随输入信号的加大逐渐减小。1.1非线性系统相关基本概念饱和特性使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时，将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。带饱和的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有收敛的性质，系统最终可能稳定，最坏的情况就是自振，而不会造成愈偏愈大的不稳定状态。1.1非线性系统相关基本概念饱和特性的影响回环（间隙）特性

表示输入表示输出b表示间隙。1.1非线性系统相关基本概念降低了定位精度，增大了系统的静差。使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。回环（间隙）特性的影响1.1非线性系统相关基本概念继电器特性(a)理想继电特性(b)死区继电特性(c)一般的继电特性1.1非线性系统相关基本概念理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。可利用继电控制实现快速跟踪。带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果。1.1非线性系统相关基本概念继电器特性的影响线性系统稳定性分析的理论框架第一方法第二方法稳定性分析1892年俄国数学家李雅普诺夫SISO的代数分析方法解析方法Routh判据Houwitz判据根据SISO闭环特征方程的系数判定系统的稳定性根据状态方程A阵判定系统的稳定性1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法关于李雅普诺夫稳定性的基本概念李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性的分析的方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。线性系统的稳定性系统的结构系统的参数系统的结构和参数初始条件外界信号的类型和大小非线性系统的稳定性1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法系统状态的运动及平衡状态状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为(1-1)设(1-1)在给定初始条件下,有唯一解：(1-2)式中：x—n维状态矢量；f—与x同维的矢量函数；是和时间t的函数；一般f为时变的非线性函数，如果不含t，则为定常的非线性函数.。式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量使得：，对所有t，(1-3)成立，则称为系统的平衡状态。说明:

1）对于任一个系统,不一定都存在平衡状态.2)如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不一定是唯一的.3)当平衡态的任意小邻域内存在系统的别的平衡态时，称此平衡态为孤立的平衡态。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法5)由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标变换将其变换到坐标原点处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。6)稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。(这一点从线性定常系统中的描述中可以得到理解)7)如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处系统的稳定性可能是不同的。对有多个平衡点的系统来说，要讨论该系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要逐个讨论。4)对于线性定常系统，当A为非奇异矩阵时，的解是系统唯一存在的平衡状态，当A为非奇异时，则会有无穷多个。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法：状态向量x与平衡状态xe的距离。为欧几里德范数。当很小时，则称s()为xe的邻域。点集s()：以xe为中心，为半径的超球体。若xs()：如系统的解位于球域s()内，则：表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。

与稳定性相关的几个定义1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法则，其中李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况：李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、不稳定。李雅普诺夫意义下的稳定渐近稳定大范围渐近稳定不稳定1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法如果系统对于任意选定的实数>0，都存在另一实数(，t0)>0，使当：时，从任意初态x0出发的解都满足：则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定。李雅普诺夫意义下稳定其中实数与有关，一般情况下也与t0有关。如果与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法若对应于每一个s()，都存在一个s()，使当t无限增长使，从s()出发的状态轨线(系统的响应)总不离开s()，即系统响应的幅值是有界的，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定，简称为稳定。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出s()，而且最终收敛于xe，则称这种平衡状态xe渐近稳定。渐近稳定从工程意义上说，渐近稳定比稳定更重要。但渐近稳定是一个局部概念，通常只确定某平衡状态的渐近稳定性并不意味着整个系统就能正常运行。因此，如何确定渐近稳定的最大区域，并且尽可能扩大其范围是尤其重要的。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe大范围渐近稳定。大范围渐近稳定显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法如果对于某个实数>0和任一实数>0，不管这个实数多么小，由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种平衡状态xe不稳定。不稳定1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法球域s()限制着初始状态x0的取值，球域s()规定了系统自由响应的边界。则称xe渐近稳定如果x(t)为有界，则称xe稳定。如果x(t)不仅有界而且有：如果x(t)为无界，则称xe不稳定。在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称做稳定系统。只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。渐近稳定稳定不稳定Lyapunov意义下稳定(Re(s)<0)临界情况(Re(s)=0)不稳定(Re(s)>0)经典控制理论(线性系统）1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法李雅普诺夫第一法以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。线性系统的稳定判据线性定常系统∑＝（A，b，c）李雅普诺夫第一法简称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判定系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。（1-4）平衡状态渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法

如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。线性定常系统∑＝（A，b，c）输出稳定的充要条件是其传递函数（1-5）的极点全部位于s的左半平面。例

设系统的状态空间表达式为试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。解（1）由A阵的特征方程可得特征值。故系统的状态不是渐进稳定的。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法

（2）由系统的传递函数可见传递函数的极点s＝－1位于s的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具有正实部的特征值＝+1被系统的零点s＝+1对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数W（s）不出现零、极点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W（s）的极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法李雅普诺夫第二法李氏第二法（直接法）：通过构造李氏函数，从能量的角度直接判断系统稳定性。逐渐衰减至最小值渐近稳定储能不变李氏稳定储能越来越大不稳定系统被激励储能随时间思路：对于一个给定的系统，如果能够找到一个正定的标量函数V(x)（广义能量函数）,显然可以根据该函数的导数来确定能量随着时间的推移是减小的，还是增加的，或者是保持不变的。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法（3），则称是负定的。预备知识设是向量x的标量函数，且在x=0处，恒有对所有在定义域中的任何非零向量x，如果成立：（1），则称是正定的。（2），则称是半正定(非负定)的。（4），则称是半负定(非正定)的。（5），或则称

