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2023/1/121第二章分离变量法和积分变换法

复习课陈有亮上海理工大学土木工程系2023/1/122分离变量法许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的叠加原理。分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些简谐振动的叠加）2023/1/123分离变量法的解题步骤第一步第二步第三步令适合方程和边界条件，从而定出所适合的常微分方程齐次边值问题，以及适合的常微分方程。本征值问题求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部本征值和本征函数，并求出相应的的表达式。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。2023/1/124物理意义(以有界弦自由振动问题为例)其中

对任意时刻这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，其振幅随不同的时间t0而不同。2023/1/125

对任意一点这表示在任意一点处都作简谐振动。节点固有频率2023/1/126例12023/1/127令是齐次方程和齐次边界条件的非零解则有2023/1/128故有其中2023/1/1292023/1/1210例2矩形薄板的热传导方程利用分离变量法（2.1）（2.2）（2.3）2023/1/1211（2.6）（2.5）（2.4）再设（2.7）（2.8）（2.9）2023/1/1212由边界条件2023/1/1213从而有且代入（2.4）可得2023/1/1214于是特解的叠加2023/1/1215系数的确定（二重Fourier级数展开式）若则2023/1/1216非齐次边界条件的定解问题2023/1/1217对于非齐次边界条件，无法应用分离变量法。因为此时无法对因子不能引进任何边界条件。若能找到函数w(x,t),使之具备性质在满足条件的曲线中，最简单的是直线容易确定A(t)和B(t)。2023/1/1218作函数变换边界齐次化2023/1/1219例设代入，得适当选取w，满足2023/1/12202023/1/12212023/1/12222023/1/1223本征值理论

利用分离变量法求解定解问题必然导致本征值问题，即在一定的齐次边界条件下，求一个含参数的齐次常微分方程的非零解的问题。

另外，在分离变量的过程中，主要涉及

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