培训稿1层次分析知识分享

数学(shùxué)建模竞赛常见问题与方法

第一页，共79页。常见(chánɡjiàn)模型1.综合评价模型2.预测(yùcè)分析模型3.专题求解模型4.计算机编程模型本次东三省是从A、B、C三题中选一第二页，共79页。近几年的全国(quánɡuó)的赛题2010A题储油罐的变位识别与罐容表标定（高数定积分或某种方法借用专题(zhuāntí)）2010B题上海世博会影响力的定量评估（综合评价发散思维）2007B题：乘公交，看奥运（计算机编程）2009B题眼科病床的合理安排（综合评价、测试分析、计算机能力）第三页，共79页。常用(chánɡyònɡ)的建模方法借助基础知识自己创新运用借助相关文献合理运用上述两种方法有机(yǒujī)结合第四页，共79页。应储备(chǔbèi)的基础资料数学模型教材数学建模竞赛案例运筹学（线性规划、非线性规划、动态规划、层次分析、数据包络分析、模糊综合评价备电子版）模糊数学图论(túlùn)及其应用概率论与数理统计、高等数学、线性代数微分方程多注册一些有用的网站会员（数学中国、中国数模等）可以上网的电脑第五页，共79页。⑴数学建模的基本概念，初等模型⑵线性规划和非线性规划模型⑶数理统计(shùlǐtǒnɡjì)模型、回归分析模型⑷微分方程模型⑸图论模型⑹层次分析模型、模糊综合评价等⑺动态规划模型⑻生态平衡模型⑼最短路模型⑽网络流模型所需要(xūyào)的主要知识第六页，共79页。常用的数学(shùxué)建模软件1.Word-----编辑排版，要求全部安装(ānzhuāng)，要熟悉数学公式编辑器的使用。20032.Excel------表格，绘图，数据处理3.MATLAB软件--------数值计算绘图；4.LINDO和LINGO软件------线性规划，整数规划5.AHP、数据包络分析软件6.PDF转换器第七页，共79页。

综合评价(píngjià)模型常见方法第八页，共79页。综合(zōnghé)评价基本方法简易(jiǎnyì)的方法有：常用(chánɡyònɡ)的方法有：第九页，共79页。综合(zōnghé)评价结合方法多种方法有机结合如:层次(céngcì)分析法与粗糙集理论结合；层次(céngcì)分析法与关键成功因素理论结合；层次(céngcì)分析法与数据包络分析结合；层次(céngcì)分析法与熵权法结合；综合法与优化法结合第十页，共79页。几种常见(chánɡjiàn)综合评价法介绍第十一页，共79页。一.层次(céngcì)分析法层次分析法（Theanalytichierarchyprocess）简称AHP，该方法是美国匹茨堡大学教授、运筹学家萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论(lǐlùn)和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。第十二页，共79页。2006年全国(quánɡuó)数学建模题A题:出版社的资源配置出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售(xiāoshòu)成本、财务与管理成本等）和利润。第十三页，共79页。某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加(zēngjiā)强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。第十四页，共79页。资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足(bùzú)，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足(bùzú)的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。第十五页，共79页。[附录(fùlù)]附件1：问卷调查表；附件2：问卷调查数据（五年）；附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）；附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）；附件5：9个分社人力资源细目。第十六页，共79页。层次(céngcì)分析法的步骤第十七页，共79页。构建(ɡòujiàn)递阶层次结构目标层准则B1准则B2准则……准则Bn方案C2方案C1方案C3方案Cm……第十八页，共79页。例1渡假旅游(lǚyóu)地的选择选择旅游地景色费用居住饮食旅途P1P2P3

渡假旅游地的选择层次结构目标(mùbiāo)层准则(zhǔnzé)层方案层目标层：选择旅游地准则层：景色、费用、居住、饮食、旅途方案层：P1,P2,P3，3个选择地点。第十九页，共79页。构造出各层次中的所有(suǒyǒu)比较判别矩阵(2)

