《非销话术》讲课讲稿

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/外国经典寓言故事大全外国经典寓言故事大全大自然把一头鹿塑造得异乎寻常地高大，它脖子上披下来的长长的鬃毛就和驼鹿的一样。于是这头鹿暗暗想：“我的强壮和外貌就是让人把我当成一头驼鹿也不过度。”这个爱慕虚荣的家伙这样想了，也这样做了。假扮成一头驼鹿是什么样子的呢?它看似悲伤地耷拉着脑袋，而且经常装出一副凶恶的样子。傻瓜会把自己被人嘲笑的原因想象成是自己外在的表现不佳，所以故作深沉，他以为不为自己的头痛和忧郁症诉苦的话，人们就还会把他当作笨蛋。【叛逆的巨人】一个叛逆的巨人做出了不可饶恕的恶行，他将一枝毒箭射向了天空中的一位神灵。箭飞向遥远的空中，不长时间，就连巨人那锐利的眼光都不能看到它了。巨人坚信自己已射中了那位神灵，不由自主地唱起亵渎神灵的凯歌。不过，这枝箭发出去的力量并不强大，远没有到达它的主人所企求的目标，它带着一股越来越大的冲力落了下来，杀死了那亵渎神灵的射手叛逆的巨人。【磨坊主】磨坊主的堤坝渗水，如果一开始就把漏洞堵住，本不是什么大问题。但不知是怎么回事，磨坊主一点儿也不着急。于是水越渗越厉害，简直像一条潺潺的小溪。邻居们劝说磨坊主：“喂，磨坊主，该醒醒了!可别麻痹大意!”磨坊主却说：“没关系，我的磨坊耗水并不多，现有的水我用一辈子也绰绰有余。”他高枕无忧，可这时漏水已如决堤。灾难终于来临，磨盘停止转动，磨坊宣告休息。磨坊主这才醒悟过来，唉声叹气地想怎样才能保住堤坝水。他站在堤坝旁观察怎样能够补充漏洞，却发现有几只母鸡到这儿来饮水。“坏蛋，头上长着冠子的蠢货!”他嚷道，“我已经不知道从哪儿去弄水了，你们还在这儿尽情地吮吸。”说罢他抓起一根劈柴朝母鸡掷去。他这样做给自己带来了什么好处呢?既没弄到水，还失去了母鸡。磨坊主只好垂头丧气地回家去了。

