陈林华2422切线判定和性质定理演示教学

陈林华2422切线判定和性质定理

图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？探究：Ol方法1：直线与圆有唯一公共点方法2：直线到圆心的距离等于半径

注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？（3）由此你发现了什么？

O

请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA。思考：lA操作与观察：(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径0A．

则:直线l与⊙O相切

这样我们就得到了从“位置”的角度圆的切线的判定方法——切线的判定定理．AOl发现：切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

对定理的理解：

切线必须同时满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．AOlOrl

A∵OA是半径，l

⊥OA于A∴l是⊙O的切线定理的数学语言表达：1、判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA巩固：两个条件缺一不可P98例1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D.ABOCD求证:AC与⊙O相切.E证明：连结OD，OA，过点O作OE⊥AC于点E，∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∴∠ODB=∠OEC=90°，又∵O是BC的中点，∴OB=OC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△OBD≌△OCE，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切。p98练习1如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AT＝AB。

AT是⊙O的切线吗？为什么？解：AT是⊙O的切线。理由如下：又∵∠BAT＋∠B＋∠T＝180°∵AT＝AB

，

∠B＝45°(已知)∴直线AT⊥AB又∵直线AT经过⊙O

上的A点∴直线AT是⊙O的切线∴∠T＝∠B＝45°(等边对等角)∴∠BAT＝180°－∠B－∠C＝90°O●ABTp98练习22.解：l₁//l₂.证明如下：∵直线l₁,l₂是⊙O的切线，切点分别为A,B，AB为直径，∴AB⊥l₁，AB⊥l₂，∴l₁//l₂.切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.判定直线与圆相切有哪些方法？

归纳：4如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC

分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。P101有交点，连半径，证垂直P1013（1）

解:∵VU是⊙T的切线,U为切点,∴UT⊥UV，∴∠VUT=90〬.在Rt△UVT中，

UV=28cm，TU=25cm，∴VT²=UV²+TU²即VT²=28²+25²∴VT=√282+252

=√1409(cm).

VWUTP1013（2）

解:∵VU与VW均是⊙T的切线，∴∠UVT=∠TVW，∠TWV=90〬.又∵∠UVW=60〬，∴∠TVW=1/2×60〬=30〬在Rt△TVW中，∠TWV=90〬，∠TVW=30〬，TW=25cm，∴TV=2WT=2×25=50（cm）.

VWUTOBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明

AB⊥OC即可。证明：连结OC(如图)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线。∴AB⊥OC。∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线。已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。

例2如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED无交点，作垂直，证半径OBACOABCED归纳：例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线.FECOBA巩固：无交点，作垂直，证半径3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.ABCDO有交点，连半径，证垂直CABDO∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°,∴∠BOC＝60°.∴△BOC是等边三角形.

∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30°.

∴∠DCO＝90°.

∴DC⊥OC.∴DC是⊙O的切线.已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝30°,求证：DC是⊙O的切线.证明：连OC、BC，4,如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线.证明：连结OB,∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)=180°－(60°+30°)=90°∴AB是⊙O的切线.题目中“半径”已有，只需证“垂直”,即可得直线与圆相切.证明：连结OP。∵AB=AC,∴∠B=∠C。∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C。∴OP∥AC。∵PE⊥AC，∴PE⊥OP。∴PE为⊙0的切线。如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，

PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP24.2.2直线和圆的位置关系

切线的性质

如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？探究：OAl∵l是⊙O的切线，切点为A∴l

⊥OA切线的性质定理:O切线的性质定理逆命题是否成立?M反证法推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.这与线圆相切矛盾.思考:圆的切线垂直于经过切点的半径假设不垂直,作OM⊥因“垂线段最短”,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.A证明切线的性质定理:OM反证法这与“直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径”相矛盾，所以l

⊥OA假设不垂直,作OM⊥因“垂线段最短”,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.A已知：

l是⊙O的切线，切点为A求证：l

⊥OA

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。归纳：OAl①过半径外端;②垂直于这条半径.切线①圆的切线;②过切点的半径.切线垂直于半径切线判定定理：切线性质定理：比较：OAl1、如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？巩固：P982：2.解：l₁//l₂.证明如下：∵直线l₁,l₂是⊙O的切线，

切点分别为A,B，AB为直径，∴AB⊥l₁，AB⊥l₂，∴l₁//l₂.P1013（1）

解:∵VU是⊙T的切线,U为切点,∴UT⊥UV，∴∠VUT=90〬.在Rt△UVT中，

UV=28cm，TU=25cm，∴VT²=UV²+TU²即VT²=28²+25²∴VT=√282+252

=√1409(cm).

VWUTP1013（2）

解:∵VU与VW均是⊙T的切线，∴∠UVT=∠TVW，∠TWV=90〬.又∵∠UVW=60〬，∴∠TVW=1/2×60〬=30〬在Rt△TVW中，∠TWV=90〬，∠TVW=30，TW=25cm，∴TV=2WT=2×25=50（cm）.

