数列在分期付款中的应用

数列在分期付款中的应用我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们来讲已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们的生活.分期付款方式在今天的商业活动中应用日益广泛，为越来越多的顾客所接受，这一方面是因为很多人一次性支付售价较高商品的款额有一定的困难，另一方面是因为不少商店也在不断改进营销策略，方便顾客购物和付款.

美容整形玩起分期付款首付6万当“人造美女”武汉旅游促销出现分期付款首付64块双飞游海南

数列在分期付款中的应用分期付款的有关规定1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同,各次付款的时间间隔相同.2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算,即上月(年)的利息要计入本金.3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和,这在市场经济中是相对公平的.

例1：中国建设银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息。如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575%，那么每月应还多少钱呢？注：等额还本付息指的是在贷款期内每期以相等的金额平均偿还贷款本金和利息。10000元贷款的本金与它的利息之和1个月后2个月后3个月后

…

…23个月后24个月后表格110000×1.004575元10000×1.0045752元10000×1.0045753元10000×1.00457523元10000×1.00457524元所贷的一万元在增值各月所付款额与它的利息之和1个月后还x元2个月后还x元3个月后还x元……23个月后还x元24个月后还x元表格2

1.00457523

x

元1.00457521

x

元1.004575

x

元x元1.00457522

x

元每月所还钱也在增值按存入方式计算，这样考虑，每次的还贷相当于在存款

x

+

1.004575x+1.0045752

x

+…+1.00457523

x

第24次偿还的x元，到贷款还清时的本利和第23次偿还的x元，到贷款还清时的本利和第22次偿还的x元，到贷款还清时的本利和第1次偿还的x元，到贷款还清时的本利和贷款的一万在贷款还清时（2年后）的本利和到期后=104·1.00457524按存入方式计算，这样考虑，每次的还贷相当于在存款，存了24次后的本息和应该与贷款的10000元在还贷结束后的本息和相等。【例2】郭老师想买一套价值30万的住房，首付8万，其余的采用分期等额还款付息的方式，分10年还清。银行有以下三种付款方式可供选择:请同学们帮我计算一下，针对这三种方案，每期要还贷多少？哪个方案更好？方案类别分几次付清

付款方法

每期所付款额

付款总额与一次性付款差额

1(按月)

120次贷款后1个月第1次还贷，再过1个月第2次还贷……贷款后120个月第120次还贷.

2(按季)

40次贷款后3个月第1次还贷，再过3个月第2次还贷……贷款后120个月第40次还贷.

3(按年)

10次贷款后1年第1次还贷，再过1年第2次还贷……贷款后10年第10次还贷.注：

规定月利率0.5%，每月利息按复利计算，每期还款数相同。分析：按存入方式计算，这样考虑，每次的还贷相当于在存款，存了120次后的本息和应该与贷款的22万在还贷结束后的本息和相等。

得：1.005119x+1.005118x+……+1.005x+x=22·1.005120第2次偿还的x万元，到贷款还清时的本息和第119次偿还的x万元，到贷款还清时的本息和……第120次偿还的x万元，第1次偿还的x万元，到贷款还清时的本息和贷款的22万元在贷款还清时的本息和为22·(1+0.5%)120万元。针对方案1：下略为1.005119x万元；为1.005118x万元；为1.005x万元；由于贷款还清不产生利息，还是x万元

x+1.005x+……+1.005118x

+1.005119x

=

22·1.005120第120次偿还的x万元，到贷款还清时的本息和各次还款在10年后的总值（含利息）贷款的22万在贷款还清时（10年后）的本息和第1次偿还的x万元，到贷款还清时的本息和第2次偿还的x万元，到贷款还清时的本息和第119次偿还的x万元，到贷款还清时的本息和贷款在贷款还清时（10年后）的实值（含利息）=结论：分期付款问题的一般计算公式：一般地，购买一件售价为a元的商品（或贷款a元），采用上述分期付款时要求在m个月内分n次付清（n是m的约数），月利率为p，那么每期付款的计算公式是什么呢？+……设每期付款x元，则方案类别分几次付清

付款方法

每期所付款额

付款总额与一次性付款差额

1(按月)

120次贷款后1个月第1次还贷，再过1个月第2次还贷……贷款后120个月第120次还贷.

2(按季)

40次贷款后3个月第1次还贷，再过3个月第2次还贷……贷款后120个月第40次还贷.

3(按年)

10次贷款后1年第1次还贷，再过1年第2次还贷……贷款后10年第10次还贷.注：

规定月利率0.5%，每月利息按复利计算，每期还款数相同。0.2428.86.8方案类别分几次付清

付款方法

每期所付款额

付款总额与一次性付款差额

1(按月)

120次贷款后1个月第1次还贷，再过1个月第2次还贷……贷款后120个月第120次还贷.

2(按季)

40次贷款后3个月第1次还贷，再过3个月第2次还贷……贷款后120个月第40次还贷.

3(按年)

10次贷款后1年第1次还贷，再过1年第2次还贷……贷款后10年第10次还贷.注：

规定月利率0.5%，每月利息按复利计算，每期还款数相同。0.2428.86.80.7429.67.63.0130.18.1继续研究：若郭老师的家庭收入每月平均只有4000元，而一个家庭的收入的30%用于偿还购房贷款要合理一些，假定月利率一定的条件下，张老师应计划多少年还清贷款？

从数学的角度看，本课题是等比数列前n项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。

问题的关键在于需要了解分期付款到底是怎么一回事，尤其要弄清以下情况和规定：

在分期付款中，每月的利息均按复利计算；

分期付款中规定每期所付款额相同；

分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；

小结

各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关键步骤列方程的依据）。作业：找一个在日常生活中你感兴趣的商品，根据你的承受能力设计一个分期付款方案。