202X届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.1随机事件与古典概型课件

A组自主命题·天津卷题组五年高考1.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支

彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

C本题考查古典概型.从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有以下10种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),

(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).其中含有红色彩笔的有4种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),

(红,紫),所以所求事件的概率P=

=

,故选C.2.(2016天津文,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是

,甲获胜的概率是

,则甲不输的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

A设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲

不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=

+

=

,故选A.3.(2019天津文,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续

教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、

中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查

专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如

下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.员工项目

ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○解析本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及

其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素

养.(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员

工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},

{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},

{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=

.思路分析(1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的

基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.失分警示

在列举基本事件时应找好标准,做到不重不漏.4.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.

现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工

作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.解析(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样

的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2

人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},

{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},

{E,F},{E,G},{F,G},共21种.②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是

F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},

{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率P(M)=

.易错警示解决古典概型问题时,易出现以下错误:(1)忽视基本事件的等可能性导致错误;(2)列举基本事件考虑不全面导致错误;(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错

误.5.(2015天津文,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分

层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人

参加双打比赛.(i)用所给编号列出所有可能的结果;(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.解析(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,

A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15

种.(ii)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},

{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.因此,事件A发生的概率P(A)=

=

.评析

本题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其

概率计算公式等基础知识.考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力.6.(2014天津文,15,13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概

率.

一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ解析(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},

{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,

X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M发生的概率P(M)=

=

.评析

本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公

式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一随机事件的概率1.(2018北京理,17,12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类

电影得到人们喜欢,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ

2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率是

=0.025.(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.故所求概率为P(A

+

B)=P(A

)+P(

B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.2.(2016北京理,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽

样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假

设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).

这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判

断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5解析(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生

人数估计为100×

=40.(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2,…,8.由题意可知,P(Ai)=

,i=1,2,…,5;P(Cj)=

,j=1,2,…,8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=

×

=

,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪

A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C

2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×

=

.(3)μ1<μ0.思路分析(1)利用分层抽样的定义求出C班的学生人数;(2)依次找出甲、乙的搭配方式,求出

概率;(3)根据平均数的定义比较,进而作判断.解后反思

本题第(2)问事件繁多,但注意到“互斥”“相互独立”及“等概率”,计算量并不

大.3.(2016课标Ⅱ文,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保

人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若该续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设A表示事件:“该续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一

年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(3分)(2)设B表示事件:“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年

内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=

=

=

=

.因此所求概率为

.

(7分)(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.

(12分)易错警示

对条件概率的定义理解不到位,或者不会运用条件概率的求解公式,导致出错.评析

本题考查了随机事件的概率,同时考查了考生的应用意识及数据处理能力,属中档题.4.(2015北京文,17,13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商

品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?商品顾客人数

甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××解析(1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同

时购买乙和丙的概率可以估计为

=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾

客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为

=0.3.(3)解法一:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为

=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为

=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为

=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.解法二:从统计表可以看出,同时购买了甲和乙的顾客,也都购买了丙;同时购买了甲和丁的顾

客,也都购买了丙;有些顾客同时购买了甲和丙,却没有购买乙或丁.所以,如果顾客购买了甲,那么他同时购买丙的可能性最大.思路分析(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,从而求得顾客同

时购买乙和丙的概率.(2)根据统计表得,在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人,故可求得顾客在甲、乙、

丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3)解法一:在这1000名顾客中,分别求出同时购买甲和乙的概率,同时购买甲和丙的概率,同时

购买甲和丁的概率,比较即可得出结论.解法二:分析购买了甲的同时购买其他商品的情况得出结论.5.(2015课标Ⅱ理,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了

20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分

的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A地区

B地区

4

5

6

7

8

9

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价

结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意解析(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区

B地区

4683513646426245568864373346992865183217552913通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A

地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为

,

,

,

,故P(CA1)=

,P(CA2)=

,P(CB1)=

,P(CB2)=

,P(C)=

×

+

×

=0.48.思路分析(1)将A、B地区数据逐一填入茎叶图,然后通过茎叶图作比较.(2)设出事件且指明

事件间的关系,利用相应概率公式得结论.考点二古典概型1.(2019课标Ⅱ文,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子

中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B本题主要考查古典概型;考查学生的逻辑推理和运算求解能力;考查的核心素养是

数学运算与数据分析.记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其中测量过某项指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔子中随机取