整式的乘除竞赛题整式的乘除竞赛题◆以鲜明的教育理念启发人◆以浓厚的学习氛围影响人第

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页◆以不倦的育人精神感染人◆以优良的学风学纪严律人◆

/整式的乘除竞赛题初二上加深提高部分整式的乘除复习题1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小．解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a .∵x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2＜0∴x＜y看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！问题：计算1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452解：设1.345=x，那么：原式=x（x-1）?2x-x3-x（x-1）2，=（2x3-2x2）-x3-x（x2-2x+1），=2x3-2x2-x3-x3+2x2-x，=-1.345．4、我们把符号“n!”读作“n的阶乘”，规定“其中n为自然数，当n≠0时，n!=n?（n-1）?（n-2）…2?1，当n=0时，0!=1”．例如：6!=6×5×4×3×2×1=720．又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的”．按照以上的定义和运算顺序，计算：（1）4!=；（2）（3+2）!-4!=；（3）用具体数试验一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？12.小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习《整式的运算》这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如：（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3，小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”…亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算（-x-2y）（x2-2xy+4y2）吗？2、一个单项式加上多项式9（x-1）2-2x-5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式．3、化简：（1）；（2）多项式x2-xy与另一个整式的和是2x2+xy+3y2，求这一个整式解：（1）原式=2a2-ab+a2-8ab-ab=a2-9ab；（2）（2x2+xy+3y2）-（x2-xy）=2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2．∴这个整式是x2+2xy+3y2．点评：（1）关键是去括号．①按5、设，求整式的值．6、已知整式2x2+ax-y+6与整式2bx2-3x+5y-1的差与字母x的值无关，试求代数式7（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）的值．解：（2x2+ax-y+6）-（2bx2-3x+5y-1）=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=（2-2b）x2+（a+3）x-6y+7，因为它们的差与字母x的取值无关，所以2-2b=0，a+3=0，解得a=-3，b=1．2（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）=6a2-4a2b+5ab2+4b3=6×（-3）2-4×（-3）2×1+5×（-3）×1+4×1=7．8。在盒子里放有四张分别写有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母．（1）求能组成分式的概率；（2）在抽取的能组成分式的卡片中，请你选择其中能进行约分的一个分式，并化简这个式．解：（1）四张分别写有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母共有4×3=12种结果，其中以“2”作分母的3个，不能组成分式，故可以组成9个分式，能组成分式的概率为=；（2）答案不唯一．如，=，9.甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2x2-9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果解：设第二个多项中的x的系数为Z，∴（2x+a）（Zx+b）=2Zx2+2bx+aZx+ab=2x2-9x+10，∴Z=1，∴第二个多项中的x的系数是1，∴（2x+a）（x+b）=2x2-9x+10，∴2b+a=-9，ab=10，∴b=-2，a=-5，∴（2x+a）（3x+b）=（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10；13.由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去-4a2+2b2+3c2误以为是加上-4a2+2b2+3c2，结果得出的答案是a2-4b2-2c2，求原题的正确答案．解：设原来的整式为A则A+（-4a2+2b2+3c2）=a2-4b2-2c2∴A=5a2-6b2-5c2∴A-（-4a2+2b2+3c2）=5a2-6b2-5c2-（-4a2+2b2+3c2）=9a2-8b2-8c2．∴原题的正确答案为9a2-8b2-8c2．10.根据题意列出代数式，并判断是否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式．（1）友谊商店实行货物七五折优惠销售，则定价为x元的物品，售价是多少元？（2）一列火车从A站开往B站，火车的速度是a千米/小时，A，B两站间的距离是120千米，则火车从A站开往B站需要多长时间？（3）某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少25%的工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位现有多少人？解：（1）根据题意得，售价为：75%x，是整式，是单项式；（2）根据题意，t=，，∴不是整式；（3）根据题意得，现在人数为：（1-25%）m+3，是整式，是多项式．11.某村小麦种植面积是a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积的3倍．（1）玉米种植面积与水稻种植面积的差为m，试用含口的整式表示m；（2）当a=102亩时，求m的值．解：（1）m=3a-（a+5），=3a-a-5，=2a-5；（2）当a=102时，m=2×102-5，=199（亩）14.红星中学校办工厂，生产并出售某种规格的楚天牌黑板，其成本价为每块20元，若由厂家直销，每块售价30元，同时每月要消耗其他人工费用1200元；若委托商场销售，出厂批发价为每块24元．（1）若每月销售x块，用整式分别表示两种销售方式所获得的利润．（注：利润=销售总额-成本-其他费用）（2）新学期各学校教学黑板维修较多，销路较好，预计11月份可销售300块，采取哪一种销售方式获得的利润多？（3）若你是红星中学校办工厂的厂长，请你进行决策：当预计销售200块黑板时，应选择哪一种销售方式较好？解：（1）厂家直销的利润为（30-20）x-1200；委托商场销售的利润为（24-20）x；（2）当x=300时，厂家直销的利润为10×300-1200=1800（元）；委托商场销售的利润为（24-20）×300=1200（元）；∴采取厂家直销的利润大；（3）当x=200时，厂家直销的利润为10×200-1200=800（元）；委托商场销售的利润为4×200=800（元）；∴两种销售方式一样．16、探究应用：（1）计算（a-2）（a2+2a+4）=（2x-y）（4x2+2xy+y2）=．（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：（请用含a．b的字母表示）．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是．A．（a-3）（a2-3a+9）B．（2m-n）（2m2+2mn+n2）C．（4-x）（16+4x+x2）D．（m-n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x-2y）（9x2+6xy+4y2）=（2m-3）（4m2+6m+9）=17.阅读下面学习材料：已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．解法一：设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得：，解得，所以m=0.5解法二：设2x3-x2+m=A（2x+1）（A为整式）．由于上式为恒等式，为了方便计算，取x=-0.5，得2×（-0.5）3-0.52+m=0，解得m=0.5根据上面学习材料，解答下面问题：已知多项式x4+mx3+nx-16有因式x-1和x-2，试用两种方法求m、n的值．解：解法1：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），…（1分）则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b…（2分）比较系数得：，解得，所以m=-5，n=20．…（4分）18.（1）化简：3x2y-[2xy-（xy-x2y+2xy）]（2）已知A=2x2+xy+3y2，B=x2-xy+2y2，C是一个整式，且A+B+C=0，求C．解：（1）原式=3x2y-[2xy-3xy+x2y]，（2分）=3x2y-x2y+xy，=x2y+xy；解：（2）A+B=2x2+xy+3y2+x2-xy+2y2=3x2+5y2（2分），A+B+C=0，C=-（A+B），=-3x2-5y2．（4分）19、问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200-5）（200+5）①=2002-52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）；（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．问题2：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2-4a-12．问题3：若x-y=5，xy=3，求：①x2+y2；②x4+y4的值．15.阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小．