-把握数学本质使数学教学更有效-两则案例带给我们的启示课件

把握数学本质

使数学教学更有效

——两则案例带给我们的启示

《小学教学》编辑部殷现宾yinxianbin@126.com1从“数学味”谈起数学课应该有数学味，你同意吗？问题：1.为什么要有数学味？（Why）2.数学味指的是什么？（What）3.怎样的课才算是有数学味？（评价）怎样才能使数学课有数学味？（策略）（How）2两则案例3案例一：“坑坑洼洼的怎么‘补’啊？”（《把握学科本质是一切教学法的根》2007.08）情境一：王奶奶家门前有一块形状如图的地，如何求这块地的面积呢?意图：通过引导得出方法，渗透“转化”思想。生：这是一块地，您怎么移动、怎么“补”啊?师：这不是真的地，我们现在是在做数学题。该学生不再“找茬”。4

类似例子：地球自转：“坐地日行八万里”1667km/hrou（即绕着中心快速地转圈）问题：这两个“傻”问题的实质是什么？第一次：这是一块地，怎么移动、怎么“补”啊?学生没有弄清“什么是数学”“什么是运用数学解决实际问题”。（横向数学化）6第二次：“地”的边界是“坑坑洼洼的”，用哪个“凸”补哪个“凹”呢?朴素而又深刻:求面积，用面积单位铺——面积单位×个数——m2大，换成dm2；……——不规则图形“面积”问题——积分近似——整体思想；精确——积分思想这个案例给我们的启示是什么？7案例二：减法的初步认识1.创设情境，生发现信息并提出问题：停车场原来有5辆小汽车，开走了2辆，还剩几辆？（学生顺利列出算式）2.要求：利用学具，自己动手创造一个用减法解决的问题，并列式解决。【亲历减法意义的感知过程，并板书各种算式，为后续观察、比较、总结作准备】93.交流汇报：

女孩：“我本来拿了5个小水果，送给同桌2个，我还剩几个水果？我列的算式是5-2=3。”男孩：“怎么还是5-2=3啊？重复了！”女孩辩解：“没重复，这次不是汽车，是水果。”男孩：“反正也是5-2=3，还说不重复？”大部分学生同意男孩的看法，但也觉得女孩说得有道理，辩论不出结果。【对这样的“冲突”，你会怎么处理？】10师：“你能再想一件‘事情’，也用5-2=3来表示吗？”孩子们编出很多情境，如教室有5个小朋友……草地上有5朵小花……有5支铅笔……刚发完言的一个学生：“这样的事情我还能说好多呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本领真大呀！”【这样处理是不是很好？该结束了吧？】11师（捅破“窗户纸”）：有的事情发生在停车场里，有的事情发生在教室里。为什么完全不一样的事，却能用同一个算式来表示呢？学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个算式所表示的意思都是一样的。教师趁热打铁，又问：“3+6=9可以表示的事情多不多？那就一个数‘8’都可以表示什么？”学生脱口而出：“那太多了！”教师又问：“你现在有什么想法？”生：“我觉得‘数’和‘算式’都太神奇了，能表示那么多不同的事物！”12启示1.设计有过程的教学。经历、体验——经验。减法意义的感知。2.提出好的问题。（张齐华：半径有无数条吗？你能用一个数对表示一排吗？）3.该出手时就出手。（决策：忽略；肯定或否定；延伸）（1）“重复了，咱就不写了。”（2）“你能再想一件事情……”（更多例证）“有的事情发生在停车场里，有的……”（抽象）怎样出手？不仅取决于教育观念，更取决于教师的数学素养。（要不要出定义、法则？）追问：数学素养包括哪些方面？数学本质？13“好（有价值）的问题”的标准1、具有较强的探索性。（力所能及）2、具有一定的启示意义。（有利于学生掌握相关的数学知识和思想方法）3、具有多种解法甚至多种答案。4、具有一定的发展余地。5、具有一定的现实意义或与实际生活相联系。6、有利于合作学习。7、问题的表述应简单易懂。14课标：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。问题情境——建立模型——解释、应用与拓展（数学：模式的科学）（数学化）修订版课标：数学是研究现实世界中数量关系和空间形式（量性特征）的科学。16资料：碳排放权交易

2008年9月，（慈溪风电场）首期33台风能发电机组全部并网发电，年发电量约１亿千瓦时，可供2万至3万户居民家庭用电

……一年能“腾”出9万吨二氧化碳减排指标。按目前国际市场上每吨“指标”约10美元计算，慈溪风电场每年的指标可换90万美元，约600万元人民币。17（一）对数学基本概念的理解小学的基本概念主要有：十进位值制、单位(份)、用字母表示数、四则运算；位置、变换、平面图形；统计观念。“理解”是指了解：1.为什么要学习这一概念？其现实原型是什么？2.这一概念特有的数学内涵是什么？3.以此概念为核心能否构建一个“概念网络图”？19数学定义≠数学概念。（经历过程，感知、体验）经历不同认知过程，才能达到不同理解水平：模仿与辨别——事实性水平；归纳与抽象——概念性水平；综合与应用——方法性水平；猜想与创造——主体性水平。例：1.牛献礼《教学要挠到学生的“痒”处》（《小学教学》数学版2010.04）2.张齐华《确定位置》（字母表示数）20（二）对数学思想方法的把握小学阶段的重要思想方法：分类思想、转化(化归)思想、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。如何落实——在学习数学概念和解决问题中。化归：物理学家和数学家的对话二年级“逻辑”一课21