出3只的基本事件有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中恰有2只

测量过该指标的基本事件有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种,所以所求事件的概率P=

=

.2.(2019课标Ⅲ文,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

D本题考查古典概型,以现实生活中常见的学生排队问题为背景,考查学生对数学知

识的应用意识.设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,所有可能的结果用

树状图表示为

共24种结果,其中两位女同学相邻的结果有12种,∴P(两位女同学相邻)=

=

,故选D.技巧点拨

用树状图列举所有可能的结果是求解古典概型问题的基本方法之一.3.(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥

德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数

中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C本题主要考查古典概型.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从这10个素数中随机选取两个不同的数,

有

=45种情况,其和等于30的情况有3种,则所求概率等于

=

.故选C.方法总结解决关于古典概型的概率问题关键是正确求出基本事件的总数和所求事件包含

的基本事件数.(1)当基本事件的总数较少时,可用列举法把所有基本事件一一列举出来.(2)注

意区分排列与组合,正确使用计数原理.4.(2018课标Ⅱ文,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是

女同学的概率为

()A.0.6

B.0.5

C.0.4

D.0.3答案

D设两名男生为A,B,三名女生为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),

(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以所求概

率为

=0.3.5.(2017课标Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1

张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

D画出树状图如图:

可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P=

=

.故选D.思路分析

由树状图列出所有的基本事件,可知共有25个,满足题目要求的基本事件共有10个.

由古典概型概率公式可知所求概率P=

=

.易错警示

本题易因忽略有放回抽取而致错.疑难突破当利用古典概型求概率时,应区分有放回抽取与无放回抽取.有放回抽取一般采用

画树状图法列出所有的基本事件,而无放回抽取一般采用穷举法.6.(2017山东理,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则

抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C本题主要考查古典概型.由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n=9×8=72,抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基

本事件个数m=

=40,所以所求概率P=

=

=

.故选C.7.(2016课标Ⅰ文,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花

坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、

(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在

同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=

=

,故选C.解后反思

从4种颜色的花中任选2种共有6种情况,不重不漏地列举出所有情况是解题关键.8.(2016课标Ⅲ文,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N

中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C小敏输入密码前两位的所有可能情况如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为

.9.(2015课标Ⅰ文,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为

一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.

B.

C.

D.

答案

C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,

5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P=

,故选C.10.(2015广东理,4,5分)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋

中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为

()A.

B.

C.

D.1答案

B从15个球中任取2个球,取法共有

种,其中恰有1个白球,1个红球的取法有

×

种,所以所求概率P=

=

,故选B.11.(2019上海,10,5分)某三位数密码,每位数字可在0—9这10个数字中任选一个,则该三位数密

码中,恰有两位数字相同的概率是

.答案

解析设恰有两位数字相同为事件A,解法一:P(A)=

=

.解法二:P(A)=1-

=

.易错警示所有基本事件的个数为103,而非

.12.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同

学中至少有1名女同学的概率是

.答案

解析本题主要考查了古典概型和古典概型概率的计算方法,考查学生的应用意识和运算求

解能力,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.解法一:记3名男同学分别为a1、a2、a3,2名女同学分别为b1、b2,从这5名同学中选出2名同学的

选法如下:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种,其中至少有1

名女同学的选法如下:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7种,故所求概率P=

.解法二:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有

=10种选法,其中选出的2名同学都是男同学的选法有

=3种,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P=1-

=

.解后反思

解决古典概型概率问题的关键是不重不漏地列出所有基本事件,既可以从正面直

接求解,也可以从反面找对立事件来求解.13.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两

个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是

(结果用最简分数表

示).答案

解析本题主要考查古典概型的概率计算.记5克、3克、1克砝码分别为5、3、1,两个2克砝

码分别为2a,2b,则从这五个砝码中随机选取三个,有以下选法:(5,3,1),(5,3,2a),(5,3,2b),(5,1,2a),

(5,1,2b),(5,2a,2b),(3,1,2a),(3,1,2b),(3,2a,2b),(1,2a,2b),共10种,其中满足三个砝码的总质量为9克

的有(5,3,1),(5,2a,2b),共2种,故所求概率P=

=

.14.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好

选中2名女生的概率为

.答案

解析解法一:把男生编号为男1,男2,女生编号为女1,女2,女3,则从5名学生中任选2名学生有:男1

男2,男1女1,男1女2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10种情况,其中选中2名女生

有3种情况,则恰好选中2名女生的概率为

.解法二:所求概率P=

=

.15.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选

择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解析(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2},

{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B

1,B3},{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率P=

=

.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B

2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率P=

.1.求出所有基本事件的个数n,常用的方法有列举法、列表法、画树状图法;方法总结求古典概型概率的一般步骤:2.求出事件A所包含的基本事件的个数m;3.代入公式P(A)=

求解.16.(2015湖南文,16,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽

奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,

各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?