解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a，∵x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2＜0，∴x＜y．看完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行！问题：计算3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562．解：设3.456为a，则2.456=a-1，5.456=a+2，1.456=a-2，可得：3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562=a×（a-1）×（a+2）-a3-（a-2）2=a3+a2-2a-a3-a2+4a-4=2a-4，∵a=3.456，∴原式=2a-4=2×3.456-4=2.912．20.计算：（1）（-8a4b5c）÷（4ab5）?（3a3b2）（2）[2（a2x）3-9ax5]÷（3ax3）（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2（4）运用整式乘法公式计算1232-124×122（5）[（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4]÷（xy），其中x=10，y=-．解：（1）（-8a4b5c）÷（4ab5）?（3a3b2），=-2a3c?（3a3b2），=-6a6b2c；（2）[2（a2x）3-9ax5]÷（3ax3），=[2a6x3-9ax5]÷（3ax3），=；（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2，=（9m2n2-1）-（9m2n2-12mn+4），=9m2n2-1-9m2n2+12mn-4，=12mn-5；（4）1232-124×122，=1232-（123+1）×（123-1），=1232-（1232-1），=1232-1232+1，=1；（5）[（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4]÷（xy），=[x2y2-4-2x2y2+4]÷（xy），=（-x2y2）÷（xy），=-xy；当x=10，y=-时，原式=-10×（-）=．21、一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？(这个角是45°)22、如图所示，是一个正方体的平面展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相对面上的数字相等，求x、y的值．23、已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．(60)先化简后求值：[（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x，其中x=3，y=1.5．（1.5）．（2001?宁夏）设a-b=-2，求的值．（2）计算：解：由题意可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为n2-（n-1）（n+1）．应用平方差公式化简得n2-（n2-12）=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．（2007?淄博）根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明分析：（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．解答：解：（1）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42；17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；20×20=202-02…（4分）例如，11×29；假设11×29=□2-○2，因为□2-○2=（□+○）（□-○）；所以，可以令□-○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202-92．（或11×29=（20-9）（20+9）=202-92（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20整式的乘除复习题一．学新知识应用1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，比较x、y的大小．解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=，y=a（a-1）= .∵x-y=-（）=-2＜0∴x＜y看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！问题：计算1.345×0.345×2.69--1.345×计算3.456×2.456×5.456--．2、我们把符号“n!”读作“n的阶乘”，规定“其中n为自然数，当n≠0时，n!=n?（n-1）?（n-2）…2?1，当n=0时，0!=1”．例如：6!=6×5×4×3×2×1=720．又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的”．按照以上的定义和运算顺序，计算：（1）4!=；（2）（3+2）!-4!=；（3）用具体数试验一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？3.小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习《整式的运算》这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如：（x-1）=，（2a+b）（）=，小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算（-x-2y）吗？（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是．A．（a-3）（）B．（2m-n）（2）C．（4-x）（16+4x+）D．（m-n）（）（4）直接用公式计算：（3x-2y）（）=（2m-3）（+9）=4、问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200-5）（200+5）①=2002-52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）；（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．问题2：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：=-=像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：二．乘法公式应用5、一个单项式加上多项式后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式．6、设，求整式的值若x-y=5，xy=3，求：①；②的值．三．整式的计算7、化简：（1）；（2）多项式与另一个整式的和是，求这一个整式解：8、已知整式与整式的差与字母x的值无关，试求代数式7（）+-（）的值．9.甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2-9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果解：10.由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去-4+2+3误以为是加上-4+2+3，结果得出的答案是-4-2，求原题的正确答案．11.根据题意列出代数式，并判断是否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式．（1）友谊商店实行货物七五折优惠销售，则定价为x元的物品，售价是多少元？（2）一列火车从A站开往B站，火车的速度是a千米/小时，A，B两站间的距离是120千米，则火车从A站开往B站需要多长时间？（3）某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少25%的工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位现有多少人？12.某村小麦种植面积是a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积的3倍．（1）玉米种植面积与水稻种植面积的差为m，试用含口的整式表示m；（2）当a=102亩时，求m的值．13.红星中学校办工厂，生产并出售某种规格的楚天牌黑板，其成本价为每块20元，若由厂家直销，每块售价30元，同时每月要消耗其他人工费用1200元；若委托商场销售，出厂批发价为每块24元．（1）若每月销售x块，用整式分别表示两种销售方式所获得的利润．（注：利润=销售总额-成本-其他费用）（2）新学期各学校教学黑板维修较多，销路较好，预计11月份可销售300块，采取哪一种销售方式获得的利润多？（3）若你是红星中学校办工厂的厂长，请你进行决策：当预计销售200块黑板时，应选择哪一种销售方式较好？14.（1）化简：3y-[2xy-（xy-y+2xy）]（2）已知A=2+xy+3，B=-xy+2，C是一个整式，且A+B+C=0，求C．15、如图所示，是一个正方体的平面展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相对面上的数字相等，求x、y的值．16计算：（1）（-8c）÷（4a）?（3）（2）[-9a]÷（3a）（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（4）运用整式乘法公式计算-124×122三．写多项式方法17.阅读下面学习材料：已知多项式2-+m有一个因式是2x+1，求m的值．根据上面学习材料，解答下面问题：已知多项式+m+nx-16有因式x-1和x-2，试用两种方法求m、n的值．四．余角和补角18、一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？19、已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．小测验姓名1.在盒子里放有四张分别写有整式3-3，-x，+2x+1，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母．（1）求能组成分式的概率；（2）在抽取的能组成分式的卡片中，请你选择其中能进行约分的一个分式，并化简这个式．2.先化简后求值[+（x+y）（x-y）]÷2x，其中x=3，y=1.53.设a-b=-2，求的值4.计算5根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）初中数学竞赛专题培训第一讲：因式分解(一)