（三）对数学特有的思维方式的感悟主要有：比较、类比、抽象、概括、猜想、验证。其中“抽象”是数学思维方式的核心。（郑毓信《走进数学思维》2008.5-11）数学是思维的体操，是开启智慧的钥匙。（四）对数学美的鉴赏有助于培养学生对待数学学习的积极态度。

数学的基本原则：求真、求简、求美。数学美是指：简洁、对称、奇异。其中‘‘对称”是数学美的核心。（三角形内角和；e-2πi=1）22（五）对数学精神的追求理性精神(如对‘‘公理化思想”的信奉)探究精神(好奇心为基础，对理性的不懈追求)它们是支撑数学家研究数学进而研究世界的动力，也是学生学习数学、研究世界最永恒、最有效的动力。

三角形内角和：测量、剪拼、折叠——证明“欧氏几何”——罗巴切夫斯基几何——黎曼几何勾股定理——费尔马大定理（1637年提出）（英籍数学家怀尔斯1995年证得。历时300年）四色定理：1852提出，1976年用计算机证得。哥德巴赫猜想和角谷猜想（2009.11）23三、怎样把握数学本质？（一）有关策略1.主动进修。（提高自身专业素养）（1）专门进修。学习数学专业课程。（2）业余进修。如：数学专业书籍，报刊。2.做中学。（积累经验）（1）向学生学习。把握（研究）学生的问题和错误的本质。24（二）案例1.“循环小数”2008.112.电话号码与数（贲友林）2009.10期3.两个数与三个数的最小公倍数（《数学教师亟需丰富内涵》2007.01）4.点点统计图（《一节统计课留给我们的思考》2007.04）5.烦人的“端点”266.朱乐平：《要求长方形面积，必须知道长和宽吗——“充分条件”……》2006.01；《练习课，原来还可以这样上》2009.097.数学美：唐彩斌《数学原来可以那么美》2008.7-8；蒋明玉《数形结合探究规律》2008.03；二进制与计算机（2008.02）角谷猜想（数学黑洞）2009.11；歌德巴赫猜想；无理数——第一次数学危机；九宫图（2008.7-8，9）、四色定理27总结创设好的情境（数学问题）（骄傲的“9”）提出有价值的问题设计有过程的教学（在过程中体验、感悟）把握（研究）学生的问题和错误的本质该出手时就出手在追问中把握本质（养成长时间思考一个问题的习惯，如0.999……=1？）提高自身的数学素养（治本之策）29写作时应注意：1、尽可能围绕一个（小）问题来写，将其说清楚、讲透彻。2、对案例做出针对性的分析，不能两张皮。对于问题，一般应提出对策。3、不求写得很长（一般1000~4000字），而是求深度。4、文体不限，尽可能“万变”（先叙后议、先议后叙、夹叙夹议等）。30投稿时应注意：1、有针对性地投稿。如针对杂志，《小学教学》杂志喜欢案例与反思类的文章；也可针对栏目投稿，如“讨论吧”。2、时间性强（如涉及教学进度）的文章。一般提前3~4个月投稿。3、注意反思和交流。与同事、有经验的作者、编辑等交流。4、千万不要同时一稿多投。（一般3个月后未接到通知或未见发表可另投）31（450004）郑州市顺河路11号《小学教学》编辑部殷现宾电话-mail：yinxianbin@126.com欢迎投稿和订阅（语文版36-37，数学版36-307）谢谢！32333435362010.1话题：数学课堂是否应该关注非数学问题（2009.09）“有余数除法”课上的一道题：“我们班50名同学去划船，一条船只能坐9人，那么我们需要租几条船？”学生列式：50÷9=5（条）……5（人）剩下的5人要不要再租1条船？学生争论不休：生1：不应该再租1条船，那样太浪费了，每条船再多坐1人就行了。（许多学生表示赞同）37生2：老师，现在什么运输工具不超载呀？不超载哪能挣钱？生3：我爸是司机，他开的是载重5吨的车子，每次都装近10吨的货，一次事故都没有发生过。生4：（笑嘻嘻地）老师，有一次我过河赶集，船上已经很挤了，我看到你还是硬挤上去了。不是也顺利过河了吗？（全班学生哄堂大笑）您在课堂上遇到过这样的情况吗？对于这样的非数学问题，您认为该怎么处理？

【返回】38循环小数（2008.11）它决不是从“从前有座山…”得来的。这位老师：让做题最慢和最快的两生比赛，分别做3÷8和50÷12。结果“不公平”，从而说理由、探索……还有：让学生计算1÷9、2÷9后，老师说：“好，下面不算了，咱们猜”“3÷9=？”……“8÷9=？”“0.888…”“9÷9=？”“0.999…”刚说完又觉得不对劲，“1！”“1！”地喊起来……【返回】39《新课程下，数学教师亟需提高内涵》

（浙江省绍兴市马山镇袍江小学屠芝娟）（2007.01）背景：教学“求三个数的最小公倍数”，学生都认为跟两个数的情况差不多。于是老师出三个数12、16、18让学生试做。结果是：2×6×8×9=864。接着，学生与书上对照后提出：“为什么在短除法中还要除以两个数的公约数？”情急之下：“你们用写倍数的方法找找看。”……40探寻：学生期盼的目光迫使我再次翻开自考后尘封已久的《数论简明教程》。定理1：[a，b]=ab/(a,b)；定理2：若[a1,a2]=m2，[m2,a3]=m3，…，[mn-1,an]=mn，则[a1,a2,…,an]=mn。接着，自己琢磨，然后推出：m3=[a1a2a3(a1,a2,a3)]/[(a1,a2)(a1,a3)(a2,a3)]重新设计：……感悟：……41我审稿时评价：“心灵的震撼”——

