结构力学 超静定结构内力

§4.4超静定结构内力分析MethodsofAnalysisofStaticallyIndeterminateStructures遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想，可有不同的出发点：以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法（forcemethod）。以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为位移法（displacementmethod）。如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixturemethod）。在本节主要介绍力法

超静定次数=未知力的个数-静力平衡方程个数

=多余约束数=变成基本结构所需解除的约束数(1)确定结构的超静定次数和基本结构(体系)基本结构——静定结构(1次）切断一个链杆相当于去掉一个约束。（3次）或切断一个连续杆相当于去掉三个约束。增加一个单铰相当于去掉一个防止转动的约束(6次)(4次)(b)一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。因此，要选取工作量较少的基本结构。确定超静定次数时应注意：(c)可变体系不能作为基本结构切断弯曲杆次数3、链杆1，刚结变单铰1，拆开单铰2。总次数也可由计算自由度得到。基本原理举例例1.求解图示单跨梁原结构基本体系fundamentalsystemorprimarysystem转化变形协调条件力法典型方程(TheCompatibilityEquationofForceMethod)未知力的位移“载荷”的位移总位移等于已知位移8q（b）（c）力法基本方程－系数求法单位弯矩图载荷弯矩图—

位移系数自乘—

广义荷载位移互乘代入力法方程（1）EIqlM（2）9绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）单位弯矩图载荷弯矩图基本体系有多种选择；1EIq（a）q（b）qqqq))（c）10力法的基本思路超静定计算简图解除约束转化成静定的基本结构承受荷载和多余未知力基本体系受力、变形解法已知力法的基本思路用已掌握的方法，分析单个基本未知力作用下的受力和变形同样方法分析“荷载”下的受力、变形位移包含基本未知力Xi为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件由此可解得基本未知力，从而解决受力变形分析问题PFP或基本未知力引起的位移载荷引起的位移变形协调条件力法典型方程3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341、基本体系与基本未知量：2、基本方程3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I123418279663663、系数与自由项154、解方程5、内力2.6721.333.564.335.662.673.331.111.93.331.113.331.93m3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I123421.333.564.335.66如计算第4点的水平位移1荷载作用例2.求解图示结构原结构FP基本体系一FP解法1:有两个多于约束解除约束代以未知力基本未知力FPFPa作单位和载荷弯矩图求系数、建立力法方程并求解仅与刚度相对值有关FPFPaFP（×Fpa）由叠加原理求得力法基本思路小结

根据结构组成分析，正确判断多余约束个数——超静定次数。

解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法典型方程。从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。解法2：原结构基本体系FPFP解法3：原结构基本体系FPFP原结构FP基本体系FPM1图M2图FPaFPMP图单位和载荷弯矩图FPaFP由单位和载荷弯矩图可勾画出基本体系变形图FPFPaFP由单位和载荷M图可求得位移系数、建立方程FP（×Fpa）原结构FPFPaFP单位和载荷弯矩图基本体系FP能否取基本体系为FP问题：()(2)建立力法典型方程或写作矩阵方程小结：力法的解题步骤(1)确定结构的超静定次数和基本结构(体系)(3)作基本结构在单位力和载荷作用下的弯矩（内力）图

(4)求基本结构的位移系数

(5)求基本结构的广义载荷位移

注意：用图乘法求和时应注意图乘条件(6)

解方程求未知力图乘来求(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图(8)任取一基本结构，求超静定结构的位移例如求K截面竖向位移：FP（×Fpa）KFP（×Fpa）K（9）对计算结果进行校核对结构上的任一部分，其力的平衡条件均能满足。如：问题：使结构上的任一部分都处于平衡的解答是否就是问题的正确解？FP（×Fpa）原结构FP基本体系FP假如：由可证：平衡条件均能满足。求得：(×)但：FPFPaM图结论：对计算结果除需进行力的校核外，还必需进行位移的校核。FP（×Fpa）例1.求解图示两端固支梁。解：取简支梁为基本体系力法典型方程为：FP基本体系FP单位和荷载弯矩图为：EI由于所以又由于于是有图FP两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力典型方程改写为图乘求得位移系数为代入并求解可得FPablFPa2bl2FPab2l2n次超静定结构1）的物理意义；2）由位移互等定理；3）表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；4）柔度系数及其性质对称方阵系数行列式之值>0主系数副系数5)最后内力位移的地点产生位移的原因13aaP123456PEA=c1PPPP0（1）基本体系与未知量（2）力法方程（3）系数与自由项20超静定桁架aaP0.396P0.396P0.396P-0.604P-0.854P-0.56PP思考：若取上面的基本体系，力法方程有没有变化?21力法方程：（4）解方程（5）内力

§10-5力法计算的简化一、对称性的利用对称的含义：1、结构的几何形状和支座情况对某轴对称；2、杆件截面和材料（EI、EA）也对称。4P56正对称荷载反对称荷载0.5P0.5P1、奇数跨对称结构的半边结构2、偶数跨对称结构的半边结构正对称荷载作用下，对称轴截面只产生轴力和弯矩。反对称荷载作用下，对称轴截面只产生剪力。1）正对称荷载作用下不考虑轴向变形条件下，可简化为：2）反对称荷载作用下l’7（2）未知力分组和载荷分组力法典型方程成为：对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：（3）取半结构计算：对称轴问题：偶数跨对称刚架如何处理？（d）（c）例1.试用对称性对结构进行简化。EI为常数。FP/2FP

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/2I/2方法1FPFP

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/2FP/2FP/2I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4无弯矩，不需求解FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4I/2方法2无弯矩，不需求解FPFP/2FP/2FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4又看到您了！I/2FP/4FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2二、使单位弯矩图限于局部三、合理地安排铰的位置对称结构按跨数可分为返回支座移动时的计算hl1h1“c”1基本方程的物理意义？基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。1h1（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力仅由多余未知力产生（4）内力与EI的绝对值有关讨论:2方程的物理意义是否明确？例5.求解图示刚架由于支座移动所产生的内力。解：取图示基本结构力法典型方程为：其中