第二十页，共79页。如果(rúguǒ)用u1,u2,…,u5表示景色、费用、居住、饮食、旅途，某人进行两两比较，所得判别矩阵为：a12=1/2表示(biǎoshì)景色u1与费用u2对目标C的重要性之比为1:2；a23=7表示费用u2与居住(jūzhù)条件u３之比为7:1。可见在此人选择旅游地时，费用因素最重要，景色次之。例1准则层次对目标层的比较判别矩阵第二十一页，共79页。标度(aij)含义135792，4，6，81，1/2，1/3，…1/9ui与uj相比，ui与uj有相同重要性ui与uj相比，ui比uj稍重要ui与uj相比，ui比uj明显重要ui与uj相比，ui比uj强烈重要ui与uj相比，ui比uj极端重要ui与uj相比，重要程度在上述相邻等级之间aij=1/aij比较(bǐjiào)判别矩阵:A=(aij)n×n第二十二页，共79页。若CR(k)<0.1,则认为层次结构在第k层水平以上的所有判断具有(jùyǒu)满意的一致性。B1P1P2P3P1125P21/212P31/51/21例1方案层次对准则层的比较判别矩阵P1,P2,P3，3个选择(xuǎnzé)地点对准则1景色的比较判别矩阵第二十三页，共79页。B2P1P2P3P111/31/8P2311/3P3831B3P1P2P3P1113P2113P31/31/31B4P1P2P3P1134P21/311P31/411例1方案层次对准则层的其它(qítā)准则的比较判别矩阵B5P1P2P3P1111/4P2111/4P3441第二十四页，共79页。比较判别矩阵可能出现(chūxiàn)的问题比较标准总体有时会出现前后不一致如：例1中准则层次对目标层的比较判别矩阵(jǔzhèn)A的元素a12=1/2，a13=4；a23=7。由此发现：既然u1与u2之比为1:2，u1与u3之比为4:1，那么u2与u3之比为8:1，而不是7:1,这才能(cáinéng)说明两两比较是一致的。第二十五页，共79页。一致性检验(jiǎnyàn)相邻(xiānɡlín)层下对上一层的一致性检验：1）计算(jìsuàn)一致性指标。

如例1中A的max=5.073CI=（5.073-5）/4=0.018第二十六页，共79页。一致性检验(jiǎnyàn)层次单排序(páixù)及一致性检验：矩阵阶数12345678RI000.520.891.121.261.361.412）查找相应(xiāngyīng)的平均随机一致性指标。

矩阵阶数9101112131415RI1.461.491.521.541.561.581.59第二十七页，共79页。一致性检验(jiǎnyàn)层次单排序(páixù)及一致性检验：时3）计算(jìsuàn)一致性比例

当认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。如例1中A的CI=0.018RI=1.12CR(2)=0.016<0.1第二十八页，共79页。计算相邻(xiānɡlín)层下对上一层的指标的权重如果得到的比较判别矩阵A是通过一致的性的，取A的最大特征值的归一化特征向量W=(w1,w2,…,wn)T作为(zuòwéi)u1,u2,…,un对上层元素C的权向量。如果A不一致，则在不一致程度允许范围内，把对应A的最大特征值的归一化特征向量作为(zuòwéi)权向量。第二十九页，共79页。对于(duìyú)例1，矩阵A通过了一致性检验计算准则层对目标层的权向量，Au1u2u3u4u5W(2)u111/24330.263u2217550.475u31/41/711/21/30.055u41/31/52110.099u51/31/53110.011max=5.073CI=0.018RI=1.12CR(2)=0.016<0.1第三十页，共79页。比较判别矩阵的总一致性检验及层次权重总排序：设上一层次（层）包含共个因素，它们的层次总排序权重分别(fēnbié)为又设其后的下一层次（层）包含个因素，它们关于的层次单排序权重分别(fēnbié)为（当与无关联时，）。

层总排序随机(suíjī)一致性比例为：

时层次(céngcì)总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。第三十一页，共79页。方案(fāngàn)层的一致性检验方案层的一致性检验１．先分别计算方案层对上一层的每个比较判别(pànbié)矩阵的一致性检验B1P1P2P3P1125P21/212P31/51/21max=3.005CI1(3)=0.003RI=0.58CR1(3)=0.005<0.1第三十二页，共79页。B2P1P2P3P111/31/8P2311/3P3831max=3.002CI2(3)=0.001RI=0.58CR2(3)=0.017<0.1B3P1P2P3P1113P2113P31/31/31max=3CI3(3)=0RI=0.58CR3(3)=0<0.1第三十三页，共79页。B4P1P2P3P1134P21/311P31/411max=3.009CI4(3)=0.005RI=0.58CR4(3)=0.0086<0.1B5P1P2P3P1111/4P2111/4P3441max=3CI5(3)=0RI=0.58CR5(3)=0<0.1第三十四页，共79页。2.方案(fāngàn)层对目标层的总一致性检验总一致性检验(jiǎnyàn)CI(3)=(0.003,0.001,0,0.005,0)(0.263,0.475,0.055,0.099,0.011)T