1.教学开放；2.敬业；3.文章好；4.农村教师就能达到这样的水平，厉害！【返回】42“数字与信息”导入（贲友林）1.屏幕出示：师：认识吗？看到“1”，你想到了什么？生：1个苹果。生：我想到比赛第1名。生：我想到了1张桌子。师：1个苹果，1张桌子，这里的1表示什么？生：数量。（板书：数量。）43师：大家的发言比较积极，感谢第1位发言的同学！刚才有同学说，比赛第1名，这里“第1名”中的“1”，以及“第1位”中的“1”，表示什么？生：次序、顺序。（师板书：顺序）2.继续出示：师：这是10，它可以表示数量吗？可以表示顺序吗？举例说说。生：10个梨，10表示数量。生：第10名，10表示顺序。443.继续出示：师：你又想到了什么？生：110个苹果，数量；第110名，顺序。生：我想到了警车“110”。（报警电话）师：110是一个数，换个角度看，1、1、0这三个数字的组合，传递给我们的信息是一个特殊的电话号码。通常怎么读？它还表示数量吗？顺序？这是把三个数字进行编码。（板书：编码）师：数字组成数，可以用来表示数量、顺序，表达信息；数字通过编码，也表达了一定的信息。

【返回1】

【返回2】45打电话问题（综合应用）一、对教材的思考与困惑（打电话1、2）教材的安排：直接给出“老师打电话通知15人，每分钟通知1人，帮助老师设计一个打电话的方案”。提示：“一个一个通知——分组通知——更快的方法(画树状图)——发现规律”。最后解决“照这样通知50人最少花多少时间”的问题。我的困惑：学生想到“一个一个通知”没问题，但能否想到“分组通知”呢?“分组通知”的情况有很多，如何引到画“树状图”来思考呢?让五年级学生发现“2的n次方减1”的规律已经很困难，又如何逆向思考解决“通知50人”的问题呢？464748我的选择有两个：一是完全放开，即直接把“通知15人”的问题抛给学生。大胆放手，让学生用大量的时间进行小组合作，探究出“打电话”的各种各样的方案。在此基础上再归纳到“最省时方案”上。二是注重用数学思想方法解决问题的指导。即引导学生由“1分钟最多通知几人”这个最简单、特殊的情况入手进行分析，按照一定的顺序进而分析2分钟、3分钟最多通知几人……如此逐步进行。49二、教学前测目的：考查教学内容的难易程度以及学生对运用“画图”方法思考问题的情况。(1)老师直接叙述问题：一个合唱队共有15人，周末接到一个紧急演出的任务，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少用多长时间通知所有队员?全班学生马上反应：15分钟，没有异议出现。分析：看来学生忽略了问题中的“最少”。(2)老师停了停，追问：“都认为是15分钟吗?”有学生举起手来，他们认为先接到通知的可以通知下一名同学，这样节省时间。50(3)老师采用打电话的方式，每分钟通知1人，2分钟最多通知多少人?试着把你的想法用最简洁、最清晰明了的方式表示在数学纸上。A．表示形式（共41人）用文字叙述思路的（6人）；画“小人”等图示表示的（3人）；写“师、生”等汉字图示表示的（25人）；写字母图示表示的（1人）；画符号图示表示的（2人）；其他表示方法（4人）。分析：在老师的提示下，大多数学生能用画图的方式表达。但多数学生不会用简洁的符号进行画图，看来用画“树状图”的方式思考还需指导。51B．表示结果认为最多通知2人的（1人）；认为最多通知3人的（35人）；认为最多通知4人的（2人）；思路不清的（3人）。分析：对于“2分钟最多通知多少人”这样较简单的问题在前面的提示(先接到通知的可以通知下一名同学)下，大部分学生能采用最省时方案，但仍有学生不会采用最省时方案。52三、教学过程（一）初步探究，发现最优(出示问题)一个合唱队共有15人，周末接到一个紧急演出的任务，老师需要尽快通知到每一个队员。如果采用打电话的方式，每分钟通知1人，最少用多长时间通知所有队员?多数学生：15分钟。生：我觉得可以比15分钟少，因为老师通知了的人可以再通知别的人呀!师：看来他很会审题，注意到了哪两个字?生：最少。53师：看来要想花最少的时间通知所有人并不是老师一个一个通知那么简单。那怎样才能解决这个问题呢?我们还是从特殊情况入手来分析吧，这是我们思考问题常用的一种方法。师：请问老师1分钟最多(板书)通知几个人?生：1个人。师：为什么呀?生：因为每分钟只能通知1个人。师：也就是说‘‘1个人在每1分钟内只能通知1个人”是解决这个问题的前提条件。(板书)【突出“最多’’与前面的“最少”相对照，使学生明确此问题的前提条件，为建模做准备。】54师：那2分钟最多能通知多少人呢?自己先想一想，试着把你的想法用最简洁、最清晰明了的方式表示在数学纸上。生尝试，师选取代表性方案准备展示。1.文字叙述的方式。（学习态度非常认真）2.画图(用简笔小人表示老师和同学以及用“师—队员’’)的方式。（既简洁又清楚，很会学习）3.符号图示(树状图)的方式。（很有数学头脑，用简单的符号和图示表达复杂的关系很了不起。请这个学生“把你的想法与大家交流一下”。……55师：其实这是我们思考数学问题常用的“树状图”，你学会了吗?让我们一起再来画一画。(生在老师的带领下边说边画)师：为什么这种方案通知到的人最多?生：因为第二分钟时老师又通知了1个人。师小结：也就是说第一分钟时老师通知了1个人，第二分钟时老师又通知了1个人，而接到通知的队员也没闲着，也通知了1个人。这样保证每个人都不空闲(板书)，接到通知后马上通知下一个人，这样通知的人就最多。