是不定的。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法设为n个变量，则其二次型标量函数可写为：二次型标量函数其中，P为实对称矩阵。例如：1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法预备知识1/14/2023二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换，使之化为：此称为二次型函数的标准型，为P的特征值，则正定的充要条件是P的特征值均大于0。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法预备知识矩阵P的符号性质定义如下：设P为n×n实对称阵，为由P决定的二次型函数，则（1）正定，则P正定矩阵，记为P>0;（2）负定，则P负定矩阵，记为P<0;（3）半正定，则P半正定矩阵，记为P≥0;（4）半负定，则P半负定矩阵，记为P≤0;1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法预备知识希尔维斯特判据设实对称阵

为其各阶顺序主子式，即矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法预备知识(2)若，则P

负定；(1)若，则P

正定；(3)若，则P

半正定；(4)若，则P

半负定；1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法预备知识解：二次型可以写为,,

例

证明如下二次型函数是正定的。可见此二次型函数是正定的，即1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法预备知识

定理1：设系统的状态方程为

如果平衡状态即。如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x具有一阶连续偏导数。2）

是正定的；3）若

是半负定的。则平衡状态为在李亚普诺夫意义下的稳定。几个稳定性判据1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法定理2：设系统的状态方程为如果平衡状态即，如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是负定的；或者为半负定，对任意初始状态，除去x=0外，有不恒为0。则平衡状态是渐近稳定的。进一步当，有，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法几个稳定性判据定理3：设系统的状态方程为如果平衡状态即如果存在标量函数V(x)满足：1）

对所有x具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是正定的。则平衡状态是不稳定的。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法几个稳定性判据（1），则此时，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。（2）不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面

相交，但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法说明：

解:显然，原点是系统平衡点，取则

又因为当时，有，所以系统在原点处是大范围渐近稳定的。例已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。令1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法例

已知系统的状态方程，试分析平衡状态的稳定性。解：其为线性系统，故是其唯一平衡点。将矩阵形式的状态方程展开得到：取标量函数(李雅谱诺夫函数)：且当

时，

。其为半负定，不恒为0，渐近稳定。所以系统在其原点处大范围渐近稳定。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法另选一个李雅普诺夫函数：当时，，所以系统在其原点处大范围渐近稳定。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法（1）V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数；（2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定或者不稳定；（3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；（4）V(x)最简单的形式是二次型；（5）V(x)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息；（6）构造V(x)需要一定的技巧。1.2李雅普诺夫稳定性及判别方法对李雅谱诺夫函数的讨论有时，李雅普洛夫函数的导数仅仅是负半定的，通过其它的方法我们仍有可能判断系统的渐近稳定性。拉萨尔不变性定理就是一种可供选择的方法，它延伸了李亚普诺夫函数的概念。与李雅普洛夫定理不同，拉塞尔引理不要求V(x)正定。1.3拉萨尔不变性定理例考虑系统

在平衡点的稳定性。选取李氏函数为:由于（），故原点是稳定的.如果选取李氏函数为:则有，从而得到系统是渐近稳定的.1.3拉萨尔不变性定理定义考虑自治非线性系统。状态的集合M称为该系统的不变集，系指对于任意初始状态，有，成立。对于自治非线性系统和标量函数V(x)，在状态空间中定义如下集合：1.3拉萨尔不变性定理定理1(拉萨尔不变性原理)(1)存在适当的正数l，使得是有界的；(2)则对于任意初始状态，当时，状态轨迹将趋于S内的最大不变集M。其中最大不变集是指S内所有不变集的并集。对于给定的自治系统，若存在连续可微的标量函数V(x)，满足：1.3拉萨尔不变性定理对于自治非线性系统，若存在连续可微的标量函数V(x)，满足：(1)V(x)是径向无界的，即当时，有:则对于任意初始状态，当时，状态轨迹将趋于S内的最大不变集M。定理2（拉萨尔全局不变性原理）1.3拉萨尔不变性定理定理3（拉萨尔渐近稳定性定理）设，及为定理1中定义的集合。如果集合S

除外不包含其它解，则平衡点是局部渐近稳定的。定理4（拉萨尔全局渐近稳定性定理）设V满足定理2的条件。如果集合S

除外不包含其它解，则平衡点是全局渐近稳定的。1.3拉萨尔不变性定理例考虑系统

在平衡点的稳定性。对于有可以求得：然而，易知在S内只有是系统的解。因此，根据定理4可知，是全局渐近稳定的。1.3拉萨尔不变性定理当李雅普洛夫函数的导数为负半定时，拉萨尔不变性理论为判断自治系统的渐近稳定性提供了一种可能的方法。而对于非自治系统（如模型参考自适应控制系统），则不适用。Barbalat引理为非自治系统的稳定性分析提供了一种重要的工具。1.4Barbalat引理给定一个关于t的可微函数，有下面三个重要结论：函数及其导数的渐近性质1、收敛几何上，导数趋于零意味着切线越来越平，但这并不意味着该函数收敛。如：或2、f收敛当t时，f存在极限并不意味着导数趋于零。如：3、如果f有下界且非增，则存在极限。1.4Barbalat引理Barbalat引理Barbalat引理

：如果可微函数f(t)当t时存在有界极限，且一致连续，则t时。注：1、可微函