请说明理由.解析(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},

{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a

1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为

=

,不中奖的概率为1-

=

>

,故这种说法不正确.评析

本题考查了随机事件及其概率,古典概型概率的计算;考查了分析、计算能力及应用意

识.C组教师专用题组1.(2016北京文,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B设其他3名学生为丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),

(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共4+3+2+1=10种.其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种,故甲被选中的概率为

=

.故选B.易错警示在列举基本事件时要不重不漏,可画树状图:

2.(2014湖北文,5,5分)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,

点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则

()A.p1<p2<p3

B.p2<p1<p3

C.p1<p3<p2

D.p3<p1<p2

答案

C随机抛掷两枚骰子,它们向上的点数之和的结果如图,则p1=

,p2=

,p3=

,∴p1<p3<p2,故选C.

3.(2014江西文,3,5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B掷两颗均匀的骰子,得到的点数有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,

4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,

4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种可能的结果,点数之和为5的有(1,4),(2,3),(3,

2),(4,1),共4种情况,所以所求事件的概率P=

=

,故选B.4.(2017上海,9,5分)已知四个函数:①y=-x,②y=

,③y=x2,④y=

,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为

.答案

解析给出四个函数:①y=-x,②y=

,③y=x2,④y=

,从四个函数中任选2个,基本事件总数n=

=6,③④有两个公共点(0,0),(1,1).事件A:“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③,①④共2个,∴P(A)=

=

.5.(2016四川文,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是

.答案

解析所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12

个.记“logab为整数”为事件A,则事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个.∴P(A)=

=

.易错警示对a,b取值时要注意顺序.评析

本题考查了古典概型.正确列举出基本事件是解题的关键.6.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一

次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为

.答案

解析记两只黄球为黄A与黄B,从而所有的摸球结果为(白,红),(红,黄A),(红,黄B),(白,黄A),(白,

黄B),(黄A,黄B),共6种情况,其中颜色不同的有5种情况,则所求概率P=

.7.(2014课标Ⅱ文,13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中

选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为

.答案

解析甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种,

其中颜色相同的有3种,所以所求概率为

=

.8.(2015四川文,17,12分)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位

号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客P1因身体原因没有坐自己

的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的

座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐

法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.乘客P1P2P3P4P5座位号32145

32451

解析(1)余下两种坐法如下表所示:(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为乘客P1P2P3P4P5座位号32415

32541乘客P1P2P3P4P5座位号21345

23145

23415

23451

23541

24315

24351

25341于是,所有可能的坐法共8种.设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.所以P(A)=

=

.答:乘客P5坐到5号座位的概率是

.评析

本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算,考查运用概率知识与方

法分析和解决实际问题的能力.9.(2015山东文,16,12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数

据如下表:(单位:人)(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,

B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.

参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230解析(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人,所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率P=

=

.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率P=

.三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2018天津河北二模文)从数字1,2,3,4,5中任取2个,组成一个没有重复数字的两位数,则这个

两位数大于30的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C“从数字1,2,3,4,5中任取2个,组成一个没有重复数字的两位数”的事件包括12,21,

13,31,14,41,15,51,23,32,24,42,25,52,34,43,35,53,45,54,共有20个;“从数字1,2,3,4,5中任取2个,

组成一个没有重复数字的两位数,且该两位数大于30”的事件包括31,32,34,35,41,42,43,45,51,

52,53,54,共有12个,所以所求概率P=

=

.故选C.2.(2017天津和平三模文)春节期间和谐小区从初一至初八连续8天举办大型文艺汇演,居民甲

随机选择其中的连续3天观看演出,那么他在初一至初四期间连续3天看演出的概率为()A.

B.

C.

D.

答案

D春节期间和谐小区从初一至初八连续8天举办大型文艺汇演,居民甲随机选择其中

的连续3天观看演出,基本事件有(初一初二初三),(初二初三初四),(初三初四初五),(初四初五初六),(初五初六初七),

(初六初七初八),共6个,他在初一至初四期间连续3天看演出包含的基本事件有(初一初二初三),(初二初三初四),共2

个,∴他在初一至初四期间连续3天看演出的概率为

=

.故选D.评析

本题考查概率、列举法等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力,是基础题.3.(2018天津一中月考文)若从集合{1,2,3,5}中随机地选出三个元素,则满足其中两个元素的和

等于第三个元素的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B从集合{1,2,3,5}中随机地选出三个元素,基本事件总数n=

=4,其中两个元素的和等于第三个元素包含的基本事件有(1,2,3),(2,3,5),共有2个,∴满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为

=

.故选B.评析

本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.4.(2017天津红桥二模文)盒中装有形状、大小完全相同的5个小球,其中红色球3个,黄色球2个,

若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于

()A.