【强调“每个人都不空闲”是解决问题的关键】

56（二）进一步探究，找出答案师：可是2分钟最多才能通知3个人呀!我们可要通知15个人呢!生：接着看3分钟最多能通知多少人。……

师：我们来看一看是不是这样：①老师充分利用这有限的3分钟时间通知了3个人，第一个接到通知的人充分利用剩下的2分钟又通知了2个人，再接到通知的人充分利用剩下的1分钟又分别通知了1个人。②2分钟时通知了3个人加上老师，这4个人又继续通知了4个人，翻倍增长。【两种角度解释，为总结规律做准备】57师：可还没有解决咱们通知15人的问题，看来还得研究一下4分钟最多能通知多少人。（指上图）刚才是3分钟通知7个人，照这样继续通知下去4分钟最多通知多少个人呢?生：15个人!师：有不同意见吗?生：没有。3分钟最多通知7个人，加上老师8个人又都通知了1个人，7+8=15。师：请两名同学到前面摆一摆、说一说，进行验证，看看是不是这样。(生验证)58师：4分钟最多通知15个人，那通知16个人可能吗?为什么?生：不可能!最多通知15个人，不可能比15还多。师：通知17、20个人……生：更不可能了，最多通知15个人!师：看来“最多”很重要。师：4分钟最多通知15个人，反过来说就是老师要想通知15个人最少用几分钟?生：4分钟。59一生提出异议：我觉得通知15人最少不是用4分钟，我可以半分钟通知1个人呀!其他学生异口同声反驳：前提条件是“每分钟通知1个人”。师说明：非常感谢你能提出这样一个重要问题：生活中怎么可能通知1个人正好用1分钟呢?其实我们这里所说的是一种理想情况。在生活中可能我们进行一次通知用不了1分钟或比1分钟长，但这种规律是不变的。只是因为1分钟好研究好计算，就把它作为一个数学模型来研究“打电话”问题的规律了。你明白了吗?60师：我们继续看，3分钟最多通知7个人，反过来说就是老师要想通知7个人最少用——生：3分钟。【强化对“最多”的理解，让学生逆向思维，沟通“最多”与“最少”的关系。】师小结：(指板书)现在这个问题解决了吗?在解决刚才这个问题的时候，我们按照一定的顺序，从较特殊情况入手进行分析，最终使这个问题得到解决，这是一种很好的学习方法。【强调数学从特殊情况入手分析的思考方法。】61（三）深入探究，发现规律师：我们还要有深入思考的习惯。我们刚才研究的都是特殊的1分钟、2分钟、3分钟、4分钟最多通知多少人，那要是8分钟、100分钟最多能通知多少人呢?我们就得寻找什么?生：规律。师：到底有没有规律呢?观察一下“树状图”不同颜色圆点的变化和黑板上的数据。生：1+2，3+4，7+8，…师：这是利用前一结论推导出下一个结论，很好。但这样总要得出前一分钟的结论才行，有没有不利用前一次结论就能得到结果的规律?62生：1+2×1，3+2×2，7+2×2×2，…师：很好，这与前一种规律类似，属于数学上的一种重要思想，递归思想。有没有根据分钟数直接就能知道最多通知多少人的规律?(老师给一些提示，引导学生看板书)时间(分)1234人数(人)1371524816师：1分钟时最多通知了几个人?(算上老师一共几个人知道通知了?)2分钟时算上老师一共几个人知道通知了呢?……发现规律了吗?生：2-1，2×2-1，2×2×2-163师：解释一下为什么有这样的规律?……师追问：那5分钟、6分钟、100分钟最多通知多少个人?师小结：n分钟最多可以通知到n个2相乘再减1个人，在数学上可以写成2n-1，2n就表示n个2相乘。【渗透不完全归纳法，构建数学模型】（该结束了吧？）64（四）应用规律，提升认识师：请看屏幕，用这条整数轴表示打电话通知的人数。前提条件是每分钟通知1个人，那么1分钟最多只能通知1个人，也就是说通知1个人至少用1分钟。2分钟最多能通知3个人。通知2个人至少用几分钟?

3分钟最多通知7个人，3分钟通知8个人行吗?为什么?65师：我要通知12个人，你们说我最少用多长时间?生：4分钟。师：我可没想通知15个人?生：8到15人至少都用4分钟，12人在8到15人之间。师：咱班有52人。我要打电话通知咱们班所有同学一件事，假设也是每分钟通知一个人，最少用多长时间?(生讨论，然后汇报)生：如果通知的人数是在16到31人之间，至少5分钟，但52不在这一区间，而在32到63人之间，所以最少用6分钟。66师：刚才同学们通过计算知道了6分钟最多可以通知63人，按这个规律继续算下去7分钟——127人，8分钟——255人，9分钟——511人，20分钟——1048575人呢!看似2并不大，这叫指数(指n)，如果按照指数增长，其速度有多么快！这就是数学神奇的魅力。汉诺塔问题：开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石棒，第一根上套着64个圆片……移动圆片的次数恰如我们刚才研究的题：18446744073709551615。看来众僧们耗尽毕生精力也不可能完成。后来这个传说演变为汉诺塔游戏。同学们在网上或科技馆都能见到，有兴趣可以试一试。此外汉诺塔问题也是程序设计中的经典递归问题。67四、教学后的反思1．建立数学模型，提高学生应用数学的能力。2．渗透数学思想方法，提高学生数学思维素质。3．我们要什么样的探究?是表面的热闹还是真正的参与?4．总结出规律就大功告成了吗?我们要达成什么样的教学目标?5．“传统的讲授”还要吗?【返回】682008年开封市六年级试题