◆以鲜明的教育理念启发人◆以浓厚的学习氛围影响人第

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页◆以不倦的育人精神感染人◆以优良的学风学纪严律人◆多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc

显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以

说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解(1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2

原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；

(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．初中数学竞赛专题培训第二讲：因式分解(二)

1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)

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页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有

所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；

(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．初中数学竞赛专题培训第十一讲勾股定理与应用

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页◆以不倦的育人精神感染人◆以优良的学风学纪严律人◆勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．证法1如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而

所以SAEML=b2．①同理可证SBLMD=a2．②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即c2=a2+b2．证法2如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即化简得a2+b2=c2．

证法3如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=SABDE+2S△ABC，①另一方面S=SACGF+SHGKD+2S△ABC．②由①，②所以c2=a2+b2．关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．证(1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②又BD2=(BC-CD)2，③②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD=AC2+BC2-2BC·CD，即c2=a2+b2-2a·CD．④(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥又BD2=(BC+CD)2，⑦将⑥，⑦代入⑤得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD，即c2=a2+b2+2a·cd．⑧综合④，⑧就是我们所需要的结论

特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2．因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．例1如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．证因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以AF=AB．①在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2．②由①，②得：AB2=2FG2．说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．例2如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD．①在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD．②①+②，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2)．③如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．推论△ABC的中线长公式：

说明三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长．例3如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题．证设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ中，即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．①在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以

在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以

将②，③代入①得

=4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．说明本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．例4如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．证AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：4(AM2+BN2)=5AB2．

分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．证连接MN，利用例4的结论，我们有AM2+BN2=AB2+MN2，所以4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2．①由于M，N是BC，AC的中点，所以所以4MN2=AB2．②由①，②4(AM2+BN2)=5AB2．说明在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行．又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．练习十一1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：(1)赵君卿图(图2-27)；(2)项名达图(2-28)；(3)杨作枚图(图2-29)．2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)

