2022-2023学年广东省东莞市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年广东省东莞市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.设，则函数f(x)在x=a处()．A.A.导数存在，且有f'(a)=-1B.导数一定不存在C.f(a)为极大值D.f(a)为极小值

2.函数在（-3，3）内展开成x的幂级数是（）。

A.

B.

C.

D.

3.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是（）A.A.椭球面B.锥面C.柱面D.平面

4.方程x2+y2-2z=0表示的二次曲面是.

A.柱面B.球面C.旋转抛物面D.椭球面

5.A.dx+dyB.1/3·(dx+dy)C.2/3·(dx+dy)D.2(dx+dy)

6.平面π1：x-2y+3x+1=0，π2：2x+y+2=0的位置关系为()A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合

7.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

8.

9.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

10.

11.微分方程y'＋x=0的通解（）。A.

B.

C.

D.

12.

13.

14.

15.

A.3(x+y)

B.3(x+y)2

C.6(x+y)

D.6(x+y)2

16.A.A.5B.3C.-3D.-5

17.

18.方程x=z2表示的二次曲面是A.A.球面B.椭圆抛物面C.柱面D.圆锥面

19.摇筛机如图所示，已知O1B=O2B=0．4m，O1O2=AB，杆O1A按

规律摆动，(式中∮以rad计，t以s计)。则当t=0和t=2s时，关于筛面中点M的速度和加速度就散不正确的一项为()。

A.当t=0时，筛面中点M的速度大小为15．7cm／s

B.当t=0时，筛面中点M的法向加速度大小为6．17cm／s2

C.当t=2s时，筛面中点M的速度大小为0

D.当t=2s时，筛面中点M的切向加速度大小为12．3cm／s2

20.（）。A.

B.

C.

D.

21.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

22.

23.（）。A.

B.

C.

D.

24.

25.A.A.2/3B.3/2C.2D.3

26.

A.arcsinb－arcsina

B.

C.arcsinx

D.0

27.单位长度扭转角θ与下列哪项无关()。

A.杆的长度B.扭矩C.材料性质D.截面几何性质28.设函数f(x)在区间(0，1)内可导，f'(x)＞0，则在(0，1)内f(x)()．A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量

29.A.x2+C

B.x2-x+C

C.2x2+x+C

D.2x2+C

30.A.A.sin(x－1)＋C

B.－sin(x－1)＋C

C.sinx＋C&nbsbr;

D.－sinx＋C

31.A.A.0B.1/2C.1D.232.A.A.

B.

C.

D.

33.

34.

35.

36.

37.设y=f(x)为可导函数，则当△x→0时，△y-dy为△x的A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.低阶无穷小

38.

39.

A.

B.

C.

D.

40.当x→0时，sinx是sinx的等价无穷小量，则k=()A.0B.1C.2D.3二、填空题(50题)41.

20．

42.

43.

44.

45.

46.函数f(x)=xe-x的极大值点x=__________。

47.设，则y'=______．

48.

49.过M0(1，－1，2)且垂直于平面2x-y＋3z-1＝0的直线方程为．50.51.

52.过点M1(1，2，-1)且与平面x-2y+4z=0垂直的直线方程为__________。

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.设z=ln(x2+y)，则全微分dz=__________。

60.

61.设y＝f(x)在点x＝0处可导，且x＝0为f(x)的极值点，则f(0)＝．

62.设f(x)=sinx/2，则f'(0)=_________。

63.

64.

65.

66.

67.

68.69.70.71.72.微分方程y'+9y=0的通解为______．

73.

74.级数的收敛区间为______．75.76.77.78.函数的间断点为______．

79.

80.

81.

82.

83.幂级数的收敛半径为______.

84.

85.

86.

87.

88.

89.已知平面π：2x+y一3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为________．

90.

三、计算题(20题)91.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

92.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

93.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．94.

95.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

96.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．97.

98.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．99.证明：100.

101.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

102.

103.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则104.105.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．106.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

107.

108.求微分方程的通解．109.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．110.四、解答题(10题)111.

112.

113.

114.计算115.

116.