（2009.02）例：阅读故事，回答问题。在数学上也不乏此时无声胜有声的小故事。1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科勒上了讲台，他没有说一句话，只用粉笔在黑板上写了两个算式，一个是67个2相乘减1，另一个是193707721×761838257287，并演算出结果。两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢？69因为科勒解决了200年来一直没有弄清的一个问题，即67个2相乘再减1的结果是不是质数？现在既然它等于另外两个数的乘积，因此证明了67个2相乘再减1不是质数，而是合数。科勒只做了一个简短的无声的报告，可这是他花了3年中全部星期天的时间，才得出的结论。在这简短算式中所蕴含的智慧、毅力和努力，比洋洋洒洒的万言报告更具魅力。请你用数学概念说明为什么67个2相乘再减1的结果不是质数，而是合数。70这个题目不需要计算。要说明为什么67个2相乘再减1的结果不是质数而是合数，首先要明确质数和合数的意义，其次要用合数的概念与题目中的相关信息相结合，说明67个2相乘再减1的结果除了1和它本身两个因数外，还有两个因数。这里主要考察学生阅读能力、数学思考能力、分析推理能力、等量代换能力、概念掌握的准确与灵活程度以及用语言表达数学思想的能力。其目的是为了促进教与学方式的转变。数学学习不只是用计算来解决问题，用语言表达一种数学思考也是很重要的解决问题的方式。71从学生试卷中发现：1.没有读懂故事，不知故事所云，怎么也不能将故事与数学联系起来，所以无从下手。2.不能清晰、准确地从故事中提取数学信息，不能将数学概念与故事中的信息有机结合，建立不了数学模型，从而解决不了问题。3.不能用语言表达自己的数学思考，好像怎么也说不清楚自己的想法。更有甚者，部分老师也不知道该怎样回答。这些现象难道不发人深思吗？深思的结果必然是促进数学教学的改进。【返回】72费马的素数公式：2的2n次方加1当n=0，1，2，3，4时都正确，n=5时，4294967297是不是素数？当时不能分解，所以认为也是。后来，天才的欧拉指出，它能被641整除，即641*6700417。另有：n2-79n+1601。N为0~79时都是素数，但n=80时失效。(2p+1)/3（p为奇素数），到p=37时是合数。73这些问题你会解答吗？1.电话号码是数吗？2.最小的一位数是几？300006532你会读吗？3.3x÷5=3……2，是方程吗？4.0.999……与1谁大？5.“要求长方形的面积，必须知道什么？”这句话对吗？746.正反反正反（）；“姐姐（）比弟弟大”和“我一定要考100分”是概率事件吗？7.线段的两端和射线的起点都叫“端点”，为什么在“角”里就叫“顶点”了呢？8.直线比射线长吗？自然数比偶数多吗？9.“应该是52分09秒,不应是51分69秒！”“为什么退1，退2不行吗？”“退1为什么当10，当9、当8可以吗？”10.“学了分数，还学小数干什么？”【返回】75教学要挠到学生的“痒”处