3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：BC2=AB·BF+AC·CE．全等三角形组别_____________姓名____________…………密……封………………线…………全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定 三角形全等问题分三个层次:直接利用全等三角形的判定定理和性质定理,需要我们敏捷、快速地发现两条线段或两个角所分布的两个三角形及全等的条件；当证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等到的条件不充分时，需根据图形的其他性质，先证明别的两个三角形全等以补足条件；当现有图形的任何两个三角形这间不存在全等关系，需要添置辅助线，构造全等三角形来研究平面图形的性质。1.理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和计算。2.懂得全等三角形是解决与线段、角相关问题的一个出发点。3.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握几何证明中的分析，综合，转化等数学思想。1.如图，在ABC中，D在AB上，且ΔCAD和ΔCBE都是等边三角形，求证：（1）DE=AB，（2）∠EDB=60°（提示：充分利用等边三角形这个条件是解题关键）线段AC、AD、AB不是同一个三角形的三条边，通过中线倍长将分散的条件加以集中。在ΔABC中，AB=6，中线AD=7，则边AC的取值范围是_____________.例2.如图，已知：在∠AOB的OA边上取两点P和S，再在OB上取两点Q和T，使OP=OQ，OT=OS，PT与QS相交于X。求证：OX平分∠AOB._B _X_O_A_Q_S_P_T1.两个三角形有以下三对元素对应相等,则不能判定全等的是（ ）(A)一边和任意两个角（B）两边和他们的夹角（C）两个角和他们一角的对边（D）三边对值相等2.下列所叙述的图形中，是全等三角形的只有（）(A)两边相等的两个直角三角形(B)一边和一角对应相等的两个直角三角形DBACEF(C)长为厘米的两个等边三角形(D)一个钝角相等的两个等腰三角形3．如图，AD是ΔABC的中线，E、F分别在AB、AC上且DE⊥DF，则（ ） A．BE+CF＞EF B.BE+CF=EF C．BE+CF＜EF D.EF与BE+CF大小关系无法确定4.求证：两个角及第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等。已知:如图,__________________________________________________求证:_________________.证明:5．在中，∠B=∠C,D、E在BC、AC上，且，AD=DE。求证：_1_E_D_C_B_A

6．已知：为等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且也是等边三角形，求证：_F_E_C_D_B_A7．如图,在中，=90°，AB=BC，AF、CE分别垂直BD或延长线于F、E，求证：EF=CE-AF。BADEC_E_F_D_C_B_A8．如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE。 求证：BD=2CEABCDEM9．如图，公园有一条“Z”字形道路，其中AB∥CD，在E，M，F处各有一个小石凳，且，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．

10．如图BD、CE分别是的边AC与AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ._Q_P_E_D_C_B_A1．全等三角形的基本图形：2告诉我，你还有什么问题需要我们一起讨论？构造全等三角形解竞赛题已知角平分线，利用轴对称构造全等三角形。例1在四边形中，对角线＞，下列结论中正确的是（）.A．＞B．＝C．＜D．与的大小关系不确定解：因为以AC为对称轴作△ACD的对称图形△ACE，则=＞故选A.二、已知中线，利用中心对称构造全等三角形。例2设G为△ABC的重心，且则△ABC的面积为（）。解：如图，以BC的中点D为中心，将点G旋转180°至E，则四边形BGCE是平行四边形.在△BEG中，所以△BEG是直角三角形，因此例1图例2图例3图三、已知等边三角形，旋转60°构造全等三角形。例3已知P是等边△ABC内的一点，的度数为（）.解：绕着点B将△ABP顺时针旋转60°，则△ABP≌△CBE，△BPE为等边三角形。在△PCE中，所以△PCE是直角三角形，因此四、已知正方形，旋转90°构造全等三角形。例4已知P是正方形ABCD内的一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，的度数为（）.解：绕着点B将△ABP顺时针旋转90°，则△ABP≌△CBE，△BPE为等腰直角三角形。在△PCE中，设所以△PCE是直角三角形，因此例4图例5图五、已知特殊角度，构造全等三角形。例5A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线，如图，AB=2千米，BC=3千米，在B村庄的正北方向有一个D村，测得今将△ADC区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建筑或绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少？解：分别以DA、DC为对称轴，作Rt△ADB和Rt△BDC的对称图形Rt△ADE和Rt△FDC，延长EA和FC交于G，则四边形DEGF是以DB为边长的正方形。设由勾股定理得因此所以这个开发区的建筑及绿化用地的面积是11平方千米。初中数学竞赛专题培训第十讲三角形的全等及其应用

在中学教材中，关于三角形全等有以下判定公理：(1)边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)．(2)角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)．推论有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)．(3)边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)．关于直角三角形有：(4)斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)．利用全等三角形，我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重要性质，在本讲中将直接利用这些性质．借助于全等三角形的知识，我们