=0.00176RI=0.58,CR(2)=0.016,CR(3)=0.016+0.00176/0.58=0.019<0.1第三十五页，共79页。方案层对目标层的权重(quánzhònɡ)总排序方案层的判别矩阵通过(tōngguò)总一致性检验后需计算方案层的权重总排序1.先计算方案层对上一层各指标的权重如例1中B1P1P2P3P1(3)P11250.595P21/2120.277P31/51/210.129B2P1P2P3P2(3)P111/31/80.595P2311/30.277P38310.129第三十六页，共79页。B3P1P2P3P3(3)P11130.429P21130.429P31/31/310.142B4P1P2P3P4(3)P11340.633P21/3110.193P31/4110.175B5P1P2P3P5(3)P1111/40.166P2111/40.166P34410.668第三十七页，共79页。2.计算方案(fāngàn)层对目标层的总排序第三十八页，共79页。方案层对目标(mùbiāo)层的总排序向量为第三十九页，共79页。层次(céngcì)分析法软件第四十页，共79页。构造(gòuzào)层次结构决策(juécè)目标决策准则方案(fāngàn)第四十一页，共79页。第四十二页，共79页。第四十三页，共79页。第四十四页，共79页。第四十五页，共79页。第四十六页，共79页。第四十七页，共79页。第四十八页，共79页。第四十九页，共79页。将数据(shùjù)导出第五十页，共79页。第五十一页，共79页。第五十二页，共79页。层次(céngcì)分析法建模第五十三页，共79页。例12006年全国(quánɡuó)数学建模题A题:出版社的资源配置出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们(tāmen)都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。第五十四页，共79页。优化书号配置A生产计划准确度读者满意度市场占有率利润计算机类经管类数学类外语类两课类机械能源类化工化学类地理地质类环境类第五十五页，共79页。第五十六页，共79页。准则层关于(guānyú)目标层第五十七页，共79页。第五十八页，共79页。第五十九页，共79页。生产计划准确度比较(bǐjiào)矩阵它的归一化特征向量为特征向量为第六十页，共79页。读者(dúzhě)满意度第六十一页，共79页。市场占有率比较(bǐjiào)矩阵第六十二页，共79页。年利润(lìrùn)指数比较矩阵第六十三页，共79页。由方案(fāngàn)层各元素关于目标的合成权重向量由于第三层对于第二层的一致性指标(zhǐbiāo)都是0，所以模型具有整体的一致性。第六十四页，共79页。2005全国(quánɡuó)数学建模题长江水质的评价和预测1.关于评价指标的确定对长江的水质情况进行综合评价，关键在于评价指标的选择，指标应该具有一定的代表性。水质检测的项目很多，如果将所有项目进行计算评价必然难突出重点，同时造成评价体系不必要的复杂化，因此选取具有代表性的项目是很重要的。同时，还要考虑到应以水利系统能够测定的项目作为基础，参照(cānzhào)各类用水的水质标准，选用合适的项目为参数，进行水质综合评价。第六十五页，共79页。河流中的污染物定性指标主要(zhǔyào)有三类：1）有机污染参数：溶解氧、耗氧量、氨氮等；2)有毒有害污染参数：锰盐、挥发性酚、砷化物、氰化物、汞、镉、铜、硫化物、铅等；3)自然参数：水温、悬浮物、PH值、氯离子等；长江实测数据中包含了有机污染参数—溶解氧、氨氮，有毒有害污染参数－高锰酸盐，自然参数—PH值，分别代表了三个类别的污染物指标，是比较有代表性的，同时也相对容易测量，最后从上述三类指标中概括出四个易量化的指标评价水质是合理的，从而形成准则层。第六十六页，共79页。3.构建(ɡòujiàn)递阶层次结构确定各观测地区综合污染指数排名溶解氧Do高锰酸盐指数CODMn氨氮NH3-NPH值重庆朱沱四川攀枝花龙洞湖北宜昌南津关江苏扬州……第六十七页，共79页。4.求解(qiújiě)1）准则层对目标(mùbiāo)层的权重：可以(kěyǐ)求得的最大特征值是4.0416，相应的特征向量为，

一致性指标C.I=0.0139<<0.1，第六十八页，共79页。2）计算方案(fāngàn)层对准则层的比较