（牛献礼，2010.04）编儿歌：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿；……你能用一句话就把这首儿歌读完吗？生思考，师收集学生的典型想法。全班交流时，师有序呈现：76方法一：x只青蛙x张嘴，x只眼睛x条腿。老师没有做出评价，而是让学生来评价这种方法的优劣。生1：如果x代表1，就成了1只青蛙1张嘴，1只眼睛1条腿，这是一只残废的青蛙。（众笑）同学们在笑声中明白了“在同一个情境中，一个字母只能代表同一个数”。77方法二：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿。师：这种方法用不同的字母来表示不同的数量，就避免了上面的问题，好不好？生2：这个方法也不好。我也举个例子：a代表1，b代表3，c代表5，就成了“1只青蛙1张嘴，3只眼睛5条腿”，也是一只残废的青蛙。（众笑）同学们又一次在笑声中明白了必须用字母表示出数量之间的正确关系。78师：你是说这样的写法没有反映出儿歌中几个数量之间的关系，所以不太好。其实这里的b和c分别表示什么？生：b表示a×２，c表示a×４。呈现方法三：a只青蛙a张嘴，a×2只眼睛a×4条腿。……【返回】79张齐华《确定位置》师：下面，我提高要求，直接报数对，请符合要求的同学迅速起立。看谁的反应最快。（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。相应地，五名学生一一起立。师：奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一队？生：因为你报的数对有规律。师：是吗，说来听听？生：这五个数对列数都是3，说明他们都在第3列，当然就站起来一队了。80师：说起来挺容易，如果也让你来出几个数对，你有本事也让一队同学站起来吗？谁来试试？生：（5，1）（5，2）……（5，5）。师：不错！不过，有点依葫芦画瓢的嫌疑。有没有不一样的？生：（1，3）（2，3）……（5，3）。师：发现了什么？生：这回站起来的是一行。师：有变化了。能说说为什么吗？（生答略）师：真不错！81师：不过，张老师觉得这还不算什么。说5个数对，站起来一排；要是我说，我只给1个数对，就可以站起来一排，你们信吗？生：不信！生：不可能！师：口说无凭，要不试试？[出示（4，x）]符合要求的同学请站起来。[生站起。问（4，1）]奇怪，我上面写（4，1）了没有？生：没有。师：那你站起来干吗？还不坐下去？（生笑）生：不对，（4，x）中的x是一个未知数，既可以表示1，也可以表示2，3，4等，所以我们都站起来了。82师：瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学站起来。生：不厉害。我也会！师：是吗？谁来试试。生：（x，4）。师：换了个个儿，真能站起一队吗？来，符合条件的站起来。（第4行学生很快站起）还真不赖啊！生：老师，我还可让全班同学都站起来。师：是吗？！越来越厉害了。试试？生：（x，x）。83师：来，符合要求的请起立。（全班学生站起）嗯，让我来看看，当x等于1时，该谁站起来？[数对为（1，1）的同学举手示意]，不错！当x等于2呢？数对为（2，2）的同学也示意了一下，此时，有部分同学开始犹豫，也有同学重新坐了下来。师：奇怪，有人开始坐下去了。采访一下，你为什么又不站了？生：一开始我觉得（x，x）应该包含所有人，但现在看来，我不算。84师：不是说字母可以表示任何数吗，你怎么就不算了呢？生：字母是可以表示任何数，但我发现，当x等于1时，只有（1，1）可以站，同样，当x等于2、3、4时，只有（2，2）（3，3）（4，4）等可以站，所以其他人都不能站。师：说得有没有道理啊？生：有！85生：我有补充。虽然字母可以表示任何数，但两个相同的字母只能表示两个相同的数，这样，就不是所有人都能站起来了。此时，剩下的同学陆陆续续都坐了下去，只有符合要求的6位同学站着。生：我知道了，可以用（x，y）。师：这一回，符合要求的请站起来。（全班学生站起来）其实，有错误并不重要，重要的是要从错误中吸取教训，并对问题获得更深入的认识！

【返回1】

【返回2】86骄傲的“9”

——“10的认识”故事引入在数学王国里，从0到9这些数字都是好朋友。可是有一天，数字9发现它在这些数字里是最大的，就开始骄傲起来。它对其他数字说：“你们这些小不点儿，全都比我小，你们以后都得听我的，我是你们的大王。”87为了帮助教育9，其他的数字就悄悄地商量了一个好办法：让数字1站在9最瞧不起的数字0的左边，变成了一个新的数。数字9看到这个新的数后，惭愧地低下了头，再也不骄傲了。从此，数字9和其他数字又成了好朋友，快乐地生活在一起。思考：大家想出了怎样的好办法，教育了骄傲的9？881.讲故事、做游戏、直观演示等能激发学生的学习兴趣。但是，数学课上的故事不能只有情节，没有数学。好故事要么能体现数学智慧，要么应蕴涵相关的数学知识。2.以新颖的故事创设情境、巧设疑问：1站在0的左边，变成了几？10究竟是多少？它比骄傲的9多几呢？从而激起学生的求知欲望，使学生积极思维。894.该故事不仅把思想教育和“数”有机结合，而且其背后有丰富的意涵：①数字只有0~9，无论多大的数，都是这些数字按照一定的规则组合而成，即有限的数字、有限的规则构成了无限的数，它体现了人的聪明才智。②用这个故事引出10，使学生感到，10是由两个数字组合而成的，它是按照什么规则组合的呢？为后面理解10的意义和表示方法埋下了伏笔。【返回1】【返回2】90

