2022-2023学年山东省聊城市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年山东省聊城市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.

2.

3.设f(x)=e-2x,则f'(x)=()。A.-e-2x

B.e-2x

C.-(1/2)e-2x

D.-2e-2x

4.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，则当△x>0时，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

5.以下结论正确的是（）．

A.

B.

C.

D.

6.由曲线，直线y=x，x=2所围面积为

A.

B.

C.

D.

7.A.1

B.0

C.2

D.

8.A.有一个拐点B.有三个拐点C.有两个拐点D.无拐点9.设f'(x0)=0，f"(x0)＜0，则下列结论必定正确的是()．A.A.x0为f(x)的极大值点

B.x0为f(x)的极小值点

C.x0不为f(x)的极值点

D.x0可能不为f(x)的极值点

10.设函数f(x)=sinx，则不定积分∫f'(x)dx=A.A.sinx+CB.cosx+CC.-sinx+CD.-cosx+C

11.

12.微分方程y"-y=ex的一个特解应具有的形式为(下列各式中α、b为常数)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

13.A.0B.1/2C.1D.214.当a→0时，2x2+3x是x的()．A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小，但不是等价无穷小D.低阶无穷小

15.

16.

17.

18.

19.设y=3+sinx，则y=()A.-cosxB.cosxC.1-cosxD.1+cosx20.为二次积分为（）。A.

B.

C.

D.

21.下列反常积分收敛的是（）。

A.

B.

C.

D.

22.设方程y''-2y'-3y=f(x)有特解y*，则它的通解为A.y=C1e-x+C2e3x+y*

B.y=C1e-x+C2e3x

C.y=C1xe-x+C2e3x+y*

D.y=C1ex+C2e-3x+y*

23.A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C24.=（）。A.

B.

C.

D.

25.

26.

A.0

B.cos2-cos1

C.sin1-sin2

D.sin2-sin1

27.A.A.1

B.3

C.

D.0

28.

29.

30.

31.

32.A.A.

B.

C.

D.

33.

34.若f(x)有连续导数，下列等式中一定成立的是

A.d∫f(x)dx=f(x)dx

B.d∫f(x)dx=f(x)

C.d∫f(x)dx=f(x)+C

D.∫df(x)=f(x)

35.

36.

37.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

38.

39.直线l与x轴平行，且与曲线y=x-ex相切，则切点的坐标是（）A.A.(1，1)

B.(-1，1)

C.(0，-l)

D.(0，1)

40.

二、填空题(50题)41.

42.

43.

44.

45.46.

47.

48.设y=f(x)可导，点xo=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为__________．

49.

50.

51.

52.53.设y1(x)、y2(x)是二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为______．

54.设y=lnx，则y'=_________。

55.

56.57.交换二重积分次序=______．

58.

59.

60.设y=cos3x，则y'=__________。

61.曲线y=x3-6x的拐点坐标为______．62.过点M0(2，0，-1)且平行于的直线方程为______．

63.

64.

65.设，则y'=______。

66.

67.

68.69.

70.

71.72.

73.

74.当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数），则p=______.

75.76.

77.设函数y=x3，则y'=________.

78.79.

80.

81.

82.

83.84.85.

86.

87.

88.过原点且与直线垂直的平面方程为______．

89.幂级数的收敛半径为______.

90.

三、计算题(20题)91.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．92.

93.

94.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

95.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

96.求微分方程的通解．97.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

98.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

99.求曲线在点(1，3)处的切线方程．100.

101.

102.

103.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．104.证明：105.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

106.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则107.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．108.109.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．110.

四、解答题(10题)111.求，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成．112.(本题满分10分)将f(x)＝ln(1＋x2)展开为x的幂级数．113.

114.

115.求由方程确定的y=y(x)的导函数y'．

116.用洛必达法则求极限：117.函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定,求dy.

118.

119.