117.

118.证明：ex＞1+x(x＞0)

119.120.五、高等数学(0题)121.

________.

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.A本题考查的知识点为导数的定义．

由于，可知f'(a)=-1，因此选A．

由于f'(a)=-1≠0，因此f(a)不可能是f(x)的极值，可知C，D都不正确．

2.B

3.B对照二次曲面的标准方程可知，所给曲面为锥面，因此选B．

4.C本题考查了二次曲面的知识点。x2+y2-2z=0可化为x2/2+y2/2=z,故表示的是旋转抛物面。

5.C本题考查了二元函数的全微分的知识点，

6.A本题考查的知识点为两平面的位置关系。两平面的关系可由平面的法向量n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直。若n1//n2，则两平面平行，其中当时，两平面平行，但不重合。当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1={1，-2，3}，n2={2，1，0)，n1，n2=0，可知，n1⊥n2，因此π1⊥π2，故选A。

7.A

8.B

9.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

10.B

11.D所给方程为可分离变量方程．

12.A

13.C解析：

14.A

15.C

因此选C．

16.Cf(x)为分式，当x=-3时，分式的分母为零，f(x)没有定义，因此

x=-3为f(x)的间断点，故选C。

17.D

18.C方程x=z2中缺少坐标y，是以xOy坐标面上的抛物线x=z2为准线，平行于y轴的直线为母线的抛物柱面。所以选C。

19.D

20.A

21.C

22.A

23.C由不定积分基本公式可知

24.A

25.A

26.D

本题考查的知识点为定积分的性质．

故应选D．

27.A

28.A由于f(x)在(0，1)内有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A．

29.B本题考查的知识点为不定积分运算．

因此选B．

30.A本题考查的知识点为不定积分运算．

可知应选A．

31.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．

32.D

33.A

34.B

35.C解析：

36.A

37.A由微分的定义可知△y=dy+o(△x)，因此当△x→0时△y-dy=o(△x)为△x的高阶无穷小，因此选A。

38.C

39.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

40.B由等价无穷小量的概念，可知=1，从而k=1，故选B。也可以利用等价无穷小量的另一种表述形式，由于当x→0时，有sinx～x，由题设知当x→0时，kx～sinx，从而kx～x，可知k=1。

41.

42.

43.(03)(0,3)解析：

44.(1/2)x2-2x+ln｜x｜+C

45.e-3/2

46.147.解析：本题考查的知识点为导数的四则运算．

48.49.

本题考查的知识点为直线方程的求解．

由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n＝(2，－1，3)．

由直线的点向式方程可知所求直线方程为

50.对已知等式两端求导，得

51.

52.

53.

54.

55.

56.

解析：57.2．

本题考查的知识点为二次积分的计算．

由相应的二重积分的几何意义可知，所给二次积分的值等于长为1，宽为2的矩形的面积值，故为2．或由二次积分计算可知

58.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

59.

60.f(x)+Cf(x)+C解析：61.0．

本题考查的知识点为极值的必要条件．

由于y＝f(x)在点x＝0可导，且x＝0为f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f(0)＝0．

62.1/2

63.y=f(0)

64.

65.

66.67.12dx+4dy．

本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．

68.

69.本题考查的知识点为定积分的基本公式。

70.

71.72.y=Ce-9x本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

分离变量

两端分别积分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

73.

解析：74.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．75.5．

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

解法1

解法2

76.

77.78.本题考查的知识点为判定函数的间断点．

仅当，即x=±1时，函数没有定义，因此x=±1为函数的间断点。

79.

80.

81.

82.

83.3

84.

85.086.(－∞，＋∞)．

本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

若ρ＝0，则收敛半径R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．

若ρ＝＋∞，则收敛半径R＝0，级数仅在点x＝0收敛．

87.

88.由不定积分的基本公式及运算法则，有

89.

本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．

由于平面π与直线1垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取

90.

解析：

91.

92.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

93.函数的定义域为

注意

94.

则

95.

96.由二重积分物理意义知

97.由一阶线性微分方程通解公式有

98.

99.

100.

101.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

10