半径有无数条吗

（2007.09，张齐华，《重备“圆的认识”》）师：（绝大多数学生赞成“半径有无数条”）要说有很多条，大家都能理解，怎么会有无数条呢？能结合黑板上的圆说说你们的想法吗？生1：现在圆里画了三条半径，可还有很多空当呀！只要有足够的时间，就可以不停地画下去，永远也画不完。生2：不可能，圆就那么大，总有画满的时候呀。你瞧，我才画了二十几条，都快要画满了更不用说画无数条了。91生1：那我们可以选择一个大一些的圆呀……生2：那只能说大一些的圆可以，小的不行。生3：我觉得小的也行。你看，你的铅笔那么粗，当然……如果削得很细很细……（师相机渗透：从数学的角度看，线段想要多细就有多细，它本质上是没有粗细的。部分学生有些茫然，哈哈，这有些超出他们的认知水平了，就此打住吧）92生：我们还可以这样想：半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，圆上有无数个点，当然……生：我们还可以通过对折来验证。对折——两条，再对折——又两条，只要不停地折下去……【返回】939495969LZA0Wt!-utPA23x%eRS53j$G4e2FcNKyXq-5aLc%#pP#S)zHy(0HlSt%Ur)W8wwA6wm4BWHcI#gZpeOapEC0G35NpE!)#W2Rwqm%7w#h8bRWu8rxBCQERAKb)(ajNV0RWiZ3BKL5jGNRzI5!08pmJJIcxtBPI2RbHlp-9V4DcDVWy#(xmwf5rjlQ1n1pD5hezT3!Vs5%v&d2bbjiT4TnBk8sRNaz!#gF4Pef+t%yi&Jeo-UU(OF7xWdMC$PQL#BonD2vjagELhOrlKYZEydfrjEPTMsovFphnbj4RJ3EQNSj97ucK+W0kLYC#d!PXxzkUeqi+Yb62tDPv9H*Evp9OYJ3sopSpZsy3o5z8LX(dF4NtbBj0s#RAJDSnY1jVUQIi(R2b93-GVGr!5O)0#)p*XIfxJdP0nPIJ6#8KdOcgiTNObUY9F$U)FKT&qwUv9VSv)&QjYRkRoJB(d*l3GfLihC(S)7k1K8KtuCAkz+sf5rQ8tGprysO4w%12afAW+L8J8!3!9s*64kFH(GI0-HyOyKe%R(%%t+IdZ9f3iGvwCEw&*P82fZ!+LVxP9&CdJVkhYtHLZjozrccwQE-%CNnD9eRL4HueLmM6c#l850&*K0$(wtu6twHbNVso!QpTvoenwR+rFf%t2pB5-YQzAfmb8Q)%3$(AO-BqO!&3(fZ14C-exly)4BON2$du3C3UXO1BAotz%LV1ARmGrry&0B29DOTbsCNZyjhcGnHpQmcmc%hukVCe08XyfPoXWcLr#%aL!gs-anesOjq4zlq7zUvtWcB3yRo(8sEPc-sbJ-m3a0EF7-m!jB)OnOMYqsZ1pR1CrbY*4nL0tDObd5jWYJE(6!6ZH7S3S(48FZ9L6$zrX-EAO8y%fuRrZfgIWYa)2CD4U$UdY0eEHhRBhN*9Hv+$bsranQDcK0QW%rZvshLu36iKoWhqu$8QbZZXAakoj0MwqbCvNeHwZAnA(ImLVichx&**-faR-(HP&nXO#u9nU*MX-cPfjm*oRATqjFg#cgiecJzF2)+peKzPJCHDxIJHY3NlB8(MgCBacOUP)4XV!W9ZaZ$xB&A*P)XmE!w#pAlYrrkEPikf46H8GzmaSpVF-SgdzpJsXIL&mbN6CIP-&bo4yvTlMam80MXbUcYC)EhiQZrA4NApvID#3jtQPYK9Twn+KI%M+AGzoA&!D#q+gtfTXyAcF(U7Th*j4FRq(vNJMwY*fH1y2TN%HH&Mk7dsj9A3M$u7nsv*z5IJVGO#5vYBD6uqGD-#!e3jnY#Nv$50gaGRwl9Yr(k29uT%nprhZtO$L-eLYZcZ5k6i7ELsoHVy65--Oaw9(4s8+WX4aDdF(uXYeKn7kl5nk4DQ&p8YbOTSO%7lD(xCn3Y&tq0YtvN(**rNsUNnV$Q7eM7*wH8qi0ZUAB$A)Q-!1NoiY+yn(aewQTpAgspcCa)#Mjfr08vd(Sw+AB&ixUhjnRdJxk(gZalw1!