120.五、高等数学(0题)121.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.B

2.A

3.D

4.B

5.C

6.B

7.C

8.D本题考查了曲线的拐点的知识点

9.A本题考查的知识点为函数极值的第二充分条件．

由极值的第二充分条件可知应选A．

10.A由不定积分性质∫f'(x)dx=f(x)+C，可知选A。

11.A

12.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由项f1(x)=ex，α=1是特征单根，故应设定y*=αxex，因此选B。

13.D本题考查了二元函数的偏导数的知识点。

14.C本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

应依定义考察

由此可知，当x→0时，2x3+3x是x的同阶无穷小，但不是等价无穷小，故知应选C．

本题应明确的是：考察当x→x0时无穷小卢与无穷小α的阶的关系时，要判定极限

这里是以α为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误．

15.D

16.B

17.D解析：

18.A

19.B

20.A本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分。由于在极坐标系下积分区域D可以表示为

故知应选A。

21.D

22.A考虑对应的齐次方程y''-2y'-3y==0的通解.特征方程为r2-2r-3=0,所以r1=-1，r2=3，所以y''-2y'-3y==0的通解为，所以原方程的通解为y=C1e-x+C2e3x+y*.

23.C

24.D

25.C解析：

26.A由于定积分

存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选A．

27.B本题考查的知识点为重要极限公式．可知应选B．

28.C

29.C

30.B

31.D

32.C

33.C

34.A解析：若设F'(x)=f(x)，由不定积分定义知，∫f(x)dx=F(x)+C。从而

有：d∫f(x)dx=d∫F(x)+C]=F'(x)dx=f(x)dx，故A正确。D中应为∫df(x)=f(x)+C。

35.B

36.C

37.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

38.C

39.C

40.D

41.

本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

42.x=-3x=-3解析：

43.2/32/3解析：

44.2/52/5解析：

45.

46.本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

47.yf''(xy)+f'(x+y)+yf''(x+y)

48.

49.ex2

50.1

51.

52.53.由二阶线性常系数微分方程解的结构可知所给方程的通解为

其中C1，C2为任意常数．

54.1/x

55.56.本题考查的知识点为重要极限公式。

57.本题考查的知识点为交换二重积分次序．

积分区域D：0≤x≤1，x2≤y≤x

积分区域D也可以表示为0≤y≤1，y≤x≤，因此

58.

59.2

60.-3sin3x61.(0，0)本题考查的知识点为求曲线的拐点．

依求曲线拐点的一般步骤，只需

(1)先求出y"．

(2)令y"=0得出x1，…，xk．

(3)判定在点x1，x2，…，xk两侧，y"的符号是否异号．若在xk的两侧y"异号，则点(xk，f(xk)为曲线y=f(x)的拐点．

y=x3-6x，

y'=3x2-6，y"=6x．

令y"=0，得到x=0．当x=0时，y=0．

当x＜0时，y"＜0；当x＞0时，y"＞0．因此点(0，0)为曲线y=x3-6x的拐点．

本题出现较多的错误为：填x=0．这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚．拐点的定义是：连续曲线y=f(x)上的凸与凹的分界点称之为曲线的拐点．其一般形式为(x0，f(x0))，这是应该引起注意的，也就是当判定y"在x0的两侧异号之后，再求出f(x0)，则拐点为(x0，f(x0))．

注意极值点与拐点的不同之处!

62.

63.

64.65.本题考查的知识点为导数的运算。

66.F'(x)

67.

解析：

68.

69.1本题考查了无穷积分的知识点。

70.(-33)(-3,3)解析：

71.

72.1/z本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点。

73.1

74.-1f'(x）=3x2+3p，f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.

75.本题考查的知识点为定积分的换元法．

76.本题考查的知识点为重要极限公式。

77.3x2本题考查了函数的导数的知识点。因为y=x3，所以y'=3x278.0

79.

80.81.0

82.2/383.e-1/2

84.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

85.

本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

86.

87.88.2x+y-3z=0本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系．

由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=0

89.3

90.

91.

92.

93.

94.

95.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

96.

97.

列表：

说明

98.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

99.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

100.由一阶线性微分方程通解公式有

101.

102.

103.

104.

105.

106.由等价无穷小量的定义可知107.由二重积分物理意义知

108.

109.函数的定义域为

注意

110.

则

111.积分区域D如图1-4所示。D可以表示为0≤x≤1，0≤y≤1+x2本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序。如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序。112.本题考查的知识点为将函数展开为幂级数．

【解题指导】

本题中考生出现的常见错误是对1n(1＋x2)关于x的幂级数不注明该级数的收敛区间，这是要扣分的。

113.本题考查的知