B.

C.

D.

答案

D盒中装有形状、大小完全相同的5个小球,其中红色球3个,黄色球2个,从中随机取

出2个球,基本事件总数n=

=10,所取出的2个球颜色不同包含的基本事件个数m=

=6,所取出的2个球颜色不同的概率为

=

=

.故选D.评析

本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合

理运用.B组2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:90分钟分值:145分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018天津二模)从大小相同的红、黄、白、紫、粉5个小球中任选2个,则取出的两个小球中

没有红色球的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B从大小相同的红、黄、白、紫、粉5个小球中任选2个,包括(红,黄),(红,白),(红,紫),

(红,粉),(黄,白),(黄,紫),(黄,粉),(白,紫),(白,粉),(紫,粉),基本事件总数n=10,取出的两个小球中没

有红色球包含的基本事件个数m=6,∴取出的两个小球中没有红色球的概率P=

=

=

.故选B.2.(2018天津河西二模)一个口袋内装有大小相同的5个球,其中2个白球,2个红球,1个黑球,从中

一次摸出两个球,则摸出的两个球中没有红球的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C一个口袋内装有大小相同的5个球,其中2个白球,2个红球,1个黑球,从中一次摸出两

个球,基本事件总数n=

=10,摸出的两个球中没有红球包含的基本事件个数m=

=3,则摸出的两个球中没有红球的概率是

=

.故选C.3.(2017天津和平四模)袋中有外观相同的红球、黑球各1个,现依次有放回地随机摸取3次,每

次摸取1个球,若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,则3次摸球所得总分为5的概率为()A.

B.

C.

D.

答案

C袋中有外观相同的红球、黑球各1个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取1个

球,摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,3次摸球所得总分为5是指3次摸球时两次摸到红球,一次摸到黑球,∴3次摸球所得总分为5的概率P=

=

.故选C.4.(2017天津和平二模)从数字1,2,3,4,5,6中任取2个,求出乘积,则所得结果是3的倍数的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B从数字1,2,3,4,5,6中任取2个,求出乘积,基本事件总数n=

=15,所得结果是3的倍数包含的基本事件个数m=

+

=9,∴所得结果是3的倍数的概率是

=

=

.故选B.5.(2017天津部分区二模)某象棋俱乐部有队员5人,其中女队员2人,现随机选派2人参加象棋比

赛,则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B随机选派2人参加象棋比赛,有

=10种,选出的2人中恰有1人是女队员,有

=6种,∴所求概率为

=

,故选B.6.(2017天津一中三月考)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出

的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B从1,2,3,4中随机取出两个不同的数的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共

6个,其中和为偶数的有(1,3),(2,4),共2个,由古典概型的概率公式可知,从1,2,3,4中随机取出两个不同的数,其和为偶数的概率为

=

.故选B.二、填空题(每小题5分,共25分)7.(2017天津河西三模)将一颗骰子向上抛掷两次,所得点数分别为m和n,则n≤2m的概率是

.答案

解析将一颗骰子向上抛掷两次,所得点数分别为m和n,基本事件总数为6×6=36,n≤2m的对立事件是n>2m,n>2m包含的基本事件有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),共有6个,∴n≤2m的概率是1-

=

.故答案为

.8.(2017天津河东模拟)甲、乙两人进行中国象棋比赛,甲赢的概率为0.5,下成和棋的概率为0.2,

则甲不输的概率为

.答案0.7解析∵甲赢与甲、乙两人下成和棋是互斥事件,∴根据互斥事件的概率计算公式可知:甲不输的概率P=0.2+0.5=0.7.思路分析

利用互斥事件的概率加法公式即可得出.评析

正确理解互斥事件及其概率加法公式是解题的关键.9.(2017天津河东一模)一个口袋内装有大小相同的红球,白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红

球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为

.答案0.2解析∵一个口袋内装有大小相同的红球,白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概

率为0.58,∴摸出黑球的概率为1-0.58=0.42.∵摸出红球或黑球的概率为0.62,∴摸出白球的概率为1-0.62=0.38.∴摸出红球的概率为1-0.42-0.38=0.2.10.(2017天津新华中学模拟)某优秀学习小组有6名同学,坐成三排两列,现从中随机抽2人代表