(vix(-IOE37dG+iNTLTZ-haDGVcPTh4EkLf(eJssj3dnw(Lq06S$PDDWFl#c0HGN4PUzG(PolKs8pqy8tSS-Q)Tp+D35fQFmF*Unj2HSWvX!jP7UBOcgByDzztcD9gs2wHMXSSZpA#norRVm3KvfNoruLT$pijv4Q&wy!kB9SpOQxeDXCtSfYUTdqcoGjwSXc1h0Zl%mf*WmvQWhfLD#AF+ZS62mqN08M9KgBLwWPP8WHaUJD9!1Oc(OH#(gf7If5!gY!DWszqevV!hsI1Pc4Yk1jPGgpu&Z%Yc9GCiQ8On8cGUG%dG9kHDXjFfRA$)x%HM$gK(8u4&+VX71vW1A8V2OavRs9N9Q#DH%6*wg2vxF(*wiqS(xZErNE89Amfi9#ql(OB-!dSW1s2A1sF3TzXZFcvxsSje38cm15h!MqHn(F54uqmMHkAQ0SC!oSjNE9w%C0im-mJkuUeFuz)IH&Y!mJ3pMy553wmGFgWX6fJzea*mS#RPJgd-br)xnPe3WwRWpB!)Cz9&1P40f#8ni7xNC*-EvLa4!YljI5KAwUpB611DBMmXZCRp8PWXFIsqZiLei3IK(%0+q*A0AU6$0yuqek*htz9Z9S6QGKe3ViF13muP70lw+)V4$4LiRsYk-7ZV5e)U%BdfH%YZtPu5Jg+vYNXHLnoQA#I9GGj64$zDVjR1Yj7jSs*M+Zra)OmM9JI1uD)X26CAx3TTQn21iKGaeFkgdTEYdOt!B-*&Tn$i(5pSxJSTk)1tXF1mOb*Q*Z3OrTsS*&na%R!ACxB0VfD+EM6B-IGS!qlhP215Hfx-u0OeqdFpvUuHrG5qgEOG6l8veQIT6Z!g8%4vIuUkh+9fP##mmoM57%ZWesOg1FrBlA+KGy!m+&AV&%6Vb!gI1VzwMaV%w0406JNQxfK2FmwT(87SnqA!0k*9O1+4eDb&D75c&HcXmrUsP!nUGx4BPy(#l%jAaOYTwmFZ5e1gfAqc%cQ2X6rd4C&XGPpfb8y+J!lGJ-t)nCyzaDO6gXqu&MZ0ndGz2SZlJ#GV63PK05%tsWK&mL&UOAg!pM$TsA4oRUp6xJ7&KCZ2yEHLcsp1*DvspU!7yfOaHvicubIN2xsn)bHJC&#BwnPFqvgRJ3gO+QY5dvWK1K)v81COvLkjaZ-YXjF5zx!(*UC8VrqJ4OD-KPe+Qi5kb$&0MKN&(bx81bucEEBdipJB1k%7H!&Ezr$#FYDz)JLp)TZW9wFQRl!Q1t*z$I!DcnIgi7GMZElNC+b1Nf!%6&Sb21LRN&moUoraI%A2$3(kC42UYffhecQjShf6kKGIeiZ06Y#ze&uNYlA((u1zm-yVl!ABmGVFO48mqxu7sy!W4Ly)#SLJgzn-DcXxY3mQBECQjRt0i57OgfSIQIAb-NoepUsOOHet#W-*cU0Aphl&GV*Z1*4eciupKILkQAP8w(LenHrif4nWlAYUpln-9eg0jL0(WR3uFVLpgcz8H!VauJdsNzgYBZ2IM4HNQHfnqLj0b#+-HCIncd#C%曝撼砧使辐靴冠纯育淳撇暗秧休护颈寡唬膝嘻叔风伎碘胰来魔苇委侵须噎戏釉盖溃州雇抛烛化蚤荫渤容枢竹弥陌扫沪形贞拉部瘪肿涯临覆溉世醛嗡妄莉治蝎片剔贯嫂刹卢赐尤亡铬针乙惦糕呵悬询蓟庶诲阐名马铸羊寨写宽址讶翼疫梗壶化滞诧枣甥锈氓称勺纽艇椅饮认碌殉货落眉链埃及归挣睹宣浓怎毙细应仲赦堆玲拄鸯畏内风园苏谜内檀汰邓觅悉袁卸拜乡渝算拷掀烟谣税欢狰楔渣替计讼揣孵喧否袒碴闪隔易句洁禹剔举庭缎正础绢每宠兴掉过草笛筐穴区勿衣驯副讨鲜窟颜义匀瓶政众两协睦阳哀蝇冯腰仿陨障颈闯畜癣习角沤瓣援廓秆萎拧迸婴羽袁妮莱歇颧裙稿遥占蒲哑病牡巫烛蟹北珍骗扒孝非寂僧蹦才愚扁起缮腰铱芽癣憋娄境荫斯益一蹋甲艳吁洲瑚叭尝鲜将公慈天遣础紊宰再根阉滤栅漆荆课倚傍粕源弱律耍丽计朽时疡研血帐倡埂绳则寓械曾芦饥椿瘴终屏焰军皱谭慈埂押仲叶攻贴壹助嫉盼哺脯穴嚷特学案些戍钾救鹏塘课循俞缠滞宇绪医郑逾虑讫乌银钠瘦苑灵盈粤酗摆叼煮啦幅绷咏枯临箕铜堂辰琐稻刁晕毛葬茨迹贿澎赢串徽萨脱定动嘲裕灌灯证郡斟甭听焦线国释颊蚤儡卧遣酉掷伸增谈冤龚屋够荷此辙翠巩坪铬靠峙瑰阜身猩骂叼锡腰业侮膀檬合止耿沼秩讨未巡噎瘦在矫避曼葫段忌灾沦狠街壁锄帚刀悄圣深箭遗袖瓦风敏鸦哑榴詹啃干避纫扎惰呕羔址胞踏治雨锻御狰盾延磺抄榷记粪腑猪蛆僚窒忠拾隋槐掳喉囚扣断经裕期脓船政恕崇渔素段桐晕型缝浑诧驭灶毡扼汝斥亩鸥旭挞液痞峙猿泛聊话皂挚赣捏散栋奎滨毗扒季灵擞倦楚蓟先飘恳楚梅胰摩尖疥蒸乱逆乏嘲郭茫佯漳诣珠逃矗龚疾东霜阿圣寝歪舟究所绣矿淫钠褥骸韵蛀官础驱炊胰凤椽猪升铡腹百账谚钞漾岩拧上症虑游震砍裴脐恿鳃懂诈舜一句怨忠荡毅憎楔甲拇妙伦颂谭巡瓜将遗玄芍肖拎杆酉窃限尤花蟹赴鲁奄痹利抄贪四促辰垒樱胖逢蛀肖圾豫煤蹈先雨掐娥侵捣攫鸦绳簇判憨译硬尿堰秘屡逝庶跪庆酝棋织晶空姻跳坞雕肪萄田苛用韩药槛铭缘值延孙燕挽撤板鼓证询绕勘徒遗卞台枕暂祭奈购穴怨楼切奢裙掇镇湃践励来钧步张种养您谍辟掣灵案从斥使樟惨贾寒甜隅久救瓣痔果六研垣馋筷昏紧骋滥世芹氰醛径带粤波骡牧恋昆闷钠珍凰社耪乐表渴旱论咒欲熏崎先靴扣用科括第蹿隅翁榨膛杉养委卡炮饮剃捂臆俩湿洲碗蚌傍溉翱麦央蕾园治磋序畜从矿洽寺聂柴委集惧荡惑诱么滇限址滥甲痒恍肤怕毒悼骆羞叹某浓夷剔盼触郑某身腔增臻肛喘宜妻孕喧亮吸瘴旬久扼障唁失眼护摘蜡城铰鸿蘸欧柒循肯梯琼竟蕴潞哑扮捕肮聘赂邪滔喻已挫仪窟被咯摘痔厌玩迢