VWUTP1015：5.证明：连接OP，因为AB是小圆O的切线，P为切点，所以OP⊥AB，又AB是大圆O的弦，所以由垂径定理可知AP=PB.P1016切线长定理：6.解：因为PA，PB是⨀O的切线，所以PA=PB，∠PAB=∠PBA.又由题意知OA⊥PA，∠OAB=25〬,所以∠PAB=90〬-25〬=65〬所以∠P=180〬-2∠PAB=180〬-65〬×2=50〬P1017：7.解：半径为4cm的圆可以做两个，半径为3cm的圆只能作一个，不能作出同时经过A,B两点，且半径为2cm的圆.

P1018：8.提示：锐角三角形的外心在这个三角形的内部；直角三角形的外心在这个直角三角形的斜边的中点；钝角三角形的外心在这个三角形的外部.

P1019：9.提示：可以在车轮上任意连接两点，作出它的中垂线，重复一次，则这两条中垂线的交点即为圆心，从而可确定它的半径.

P10110：10.解：设圆心为O，如图48所示，连OW,OX,因为YW,YX均是⨀O的切线，W,X均为切点，所以OW⊥WY,OX⊥XY.又因为XY⊥WY,所以∠OWY=∠OXY=∠WYX=90〬,所以四边形OXYW是矩形.又因为OW=OX,所以四边形OXYW是正方形，所以OW=WY=0.65m.答：这个油桶的底面半径是哦0.65m.

2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）

A、600

B、1200

C、600或1200

D、1400或600BPCAO小结：1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可．2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：

(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．

(3)根据切线的判定定理来判定．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．例1如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.证明:连接OD.∵BD=CD,OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD//AC.又∵∠DEC=90º∴∠ODE=90º又∵D在圆周上,∴DE是⊙O是切线..AOBDCE例2

如图.AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.ABOCD证明:连接OC,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.由此得∠ACO=∠CAD.∵OC=OA.∴∠CAO=∠ACO.∴∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB.∵CD是⊙O的切线,习题2.31.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D.ABOCD求证:AC与⊙O相切.E2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,.求证:RP=RQBOPARQ∠AQO=∠APQ3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线.AOBCD1324△COD与COB全等●O●P┓已知：P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连接PA、PB那么PA、PB是⊙O的切线吗？ABOBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明

AB⊥OC即可。证明：连结OC(如图)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线。∴AB⊥OC。∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线。已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。

闯关练习（1）已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,

以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。

闯关练习（2）闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED

随时清点知识是我们胜利的法宝噢如右图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E。那么，OB是⊙D的切线吗？请说明理由。ECD●解：OB是⊙D的切线。理由如下：又∵OC平分∠AOB，DF⊥OB∴DF＝DE又∵DF⊥OB，∴OB是⊙D的切线。∴OE⊥OA∵OA与⊙D相切于点E连结DE，过D点作DF⊥OB，垂足为F。ABOF┐即d＝r

挑战（1）如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，

5为半径的⊙O与OA、OB相交。求证：AB是⊙O的切线。OBAC

挑战（2）证明：连结OP。∵AB=AC,∴∠B=∠C。∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C。∴OP∥AC。∵PE⊥AC，∴PE⊥OP。∴PE为⊙0的切线。如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，

PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP

超级挑战谈谈今天的收获1.判定切线的方法有哪些？直线l

与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线温故知新1）直线和圆有唯一公共点时,这条直线叫做（）,这个唯一的公共点叫做（）

圆的切线切点

直线l与⊙O只有一个公共点直线l与⊙O相切．用切线定义判定切线温故知新用圆心到直线的距离判定切线lrdOAd=r直线l与⊙O相切；经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。

条件：(1)经过圆上的一点；圆的切线判定定理：(2)垂直于该点半径；●O┐Al∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点∴直线l是⊙O的切线温故知新几何符号表达用切线的判定定理来判定精彩源于发现请你总结一下：圆的切线的判定有几种方法？1、如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线；(d=r)A、经过圆上的一点；B、垂直于半径；1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:

(1)直线经过半径的外端;

(2)直线与这半径垂直。火眼金睛辨一辨1）角平分线上的点到角两边的距离（）2）半圆（或直径）所对的圆周角是（）3）等腰三角形（）（）（）三线合一。相等直角朝花夕拾底边上的中线底边上的高线顶角平分线1。如右图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？解：直线AB是⊙O的切线。理由如下：在圆O

中，又∵∠＋∠＋∠＝180°

尝试填一填∵因为AB＝OA，∠OBA＝45°(已知)∴∠＝∠＝45°(等边对等角)∴∠OAB＝180°－∠－∠＝90°∴直线又∵∴直线AB是⊙O的切线ABO●AOBOBAAB⊥OA直线AB经过⊙O

上的A点AOBOBAOABAOBOBA●O●P┓已知：P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连接PA、PB那么PA、PB是⊙O的切线吗？AB你一定能行OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明

AB⊥OC即可。证明：连结OC(如图)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线。∴AB⊥OC。∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线。已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。

闯关练习（1）已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,

以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。

闯关练习（2）闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED

随时清点知识是我们胜利的法宝噢如右图所示，已知OC平分