本小组展示小组合作学习成果,则所抽的2人来自同一排的概率是

.答案

解析某优秀学习小组有6名同学,坐成三排两列,现从中随机抽2人代表本小组展示小组合作

学习成果,基本事件总数n=

=15,所抽的2人来自同一排包含的基本事件个数m=

=3,则所抽的2人来自同一排的概率是

=

=

.故答案为

.11.(2017天津河西一模)一个口袋内装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球,从中一次随

机取出2个球,则至少取到1个黑球的概率为

.答案

解析记2个白球分别为白1、白2,2个黑球分别为黑1、黑2,则从一个装有除颜色外完全相同

的2个白球和2个黑球的口袋中一次随机取出2个球的基本事件包括白1白2,白1黑1,白1黑2,白2

黑1,白2黑2,黑1黑2,共6个,其中至少取到1个黑球的事件为5个,故所求概率P=

.三、解答题(共90分)12.(2019天津河北一模)为增强市民的环境保护意识,某市面向全市学校征召100名教师做义务

宣传志愿者,成立环境保护宣传组,现把该组的成员按年龄分成5组,如下表所示:(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区宣传活动,应从第3,4,5组各

选出多少名志愿者?(2)在(1)的条件下,宣传组决定在这6名志愿者中随机选2名志愿者介绍宣传经验.①列出所有可能结果;②求第4组至少有1名志愿者被选中的概率.组别年龄人数1[20,25)52[25,30)353[30,35)204[35,40)305[40,45)10解析(1)由已知得第3,4,5组共有60名志愿者,∴从第3,4,5组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区的宣传活动,各组应选出的人数

分别为6×

=2,6×

=3,6×

=1.(2)①记第3组2名志愿者分别为A,B,第4组3名志愿者分别为a,b,c,第5组1名志愿者为d,则从这6人中随机选2人,所有可能结果为{A,B},{A,a},{A,b},{A,c},{A,d},{B,a},{B,b},{B,c},{B,d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共15

种.②设“从6名志原者中随机选2名,第4组至少一名志愿者被选中”为事件A,则事件A所含基本事件有{A,a},{A,b},{A,c},{B,a},{B,b},{B,c},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共12种,故P(A)=

=

.13.(2019天津河西一模)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,60

件,30件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的

样本进行调查,其中从乙车间的产品中抽取了2件.(1)应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取多少件?样本容量n为多少?(2)设抽出的n件产品分别用A1,A2,…,An表示,现从中随机抽取2件产品.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2件产品来自不同车间”,求事件M发生的概率.解析(1)由已知得从甲、乙、丙三个车间抽取产品的数量之比是4∶2∶1,∵从乙车间的产品中抽取了2件产品,∴应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取4件和1件产品,∴样本容量n=7.(2)①从抽出的7件产品中随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A1,A7},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A2,A7},{A3,A4},

{A3,A5},{A3,A6},{A3,A7},{A4,A5},{A4,A6},{A4,A7},{A5,A6},{A5,A7},{A6,A7},共21个.②不妨设抽出的7件产品中,来自甲车间的是A1,A2,A3,A4,来自乙车间的是A5,A6,来自丙车间的是

A7,则事件M包含的基本事件为{A1,A5},{A1,A6},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A6},{A2,A7},{A3,A5},{A3,A6},

{A3,A7},{A4,A5},{A4,A6},{A4,A7},{A5,A7},{A6,A7},共14个.∴事件M发生的概率P=

=

.评析

本题考查分层抽样、随机事件所包含的基本事件、古典概型及其概率计算公式等基

础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,考查运算求解能力,是基础题.14.(2019天津一模)某高中高一,高二,高三的模联社团的人数分别为35,28,21,现采用分层抽样

的方法从中抽取部分学生参加模联会议,已知在高二年级和高三年级中共抽取7名学生.(1)应从高一年级抽取多少名学生参加会议?(2)设从高二年级和高三年级抽出的7名学生分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名学

生承担文件翻译工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的两名学生来自同一年级”,求事件M发生的概率.解析(1)设高一年级参加会议的学生有x名,由已知得

=

,解得x=5,∴高一年级参加会议的学生有5名.(2)①从7名学生中随机抽取2名学生的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},

{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},

{F,G},共21种.②由已知,得从高二年级抽取28×

=4人,从高三年级抽取21×

=3人,不妨设高二年级的4人分别表示为A,B,C,D,高三年级的3人分别表示为E,F,G,则抽取的2名学生来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{